高等数学（高职）PPT完整全套教学课件

绪

论预备知识第一章函数、极限与连续第二章导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章微分方程第七章空间解析几何第八章多元函数微分学及其应用第九章二重积分及其应用第十章无穷级数第十一章拉普拉斯变换第十二章MATLAB实验目录contents绪论预备知识0.1代数式0.2常用函数0.3数列本章小结

0.1代数式

一、乘法公式

1.平方差公式及其推广

2.二项式展开(完全平方公式及其推广)

由这些展开式可以看出以下规律:

(1)一个二项式的n次方展开式有n+1项.

(2)字母a按降幂排列,字母b按升幂排列,每项的幂次之和都是n.

(3)当n从0开始时,各项系数的变化规律是:

这种二项式系数“三角形”被称为“杨辉三角形”或“贾宪三角形”.由牛顿二项式公式可以直接求出各幂次单项式的系数,即上面展开式中的最后两个式子,其中

(3)由于(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2,因此它与x4-8x2y2+16y4相乘时不能应用公式.但如果逆用完全平方公式,则可得x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2,再与x2-4y2相乘就可以应用公式了,即

例0-3已知x+y=4,xy=-12,求(x-y)2的值.

解

二、因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式,称为多项式的因式分解.因式分解时应注意以下几个问题:

(1)因式分解是对多项式而言的,因为单项式本身已经是整式的积的形式.

(2)由于因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,因此因式分解是整式范围内的概念.

(3)因式分解的最后结果应是积,并且要求乘积中的每个因式都不能再分解,如a4-16=(a2+4)(a2-4)就不符合要求.

(4)因式分解与整式乘法既有区别又有联系.从一定意义上讲,它是整式乘法的相反变法,例如

注:因式分解是一种恒等变形,不能看作是运算.

1.提取公因式法

提取公因式法是因式分解的一种基本方法,是指如果多项式的各项有公因式,可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式;提取公因式后的式子放在括号里,作为另一个因式.提取公因式时要彻底,并且要一次完成.当公因式是多项式时,要注意以下变形:

2.公式法

公式法分解因式就是使用平方差公式及其推广公式,以及二项展开式的逆变形对多项式进行分解.使用公式法进行因式分解的关键在于掌握公式的结构特征.记住,公式中的字母可以代表一个数或一个单项式,也可以代表一个多项式.

3.分组分解法

分组分解法的基本思想是把多项式恰当地分组后,用项数较少的多项式的分解方法进行分解.使用分组分解法的关键是正确分组,分组的原则是选择系数成比例的各项进行分组或选择符合公式条件的各项进行分组;必要时要对多项式进行先变形后分组.

4.十字相乘法

由于因式分解和十字相乘都有多种可能,因此往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否分解和怎样分解.在使用过程中,要不断地总结规律,以便减少试验次数.

例0-4把下列各式进行因式分解:

分式的运算有以下几种:

分式的一些概念和性质与分数类似,而与整式区别较大.整式中的字母取任意值时都有意义,而分式只有在分母不等于零时才有意义.在研究分式变形、分式相等、分式方程等与分式有关的问题时,都不要忘记只有在分式有意义的前提下才能考虑这些问题,而这一点恰恰容易被人们所忽视.

例0-6当x取何值时,下列分式的值为零?

分析只有在分式有意义的前提下,才能研究分式的值.因此,只有当分母不为零且分子为零时,分式的值才为零.

0.2常用函数

一、变量、区间与邻域我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在该过程中不起变化,称之为常量;有的量在该过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,称之为变量.我们用x、y、z、t等字母代表变量,用a、b、c、k等字母代表常量.

如果变量的变化是连续的,我们常用区间来表示其变化范围.在数轴上,区间是指介于某两点之间的线段上点的全体.区间、不等式及数轴的表示如表0-1所示.

以上我们所说的都是有限区间.除此之外,还有无限区间,分别为:

(1)[a,+∞)={x|x≥a}:表示大于等于a的实数的全体.

(2)(a,+∞)={x|x>a}:表示大于a的实数的全体.

(3)(-∞,b]={x|x≤b}:表示小于等于b的实数的全体.

(4)(-∞,b)={x|x<b}:表示小于b的实数的全体.

(5)(-∞,+∞)={x|x∈R}:表示全体实数.

注意:-∞和+∞分别读作“负无穷大”和“正无穷大”,它们不是数,仅仅是记号.设a、δ∈R,δ>0,数集{x||x-a|<δ,x∈R},即实数轴上和a点的距离小于δ的点的全体,称为点a的δ邻域,记作U(a,δ),点a与数δ分别称为该邻域的中心和半径.有时用U(a)表示点a的一个泛指的邻域.数集{x|0<|x-a|<δ,x∈R}称为点a的去心δ邻域,记作U°(a,δ),即

二、函数的概念

定义0-1如果在某一变化过程中有两个变量x、y,并且对于x在某个变化范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值与它对应,那么y就是x的函数,记作y=f(x),x∈D.其值x称为自变量,x的取值范围D称为函数的定义域,和x的值相对应的y的值称为函数值,函数值的集合称为函数的值域.

1.函数的表示法

(1)解析法:用等式表示两个变量间的函数关系.

(2)列表法:列表表示两个变量间的函数关系.

(3)图像法:用图像表示两个变量间的函数关系.

2.函数的特性

1)单调性在函数有定义的一个区间上,如果对于自变量x的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)在此区间上是增函数,如图0-1(a)所示;如果对于自变量x的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)在此区间上是减函数,如图0-1(b)所示.

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,就说f(x)在此区间上具有单调性,此区间称为f(x)的单调区间.图0-1

2)奇偶性

如果f(x)的定义域关于原点对称,对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)是奇函数,如图0-2(a)所示;对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函数,如图0-2(b)所示.

