量子力学试题含答案

PAGE第17页共27页 一、填空题：（每题4分，共40分）得分评卷人1.微观粒子具有波粒二象性。2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为：E=,p=。3．根据波函数的统计解释，的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率。4．量子力学中力学量用厄米算符表示。5．坐标的分量算符和动量的分量算符的对易关系为：。6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符的本征值。7．定态波函数的形式为：。8．一个力学量为守恒量的条件是：不显含时间，且与哈密顿算符对易。9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。10．每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：。二、证明题：（每题10分，共20分）得分评卷人1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：2、（10分）由Schrödinger方程证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑Schrödinger方程及其共轭式：在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）得分评卷人1、（10分）设氢原子处于状态求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。解：在此状态中，氢原子能量有确定值，几率为1角动量平方有确定值为，几率为1角动量Z分量的可能值为其相应的几率分别为，2、（10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。解：波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得Lz的本征函数3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似。解：c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：H0是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0级近似为：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非简并微扰公式得能量一级修正：能量二级修正为：二级近似下能量本征值为：本套试卷共两大类题，11题，满分100分。最后一页有可能用到的数学公式。一、证明题（共30分）1．（本题5分）证明方向动量算符为厄密算符。证明：（3分）（2分）命题得证。2．（本题5分）证明对易关系：。证明：做运算：，（3分）故有：即记为：（2分）3．（本题5分）证明对易关系：。证明：（3分）（2分）4．（本题5分）已知：，，证明：证明：（5分）5．（本题5分）若为泡利矩阵，证明。证明：由对易关系及反对易关系，得上式两边乘，得∵∴（5分）6．（本题5分）是否为厄密算符？给出证明。不是厄密算符（2分）（3分）二、计算题（共70分）7．（本题10分）设粒子处于和的共同本征态态，试求和。注意到即（5分）利用（5分）8．（本题15分） 设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级和，，现在受到微扰的作用，体系的哈密顿算符为其中为常数，用微扰公式求能量至二级近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比较（提示：做级数展开，保留到前三项）。解：对题给矩阵进行分解，有从矩阵知道一级修正量（用对角矩阵元）和二级修正量（用非对角矩阵元）仿前一题，直接写出两个能级（正确到二级修正量）（7分）严格求解法：这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用单列矩阵表示）。我们设算符H具有本征矢，本征值是，列矩阵方程式：展开后成两式又假设本征矢是归一化的：久期方程：（6分）后一式可展开取级数展开的前三项可得：（2分）和前面用微扰方法所得的结果可以进行比较。9．（本题15分）已知在表象中的矩阵形势为求：（1）其本征值和在表象中的正交归一化本征函数。（2）使对角化的幺正变换矩阵。解：（1）的久期方程为 ∴的本征值为。（5分）设对应于本征值的本征函数为由本征方程，得由归一化条件，得即∴对应于本征值的本征函数为设对应于本征值的本征函数为由本征方程由归一化条件，得即∴对应于本征值的本征函数为（5分）（2）使对角化的幺正变换矩阵为（5分）可以验证：这步不计入总分10．（本题15分）已知氢原子在时处于状态求能量及自旋分量的各种可能取值及其概率与平均值，写出时的波函数。解已知氢原子的本征值为，将时的波函数写成矩阵形式利用归一化条件可得于是，归一化后的波函数为（5分）能量的可能取值为，相应的取值几率为能量平均值为（4分）自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为自旋分量的平均值为（4分）时的波函数（2分）11．（本题15分）设氢原子处在的态，为玻尔半径，求（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）动能的平均值；（4）最概然半径。（波函数已归一化，不必检验。任选其中两问即可，多答不多得分）本题答对第一问10分，第二问5分（1）（2）这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。（3）其中（4）电子出现在r+dr球壳内出现的概率为令当为几率最小位置∴是最概然（可几）半径。量子力学期末考试试题和答案一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、在一维情况下，求宇称算符和坐标的共同本征函数。（6分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间和能量的测不准关系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）线性谐振子在时处于状态，其中，求1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单粒子态.问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?答案：一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：4、宇称算符和坐标的对易关系是：，将其代入测不准关系知，只有当时的状态才可能使和同时具有确定值，由知，波函数满足上述要求，所以是算符和的共同本征函数。5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。时间和能量之间的测不准关系为：二、1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，，令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：2、在A表象中算符的本征方程为：即和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对有：，对有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即三、解：1、的情况：已知线谐振子的能量本征解为：，当时有：，于是时的波函数可写成：，容易验证它是归一化的波函数，于是时的能量取值几率为：，，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为：2、时体系波函数显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故时体系能量的取值几率和平均值与的结果完全相同。四、解：将矩阵改写成：能量的零级近似为：，，能量的一级修正为：，，能量的二级修正为：，，所以体系近似到二级的能量为：，，先求出属于本征值1、2和3的本征函数分别为：，，，利用波函数的一级修正公式，可求出波函数的一级修正为：，，近似到一级的波函数为：，，五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以表示第个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）；（2）（3）；（4）一、（20分）已知氢原子在时处于状态其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。解已知氢原子的本征值为，（1）将时的波函数写成矩阵形式（2）利用归一化条件（3）于是，归一化后的波函数为（4）能量的可能取值为，相应的取值几率为（5）能量平均值为（6）自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为（7）自旋分量的平均值为（8）时的波函数（9）二.（20分）质量为的粒子在如下一维势阱中运动若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解对于的情况，三个区域中的波函数分别为（1）其中，（2）利用波函数再处的连接条件知，，。在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件（3）得到（4）于是有（5）此即能量满足的超越方程。当时，由于（6）故（7）最后得到势阱的宽度（8）三、（20分）证明如下关系式（1）任意角动量算符满足。证明对分量有同理可知，对与分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。证明在任意的两个状态与之下，投影算符的矩阵元为而投影算符的共軛算符的矩阵元为显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。证明四、（20分）在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中，分别计算算符、与的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解在与表象下，当轨道角动量量子数时，，显然，算符、与皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有（1）相应的本征解为（2）对于算符、而言，需要用到升降算符，即（3）而（4）当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且，（5）只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即（6）于是得到算符、的矩阵形式如下（7）满足的本征方程为（8）相应的久期方程为（9）将其化为（10）得到三个本征值分别为（11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为（12）满足的本征方程为（13）相应的久期方程为（14）将其化为（15）得到三个本征值分别为（16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为（17）五、（20分）由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项（分别为两个线谐振子的坐标