奇函数的图像关于原点对称(见图0-2(a)),偶函数的图像关于y轴对称(见图0-2(b)).图0-2

3)有界性

图0-3设函数f(x)的定义域为D,数集X⊂D,若存在一个正数M,对X内任意x都有|f⊂(x)|≤M,则称f(x)在X上有界,或称f(x)是X上的≤有界函数,如图0-3所示,否则称f(x)在X上无界,或称f(x)是X上的无界函数.

4)周期性

设函数f(x)的定义域为D,若存在实数T,对D内任意x,都有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为以T为周期的周期函数,其中最小的正数T称为f(x)的最小正周期.图0-3

3.反函数

如果对于函数y=f(x)每一个确定的值f(x0)=y0,自变量x都有一个确定的值x0-和x0-对应,那么就得到一个以y为自变量、以对应的x值为函数值的函数,这个函数称为原来函数的反函数,记作x=f-1(y).我们习惯上用x表示自变量,y表示因变量,把函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).

反函数具有下列两个特性:

(1)y=f(x)的定义域、值域分别是y=f-1(x)的值域、定义域.

(2)y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.

例如,设函数y=f(x)的图像上任意点为P(a,b),即b=f(a),则a=f-1(b).因此,反函数图像上的任意点可以表示为Q(b,a),如图0-4所示.

函数的定义域和值域,函数图像,函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性等特性,以及反函数,是了解一个函数的最基本要素.下面将主要从这几方面入手,介绍几类最常见的基本初等函数.

图0-4

三、基本初等函数

1.常数函数

常数函数为y=C,其中C为常数,定义域为R.常数函数是偶函数,其图像如图0-5所示.图0-5

2.幂函数

幂函数的形式为y=xα(α是任意实数),其定义域要依α具体是什么数而定.当α=1、2、3、12、-1、-2时,y=xα是最常用的幂函数,如图0-6所示.

常见幂函数的特性如表0-2所示.图0-6

可知x=2时y=0,所以,该函数的定义域为{2},值域为{0}.

基本初等函数与常数函数进行有限次的四则运算,我们称之为简单函数.其中,幂函数和常数函数进行特定的四则运算时,可构成我们中学阶段所学的一些重要函数,如正反比例函数、二次抛物线函数等.

1)正比例函数

函数y=kx(常数k≠0)称为正比例函数.当k>0时,y=kx的图像在第一、三象限,且y随x的增大而增大,如图0-7(a)所示;当k<0时,y=kx的图像在第二、四象限,且y随x的增大而减小,如图0-7(b)所示.图0-7

图0-8

3)一次函数

一次函数y=kx+b的图像是经过点(0,b)而平行于直线y=kx的一条直线,如表0-3所示,因此该直线的单调性与正比例函数中对k值的分析一致.而且,当k=0时,一次函数y=b表示常数函数,为一条平行于x轴的直线.

一次函数y=kx+b中,k称作该直线的斜率,b称作该直线的截距,这种表示法称为斜截式表示法.

例0-8已知一条直线过点(2,5)且斜率为3,试写出该直线的方程.

解由题意可知该直线可用点斜式表示为

即

也可化为一般式,即

4)二次函数

函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,且a≠0)称作二次函数,其图像为一条抛物线.开口方向、开口大小、对称轴和顶点唯一地确定了一条特定的抛物线,其中常数a的值决定了抛物线的开口方向和开口大小,a、b的值决定了抛物线的对称轴,而a、b、c的值决定了顶点的位置,如表0-4所示.

例0-9确定抛物线y=x2-6x+8的开口方向以及其与x轴的交点坐标.

解由题意可知该抛物线方程的系数a=1>0,开口向上,其与x轴的交点坐标可以通过令

x2-6x+8=0

解方程求得.因式分解得x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,因此两个实根为x1=2,x2=4,即与x轴的两个交点坐标为(2,0)、(4,0).

3.指数函数

指数函数y=ax

(a为常数,且a>0,a≠1),其定义域为(-∞,+∞).当a>1和0-<a<1时,函数呈现不同的单调性,如表0-5所示.

指数函数过点(0,1)和(1,a),且y=a-x与y=ax的图像关于y轴对称.其中,最为常用的是以e=2.7182818…为底数的指数函数,即

y=ex

4.对数函数

对数函数y=logax(a为常数,且a>0,a≠1),它是指数函数y=ax(a为常数,且a>0,a≠1)的反函数,因此其定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).当a>1和0<a<1时,函数呈现不同的单调性,如表0-6所示.

对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像过点(1,0)和(a,1),与函数y=ax

(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称.其中以e为底数的对数函数称为自然对数函数,记作y=lnx;以10为底的对数函数称为常用对数函数,记作y=lgx.

例0-10-求下列函数的定义域:

(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x).

解(1)因为x2>0,即x≠0,所以该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

(2)因为4-x>0,即x<4,所以该函数的定义域为(-∞,4).

图0-9

2)任意角的三角函数值的符号

任意角的三角函数sinθ、cosθ和tanθ的值的符号如图0-10所示.图0-10

3)三角函数的主要特征和图像

表0-7列出了以上三个三角函数的定义域、值域、图像以及函数特性.

4)特殊角的三角函数值

一些特殊角的三角函数值是学习者必须熟记的基础知识(见表0-8),在极限计算、函数的线性近似、定积分等内容中都需要用到.

(2)常用的倍角公式为

由此变形的公式为

6.反三角函数图0-11

0.3数列

一、数列的概念1.数列的定义定义0-2按照一定次序排列的一列数称为数列.数列里的每一个数称为这个数列的一项,各项依次称为这个数列的第1项,第2项,…,第n项,…,其中第1项称为首项.

2.数列的通项公式

一个数列{an}的第n项与项数的关系,如果可以用一个公式来表示,这个公式就称为这个数列的通项公式.如数列

的通项公式是

注:并不是所有的数列都有通项公式.

3.数列的分类

按照数列的项数有限还是无限,可以将数列分为有穷数列和无穷数列两种.

(1)有穷数列.如果一个数列的项数是有限的,即数列的某一项后面没有跟着的项,这个数列称为有穷数列.

(2)无穷数列.如果一个数列的项数是无限的,即数列的任何一项后面还有跟着的项,这个数列称为无穷数列.

二、等差数列

三、等比数列

本章小结

一、乘法公式

二、因式分解

常用方法:提取公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法.

三、分式

四、反函数

y=f(x)的定义域、值域分别是y=f-1(x)的值域、定义域.

y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.

五、常数函数

常数函数y=C,其中C为常数,定义域为R.常数函数为偶函数.

六、幂函数

七、指数函数

指数函数y=ax

(a为常数,且a>0,a≠1),其图像和性质见表0-5.

八、对数函数

对数函数y=logax(a为常数,且a>0,a≠1),其图像和性质见表0-6.

九、三角函数

常用三角函数y=sinx、y=cosx和y=tanx的图像和性质见表0-7.

十、反三角函数常见的反三角函数有y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx和y=arccotx.

十一、等差数列

十二、等比数列第一章函数、极限与连续1.1

函数1.2极限的概念1.3无穷小与无穷大1.4极限的运算法则和两个重要极限1.5函数的连续性本章小结

1.1-函数

一、函数的概念

1.函数的定义

引例1-【圆的面积公式】已知圆的半径为r,则其面积A为当半径r在[0,+∞)内任取一个数值时,面积A就有唯一确定的数值与之对应.

引例2【邮资收费问题】设寄达某国的国际航空信件的邮资标准是20g及以内邮资6元,超过20g时每续重10g加收1.8元,则邮资F与信件重量m的函数关系可表示为

定义1-1-设有两个变量x和y,若变量x在非空实数集D内任取定一个数值时,变量y按照一定的法则f,总有确定的数值与之对应,则称y是x的函数,记作

其中x称为自变量;y称为函数或因变量;自变量的取值范围D称为函数y=f(x)的定义域;f称为对应法则.

由上述定义可知,引例1与引例2中变量间的对应关系分别表示了两个函数.例如,在引例1中,r是自变量,A是因变量,按照其对应法则,A=πr2确定了A是r的函数.由该问题的实际意义可知,半径r的取值为非负实数,即[0,+∞)为该函数的定义域.

当x在定义域D内取定值x0时,与x0对应的y的数值称为函数在x0处的函数值,记作y|x=x0、y0或f(x0).当x取遍D中的各个数值时,对应的函数值的集合W称为函数的值域,即W={

y|y=f(x),x∈D}.

注:关于函数概念的进一步说明如下所示:

(1)单值函数和多值函数.如果自变量在定义域内任取一个确定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种函数称为单值函数;否则称为多值函数.本书我们仅讨论单值函数.

(2)函数的对应法则.在函数y=f(x)中,对应法则f是自变量x与因变量y之间函数关系的具体体现.例如y=f(x)=x2+1,其对应法则就是f()=()2+1,对于取定的x值,平方后再加1就得到函数的值.对应法则f也可改用其他字母,如φ、g等.但一个函数在同一个问题中只能用一种记法.如果同一问题中涉及多个函数,则应采用不同的字母来表示.

(3)函数的两要素.由函数的定义可知,函数的定义域与对应法则是确定函数的两个基本要素.一个函数的定义域和对应法则一旦确定,该函数也就确定了.换句话说,若两个函数的定义域和对应法则相同,则可将这两个函数视为相同的函数.

例1-1-试求函数的定义域.

解函数的定义域就是使其表达式有意义的自变量的取值范围.题目函数的表达式中含有分式、偶次根式和对数式,因为分式的分母不能为零,偶次根式的被开方式不能小于零,对数的真数部分必须大于零,所以,要使此函数有意义,变量x必须满足

即-3<x<3且x>1,故所求函数的定义域为(1,3).

2.函数的常用表示法

(1)表格法:将一系列自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法.例如,我们经常会遇到的某商品的月销售额,某开放式基金的每天净值表等都是用表格法表示的函数.

(2)图示法:用坐标平面上曲线来表示函数的方法.一般用横坐标表示自变量,纵坐标表示因变量.例如,在直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆的图示法如图1-1所示.

(3)解析法(公式法):用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法.例如,在直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆的方程是x2+y2=r2.

根据解析表达式的不同,函数也可以分为显函数、隐函数:

(1)显函数:函数y由x的解析表达式直接表示,例如y=x2+1、f(x)=2x3+cosx等.

(2)隐函数:函数的自变量x与因变量y的对应关系由方程F(x,y)=0来确定,例如lny=sin(x+y)、ey+xy-e=0等.

图1-1

例1-4设求f(-1)、f(2)及函数的定义域.

解由函数的表达式可知

函数的定义域为(-2,1]∪(1,+∞)=(-2,+∞).

注:分段函数的定义域为各段表达式定义范围的并集.

3.函数的特性

函数的特性指的是函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性,可以参看绪论的预备知识,这里不再重复介绍.

二、初等函数

1.基本初等函数

基本初等函数主要有如下六类:

(1)常数函数y=C;

(2)幂函数y=xa;

(3)指数函数y=ax

(a>0,a≠1);

(4)对数函数y=logax(a>0,a≠1);

(5)三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx、y=secx、y=CSCx;

(6)反三角函数y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx、y=arccotx.这六类基本初等函数的图形和主要性质可以参见绪论的预备知识.

2.复合函数

引例3【原油扩散面积】油轮在海洋发生原油泄漏事故,假设原油污染海水的面积A是被污染圆形水面的半径r的函数A=πr2.同时由于原油在海面上不断扩散,污染半径r又是时间t的函数r=φ(t).因此,原油扩散面积A与时间t的函数关系是

定义1-2若y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=φ(x),函数u=φ(x)的值域与y=f(u)的定义域相交非空,我们称函数y=f[φ(x)]是由函数y=f(u)及u=φ(x)复合而成的复合函数,其中u称为中间变量,y=f(u)称为外层函数,它表示因变量y与中间变量u的函数关系;u=φ(x)称为内层函数,它是中间变量u与自变量x的函数关系.

要认识复合函数的结构,也就是要理解如何对复合函数进行分解.通常采取由外层到内层分解的办法,将复合函数分解成若干基本初等函数或简单函数的复合.习惯上,我们将基本初等函数经过有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.

1.2极限的概念

一、数列的极限引例【截棒问题】在我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中有这样一段话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”即一尺长的一根木棒,每天截下它的一半,可以一天天地截下去,永远都有剩余的量.每天剩余的长度构成一个数列

定义1-3如果当项数n无限增大时,无穷数列{xn}的通项xn

无限地趋近于某个确定的常数A,则称A是数列{xn}的极限,记作

或者

若数列{xn}的极限存在,也称数列{xn}收敛.若当n无限增大时,xn

不趋近于任何常数,则称数列{xn}极限不存在或发散.

二、函数的极限

数列可以看成定义在正整数集上的一类特殊函数xn=f(n)(n=1,2,3,…),n只有一种变化方式,即n→+∞(通常用n→∞表示).而一般函数y=f(x)的自变量x却有多种变化方式.函数极限研究的是自变量x在各种变化过程中相应函数值的变化趋势,下面分两种情形来讨论.

1.自变量趋于无穷的情形(x→∞)

x→∞包含以下三种情况:

(1)x→+∞表示x取正值且无限增大;

(2)x→-∞表示x取负值且绝对值无限增大(即x无限减小);

(3)x→∞表示x的绝对值x无限增大(包含x→+∞和x→-∞两种情况)

定义1-6当自变量x的绝对值无限增大时,如果函数值f(x)无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数f(x)当x→∞时的极限,记作图1-2

注:x→+∞(或x→-∞)时函数的极限,反映的是自变量单方向变化时函数的极限,称为单向极限,它们与双向极限(x→∞)之间存在如下关系,即

2.自变量趋于有限值x0的情形(x→x0)

定义1-7设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义,如果当x→x0时,相应的函数值f(x)无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数f(x)在x→x0时的双侧极限(简称极限),记作图1-3

三、极限的性质

利用函数极限的定义,可以得到函数极限的一些性质.下面仅以x→x0的极限形式为代表不加证明地给出这些性质;至于其他形式的极限的性质,只需做些修改即可得到.

1.3无穷小与无穷大

无穷小与无穷大反映了自变量在某一变化过程中,因变量的绝对值无限减小和无限增大这两种特殊的变化趋势.

1.无穷小的概念

引例1-【电容器放电】电容器放电时,其电压随时间的增加而逐渐减少并无限趋近于0.

引例2【洗涤效果】在用洗衣机清洗衣物时,清洗次数越多,衣物上残留的污渍就越少.当清洗次数无限增大时,衣物上的污渍量就会无限趋近于0.

正如上述的引例,在对事物进行定量分析时,经常会遇到变量趋于0的情形.我们把趋向于0的变量称为无穷小量,下面给出无穷小的定义.

定义1-9在自变量的某一变化过程中,极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小.

注:(1)无穷小是极限为0的变量(函数),而非一个很小的数;

(2)常数中只有0是无穷小;

(3)无穷小是与自变量的变化过程紧密相关的,因此说一个变量为无穷小时要指明自变量的变化过程.

2.无穷小的性质

在自变量的同一变化过程中,无穷小满足以下性质:

性质1-4有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

性质1-5有限个无穷小的乘积仍是无穷小.

性质1-6常数与无穷小之积仍是无穷小.

性质1-7有界变量与无穷小的乘积是无穷小.

例1-11-求下列极限:

二、无穷大

无穷小是绝对值无限减小的变量,它的对立面就是绝对值无限增大的变量,为此我们给出如下定义:

1.无穷大的概念

定义1-10如果在x的某个变化过程中|f(x)|无限增大,则称f(x)是x在该变化过程中的无穷大量,简称为无穷大,记作limf(x)=∞.

注:在上述定义中,如果f(x)是取正值无限增大,则称f(x)为正无穷大,记作limf(x)=+∞;如果f(x)是取负值而绝对值无限增大,则称f(x)为负无穷大,记作limf(x)=-∞.

2.无穷小与无穷大的关系

由无穷小与无穷大的定义可知,它们之间有着密切的关系:在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.

三、无穷小的比较

我们已经知道了有限个无穷小的和、差、积仍然是无穷小,但关于两个无穷小商的极限却会出现不同的情况,例如,当x→0时,x、x2、sinx都是无穷小,然而它们的商的极限会出现如下不同的情况:

1.无穷小比较的定义

定义1-11-设α与β是自变量在同一变化过程中的无穷小,且β≠0:

2.等价无穷小的应用

等价无穷小在求两个无穷小比值的极限时有重要作用.

1.4极限的运算法则和两个重要极限

一、极限的四则运算法则

设函数f(x)与g(x)在自变量x的同一变化过程中极限均存在,其中limf(x)=A,limg(x)=B(此处省略了自变量x的变化过程),则有

特别地,有

注:上述法则(1)、(2)可以推广到有限多个具有极限的函数相加、相减和乘积的情形.

二、两个重要极限

1.第一个重要极限

我们通过表1-1来观察x→0时,函数的变化趋势.

例1-22已知半径为R的圆内接正n边形的面积

求该圆的面积A.

2.第二个重要极限

我们通过表1-2来观察当x→∞时,函数的变化趋势.

第二个重要极限的两种表达式虽然不同,但其实质是相同的,都具有如下特征:

(1)函数的极限形式为“1∞”型;

(2)函数式底数部分为“1+无穷小量”,且该无穷小量与函数式指数部分互为倒数;

(3)两种形式的推广形式分别为

1.5函数的连续性一、函数连续性的定义1.函数y=f(x)在点x0处的连续性首先我们来介绍改变量的概念,在此基础上给出函数连续的定义.设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,当自变量x由x0变到x1(x1-也在该邻域内)时,把x1--x0叫做自变量x的改变量,记作Δx(可正可负),即Δx=x1--x0.这时x1-=x0+Δx,函数值相应地由f(x0)变化到f(x0+Δx),称

为函数值的改变量,如图1-4所示.当自变量的改变量Δx很小时,函数值的改变量Δy也很小,且当Δx→0时,相应地有Δy→0,这时函数的图像在点x0处没有断开,此时我们有如下定义:

定义1-12设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,若自变量的改变量Δx趋于0时,对应的函数值的改变量Δy也趋于零,即

则称函数y=f(x)在x0处是连续的;x0称为函数y=f(x)的连续点;否则称y=f(x)在x0处不连续(间断).

图1-4

定义1-13设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,若

则称函数y=f(x)在x0处连续,x0称为y=f(x)的连续点.

根据定义1-13,函数f(x)在点x0处连续必须同时满足如下条件:

(1)y=f(x)在点x0处要有定义;

(2)极限要存在;

(3)时的极限值等于x0处的函数值).

2.函数的间断点

如果函数y=f(x)在点x0处不连续(间断),则称x0为函数f(x)的间断点.函数y=f(x)在点x0处间断有以下三种可能:

(1)函数f(x)在x0处没有定义;

(2)函数f(x)在x0处有定义,但极限

(3)函数f(x)在x0处有定义,且极限存在,但

例1-27试判断下列函数在x=1处是否连续.若不连续,指明其间断点类型.

3.左连续、右连续

鉴于函数在一点连续与极限的关系,考虑到函数左、右极限的概念,我们有如下定义:定义1-14设函数y=f(x)在点x0左侧(右侧)附近有定义,若

则称函数y=f(x)在x0处左连续(右连续).

显然,例1-27中的函数处是左连续,但不是右连续的.

定理1-2函数f(x)在x0处连续的充分必要条件是函数f(x)在x0处既左连续又右连续.

4.函数y=f(x)在区间内(上)的连续性

如果y=f(x)在区间(a,b)内每一点都连续,我们称函数y=f(x)在区间(a,b)内连续.此时,函数y=f(x)称为区间(a,b)内的连续函数,区间(a,b)称为函数y=f(x)的连续区间.

若函数y=f(x)在区间(a,b)内连续,且在a处右连续,在b处左连续,我们称函数y=f(x)在区间[a,b]上连续.

二、初等函数的连续性

我们不加证明地给出如下重要结论:初等函数在其定义区间内都是连续的.

由初等函数的连续性可知,初等函数的连续区间就是该函数的定义区间.对于分段函数,除了按上述结论讨论每一段函数的连续性外,还必须讨论在分段点处的连续性.

一切初等函数在其定义域范围内都是连续的,而且若函数f(x)在x0处连续,则有等成立.因此,我们在求函数极限时,就可充分利用这两点,只要能确定x0是初等函数f(x)定义域内的点,就有

三、闭区间上连续函数的性质

下面介绍闭区间上连续函数的三个主要性质,我们不加证明直接给出如下定理:

定理1-4(最值定理)闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定存在最大值和最小值.

定理1-5(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),则对介于f(a)和f(b)之间的任一数μ,至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ(见图1-5).

定理1-6(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0(见图1-6)图1-5图1-6

例1-30证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根.

证明令f(x)=x3-4x2+1,显然初等函数f(x)=x3-4x2+1在闭区间[0,1]上连续,并且f(0)=1>0,f(1)=-2<0.所以由零点定理可知,在区间(0,1)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0,即方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根.

本章小结

一、函数的概念1)函数的定义设有两个变量x和y,若变量x在非空实数集D内任取定一个数值时,变量y按照一定的法则f,总有确定的数值与之对应,我们则称y是x的函数,记作其中x称为自变量;y称为函数或因变量;自变量的取值范围D称为函数y=f(x)的定义域;f称为对应法则.

2)函数的两个要素

函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值范围,函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.若两个函数的定义域和对应法则都相同,则这两个函数相同.

3)分段函数

在定义域的不同范围内具有不同的解析表达式的函数称为分段函数.

4)函数的特性

函数的特性指的是函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性(参见绪论预备知识).

二、初等函数

1)基本初等函数

我们把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为六类基本初等函数,这六类基本初等函数的图形和性质参见绪论预备知识.

2)复合函数

若y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=φ(x),且φ(x)函数值的全部或部分在y=f(u)的定义域内,则称函数y=f[φ(x)]是由函数y=f(u)及u=φ(x)复合而成的复合函数,其中u称为中间变量.

复合函数通常采取由外层到内层分解的办法,将其分解成若干基本初等函数或简单函数的复合.

3)初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成,并能用一个解析式来表示的函数称为初等函数.

三、极限的概念

1)数列的极限如果当项数n无限增大时,无穷数列{xn}的通项xn无限地趋近于某个确定的常数A,则称A是数列{xn}的极限,记作

若数列{xn}的极限存在,则称数列{

xn}收敛.若当n无限增大时,xn不趋近于任何常数,那么就说数列{xn}极限不存在或数列发散.

2)函数的极限

当自变量x取正值且无限增大时(x→+∞),如果函数值f(x)无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数f(x)当x→+∞时的极限,记作

3)单侧极限与双侧极限的关系

3)无穷小的性质

在自变量的同一变化过程中,无穷小满足以下性质:

性质1-有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小.

性质3常数与无穷小之积仍是无穷小.

性质4有界变量与无穷小的乘积是无穷小.

4)无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.

5)无穷小的比较

设α与β是自变量在同一变化过程中的无穷小,且β≠0:

七、函数的连续性

1)函数连续的定义设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,若则称函数y=f(x)在x0

处连续,x0

称为y=f(x)的连续点.

根据定义可知,函数f(x)在点x0处连续必须同时满足如下条件:

(1)y=f(x)在点x0处要有定义;

(2)极限要存在;

(3)0时的极限值等于x0处的函数值).

2)函数的间断点

只要函数f(x)在点x0

处不满足上述条件中的任何一个条件,我们就称函数f(x)在点x0

处是不连续的(间断的),x0

称为函数f(x)的间断点.

间断点可以分为第一类间断点和第二类间断点,左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点;左极限、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点.在第一类间断点中,如果左、右极限相等,则称其为可去间断点;如果左、右极限不相等,则称其为跳跃间断点.

函数f(x)在x0

处连续的充分必要条件是函数f(x)在x0

处既左连续又右连续.

3)初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

4)闭区间上连续函数的性质

(1)最值定理:闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定存在最大值和最小值.

(2)介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),则对介于f(a)和f(b)之间的任一数μ,至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ.

(3)零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.第二章导数与微分2.1导数的概念2.2函数的求导法则2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2.4高阶导数2.5函数的微分本章小结

2.1导数的概念

一、引例

为了说明导数的概念,我们首先讨论与导数概念的形成密切相关的两个问题:变速直线运动的瞬时速度与曲线的切线斜率.

1.变速直线运动的瞬时速度

设质点做变速直线运动的位置函数为s=s(t),试确定该质点在任一给定时刻t0时的瞬时速度v(t0).根据该质点的位置函数,从时刻t0到时刻t0+Δt这段时间内,质点从位置s(t0)运动到s(t0+Δt),所经过的路程是Δs=s(t0+Δt)-s(t0),如图21所示,因而质点在时刻t0到时刻t0+Δt这段时间内的平均速度为

引例2【制作圆形的餐桌玻璃】一张圆形餐桌上需要加装圆形玻璃.测量出餐桌的直径后,工艺店的师傅就会在一块方形的玻璃上画出一个同样大的圆,然后沿着圆形的边缘划掉多余的玻璃,最后用砂轮不断在边缘打磨.当玻璃的边缘非常光滑时,一块圆形的餐桌玻璃就做好了.从数学的角度来讲,工艺店师傅打磨的过程就是在作圆的切线的过程.

由中学知识,我们知道圆的切线是与圆有唯一交点的直线.但是对于一般的曲线y=f(x)来说,其在点(x0,f(x0))处的切线又是怎样定义的呢?

2.平面曲线的切线斜率

设有曲线L,P为曲线上一定点,在L上点P外另取一点Q,作割线PQ.当点Q沿曲线L移动并趋近于点P时,如果割线PQ绕点P旋转的极限位置存在,那么处于此极限位置的直线PT称为曲线L在点P处的切线,定点P叫做切点,如图22所示,过切点垂直于该切线的直线叫做曲线在该点的法线.图22

下面讨论如何求切线的斜率.设曲线L是函数y=f(x)的图形,如图23所示,求曲线L在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.图23

在曲线L上点P外另取一点Q(x0+Δx,f(x0+Δx)),割线PQ的倾斜角为φ,则割线PQ的斜率为

当点Q沿曲线L趋于点P时,Δx→0,割线PQ的倾斜角φ就趋于切线PT的倾斜角α.如果割线PQ斜率的极限存在(设为k),那么此极限值k即为曲线L在点P处的切线的斜率,即

函数y=f(x)在x0处可导,也称函数y=f(x)在点x0处具有导数或导数存在.若令x=x0+Δx,则式(21)也可以写为

如果式(21)或式(22)中的极限不存在,则称函数y=f(x)在x0处不可导.

例21已知函数f(x)=x2,求f'(3).

式(21)或式(22)极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等.当这两个单侧极限存在时,我们给出如下单侧导数的定义:

定义23如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都可导,则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右可导(点b左可导),则称函数y=f(x)在左闭右开区间[a,b)(左开右闭区间(a,b])上可导.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右可导,在点b左可导,则称函数y=f(x)在闭区间[a,b]上可导.

显然,函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),就是导函数f'(x)在点x=x0处的函数值,即

有时为了清晰表明对哪个自变量求导,也可在导数右下角写出该自变量.例如,y'x和f'u表示函数y和f分别对x和u求导(分别以x和u为自变量)

有了导数的概念,前面两个实际问题可以重述为:

(1)变速直线运动在时刻t0的瞬时速度就是位置函数s=s(t)在t0处的导数s'(t0),即

这就是导数的物理意义.

(2)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,即

这就是导数的几何意义.

曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为

当切线不平行于x轴(f'(x0)≠0)时,法线方程为

当切线平行于x轴(f'(x0)=0)时,切线方程可简化为y=f(x0),此时法线方程为x=x0.

三、求导举例

根据导数的定义,求某个函数y=f(x)的导数y',可以分为以下三个步骤:

例23求函数f(x)=C(C为常数)的导数.

解在x处给自变量一个增量Δx,相应地,函数值的增量为

也就是说,常数的导数等于零.

类似地,结合中学知识以及导数的定义,我们可得到下列公式:

特别地,当a=e时,有

四、函数的可导性与连续性的关系

定理22如果函数f(x)在点x处可导,那么函数y=f(x)在点x处必连续.反之,函数在某点连续,在该点却不一定可导.例如,函数y=|x|在x=0处连续,但它在x=0处却不可导(见例22).图24

2.2函数的求导法则

一、函数和、差、积、商的求导法则定理23如果函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导,那么它们的和、差、积、商(分母为0的点除外)也都在点x处可导,且有

特别地,有

式(29)、式(210)可以推广到有限个可导函数的情形.例如,设u=u(x),v=v(x),w=w(x)均可导,则有

二、反函数的求导法则

定理24如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f'y(y)≠0,则其反函数y=f-1(x)在对应的区间Ix={xx=f(y),y∈Iy}内也可导,且

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

三、复合函数的求导法则

定理25若函数u=φ(x)在点x处可导,而函数y=f(u)在对应的点u处可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也可导,且有

也可写为

即复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

例212求下列函数的导数:

对于复合函数的求导,关键在于弄清函数的复合关系.当复合函数的分解比较熟练后,就不必再写出中间变量,而由复合函数求导法则直接写出求导结果.其实对于多层复合的函数求导,可由外往里逐层求导.在对每层函数求导时,该层函数符号内的式子可当做一个字母看待.

例214【半径的变化率问题】设气体以100cm3/s的常速注入球状的气球.假定气体的压力不变,那么当半径为10cm时,气球半径增加的速率是多少?

解设在t时刻气球的体积与半径分别为V和r,显然有

所以通过中间变量r将V化为关于时间t的函数,这是一个复合函数,即

四、基本初等函数的求导公式

2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

有些函数的表示方式却不是这样的,如方程x+y3-1=0可确定一个函数.当变量x在(-∞,+∞)内取值时,变量y有唯一确定的值和它对应,因而y是x的函数.这样由方程确定的函数称为隐函数.

一般地,如果变量x和y满足方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x在某范围内任意取一确定值时,F(x,y)=0总可以相应地确定唯一一个变量y的值,那么方程F(x,y)=0便确定了y是x的函数y=y(x),这种函数称为隐函数.

例215求由单位圆方程x2+y2=1所确定的隐函数y=y(x)的导数y'x.解方程两边同时对x求导,得

例216求下列方程所确定的隐函数的导数:

解(1)方程两边同时对x求导,由于y是x的函数,y3是x的复合函数,按复合函数的求导法则,可得

(2)方程两边同时对x求导,由于y是x的函数,得

从以上例题可以看出,求隐函数的导数时,只需将方程两边同时对自变量x求导,遇到y就看成x的函数,遇到y的函数就看成是x的复合函数,然后从求导数后所得的关系式中解出y'x,即得到所求的隐函数的导数.

二、对数求导法

在实际求导中,有时会遇到给定的函数虽为显函数,但直接求导数会很复杂的问题.对于这样的函数,可先对等式两边取对数(一般取以e为底的自然对数),把显函数化为隐函数的形式,再利用隐函数求导法进行求导,这种求导的方法称为对数求导法.这一特殊的求导法适用于求幂指函数y=[u(x)]v(x)或由多个因子的积、商、幂构成的函数的求导.

三、参数方程所确定的函数的导数

一般地,由形如

的方程所确定的y与x之间的函数关系,称为由参数方程所确定的函数.

对由参数方程所确定的函数求导,通常并不需要由参数方程消去参数t,化为y与x之间的直接函数关系后再求导.下面给出由参数方程所确定的函数的求导公式,即

2.4高阶导数

我们知道,变速直线运动的速度v是位置函数s=s(t)对时间t的导数,即而加速度a又是速度v对时间t的变化率,即速度v对时间t的导数

类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数…一般地,若函数y=f(x)的n-1阶导数仍可导,则函数y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做y=f(x)的n阶导数.函数y=f(x)的三阶、四阶、…,n阶导数分别记作

函数y=f(x)具有n阶导数,常称函数

f(x)为n阶可导.如果函数

f(x)在点x处具有n阶导数,那么

f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

由此可见,求高阶导数就是多次连续地求导数,所以仍可应用前面学过的求导方法来求高阶导数.

例222【刹车测试】某一汽车厂在测试汽车的刹车性能时发现,刹车后汽车行驶的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)满足s=19.2t-0.4t3.假设汽车作直线运动,求汽车在t=3s时的速度和加速度.

2.5函数的微分

一、微分的概念引例【薄片面积的增量】如图25所示,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变为x0+Δx,问该薄片的面积A改变了多少?

若用x表示该薄片的边长,A表示面积,则A是x的函数A=x2.薄片受温度变化的影响时面积的改变量,可以看作是当自变量x在x0取得增量Δx时,函数值A=x2相应的增量ΔA,即图25

定义24设函数y=f(x)在某区间内有定义,且x0及x0+Δx在该区间内,如果函数的增量

可表示为

其中A是与Δx无关的常数,则称函数y=f(x)在点x0可微,并且称A·Δx为函数y=f(x)在点x0相对于自变量增量Δx的微分,记作dy,即

例226【球体积的微分】半径为r的球,其体积为

当半径增大Δr时,计算球体积的改变量及微分.

解体积的改变量为

显然有

故体积微分为

二、微分的几何意义

在直角坐标系中,函数y=f(x)的图形是一条曲线.对于某一固定的x0值,曲线上有一个确定点M(x0,y0),当自变量x在该处有微小增量Δx时,就得到曲线上另一点N(x0+Δx,y0+Δy).由图26可知,MQ=Δx,QN=Δy.图26

过M点作曲线的切线MT,它的倾角为α,则

即

由此可见,当Δy是曲线y=f(x)上的M点的纵坐标的增量时,dy就是曲线切线上M点的纵坐标的相应增量.当Δx很小时,Δy-dy比Δx小得多.因此在点M邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.

三、微分运算法则及微分公式表

1.微分运算法则

由dy=f'(x)dx很容易得到微分的运算法则及微分公式表(u、v都可导)

3.复合函数的微分法则

设y=f(u)及u=φ(x)都可导,则复合函数y=f[φ(x)]的微分为

由于φ'(x)dx=du,因此复合函数y=f[φ(x)]的微分公式也可以写成

由此可见,无论u是自变量还是中间变量,微分形式dy=f'(u)du都保持不变.这一性质称为微分形式的不变性.该性质表明,当变换自变量时,微分形式dy=f'(u)du并不会改变.

四、微分在近似计算中的应用

1.计算函数改变量的近似值

由微分的定义可知如果函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)≠0,且|Δx|很小时,有

而且|Δx|越小,近似值的精确度越高.由于微分易于计算,因此要计算Δy的近似值,只需求dy即可.

例231【镀层的近似值】有一半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm.请估计一下每只球需要镀多少克铜(铜的密度是8.98g/cm3)?

2.计算函数值的近似值

本章小结

5)隐函数求导对F(x,y)=0两边关于x求导,把y看成是x的函数,然后从求导后所得的关系式中解出y'x,即可求得隐函数的导数.

6)对数求导法对数求导法适用于求幂指函数y=[u(x)]v(x)或由多个因子的积、商、幂构成的函数的求导.求导时,先对等式两边取对数(一般取以e为底的对数函数),把显函数化为隐函数的形式,再利用隐函数求导法进行求导.第三章微分中值定理与导数的应用3.1微分中值定理3.2洛必达法则3.3-函数的单调性与极值3.4最大值和最小值问题3.5曲线的凹凸性和拐点及函数图像的描绘3.6*曲线的曲率本章小结

3.1微分中值定理

一、罗尔(Rolle)中值定理定理3-1(罗尔中值定理)若函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0

罗尔中值定理的几何意义:在闭区间[a,b]上有连续曲线y=f(x),除端点外,若曲线上的每一点都存在不垂直于x轴的切线,且曲线两个端点的纵坐标相等,即f(a)=f(b),则在该条件下,开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得曲线在点(ξ,f(ξ))的切线平行于x轴,如图3-1所示.

导数等于0的点称为函数的驻点(稳定点).

注:罗尔中值定理的三个条件缺一不可,若有一个不成立,定理的结论就有可能不成立,且这些条件是充分非必要的.也就是说,即使三个条件不能同时满足,结论也可能成立.

图3-1

例3-1验证罗尔中值定理对函数f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上的正确性,并求结论中的ξ.

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

在罗尔中值定理中,条件f(a)=f(b)相当特殊,这使它的应用受到限制.若把这个条件去掉,就得到微分学中一个十分重要的定理——拉格朗日中值定理.

定理3-2(拉格朗日中值定理)若函数f(x)满足:

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得

式(3-1)称为拉格朗日中值公式.

由图3-2可看出,是割线AB的斜率,f'(ξ)是曲线在C点处切线的斜率.因此,拉格朗日中值定理的几何意义是:如果连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上,除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,那么在这条曲线上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于连接曲线两端点的割线AB。

不难看出罗尔定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)时的特殊情形,而拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.图3-2

设x,x+Δx∈(a,b),则Δy=f(x+Δx)-f(x).取x、x+Δx为端点的区间,公式(3-1)在该区间上就变为

或

即

式(3-2)给出了自变量取得有限增量Δx(|Δx|不一定很小)时,函数增量Δy的精确表达式,这个公式又称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位,有时也称这个定理为微分中值定理.

推论3-1设f(x)在区间I上连续,在I内可导且导数恒为0,则f(x)在区间I上恒为常数.

证明在区间I内任取两点x1、x2,不妨设x1<x2,则f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件.由式(3-1)可得

由已知条件可知f'(ξ)=0,因此有f(x2)=f(x1).又由x1、x2的任意性可知,函数f(x)在区间I上恒为常数.

推论3-2如果函数f(x)与g(x)在区间I上的导数恒相等,即有f'(x)≡g'(x),那么在区间I上有f(x)=g(x)+C,其中C为常数.

证明在区间I内任取一点x,由已知条件可知[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)=0.由推论3-1可知f(x)-g(x)在区间I上恒为常数,即f(x)-g(x)=C或f(x)=g(x)+C.结论得证.

三、柯西(Cauchy)中值定理

定理3-3-(柯西中值定理)若函数f(x)和g(x)满足:

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

(3)对任意的x∈(a,b),有g'(x)≠0,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得

显然,若取g(x)=x,则g(b)-g(a)=b-a,g'(x)=1,此时柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是柯西中值定理在g(x)=x时的特殊情形,而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.

3.2洛必达法则

(2)在求极限过程中,如有可约因子,或有非零极限值的乘积因子,则可先约去或算出,简化演算步骤

3.3-函数的单调性与极值

一、函数单调性的判定法

定理3-5(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导,如果(1)在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调递增;(2)在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调递减.定理3-5是以闭区间为例叙述的.若将闭区间换成其他区间,结论仍然成立.

例3-15讨论函数f(x)=ln(1+x2)的单调性.

解

f(x)的定义域为(-∞,+∞),在定义域内f(x)可导,且

当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)=ln(1+x2)在(-∞,0