高等数学PPT（工科类）完整全套教学课件

第一章极限与连续

函数第一节极限的概念

第二节无穷小量与无穷大量

第三节

极限的运算法则第四节

两个重要极限第五节

函数的连续性第六节

复习题一小结第一节

函数一、函数的概念函数的定义定义1

设D是由数组成的集合.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的对应法则f总有确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f(x)，x称为自变量,y称为因变量，D称为函数的定义域.

当x取x0∈D时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作f(x0).当x取遍D中的一切数时，对应的函数值集合M={y|y=f(x)，x∈D}称为函数的值域.

在函数的定义中，如果对于每一个x∈D，都有唯一的y与它对应，那么这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.例如由方程x2+y2=9所确定的以x为自变量的函数y=±9-x2是一个多值函数，而它的每一个“分支”y=9-x2或y=-9-x2都是单值函数.以后如果没有特别说明，所说的函数都是指单值函数.2.函数的表示法

（1）表格法

将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.如三角函数表、常用对数表以及经济分析中的各种统计报表等.

（2）图像法

用图像表示两个变量函数关系的方法，如图1

图1

（3）解析法

用一个等式表示两个变量的函数关系的方法.例如y=x+3，y=lg(x+2)等.

在实际问题中，函数的定义域要根据问题的实际意义确定．当不考虑函数的实际意义，而仅就抽象的解析式来研究函数时，这时定义域就取使解析式有意义的自变量的全体.要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次根式的被开方数必须为非负数；(3)对数式中的真数必须大于零；(4)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数考虑各自的定义域；(5)若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；(6)分段函数的定义域是各个定义区间的并集．3.函数的定义域【例1】

设f（x）={

求f（-3）,f(),f(1+h).f(-3)=f()=3,f(1+h)=

=【例2】求下列函数的定义域：

(1)(2)【解】(1)若使函数有意义，则x^2+2x+1≠0，即(x+1)^2≠0.即x≠-1.所以函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞).(2)若使函数有意义，则4-x^2≥0x^2-1＞0.即-2≤x≤2x＞1或x＜-1，解得1＜x≤2或-2≤x＜-1.所以函数的定义域为［-2，-1)∪(1，2］.

2．函数的几种特性

1.奇偶性

定义2设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数.否则f(x)为非奇非偶函数.

奇函数的图像关于原点对称，如图1-2所示;偶函数的图像关于y轴对称，如图1-3所示.

图1-2

图1-3

在判断函数的奇偶性时，一定要先考虑函数的定义域是否关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，则直接可以判断该函数为非奇非偶函数。【例3】判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=x^2；(2)f(x)=2sin2x；(3)f(x)=1/x-1；【解】(1)因为f(x)的定义域D=(-∞，+∞)是关于原点对称的区间，又因为对于任意的x∈(-∞，+∞)，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函数.(2)因为f(x)的定义域D=(-∞，+∞)是关于原点对称的区间，又因为对于任意的x∈(-∞，+∞)，都有f(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-f(x)，所以f(x)=2sin2x是奇函数.(3)因为f(x)的定义域是D=(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域不关于原点对称，所以f(x)=1x-1是非奇非偶函数.2.单调性

定义3若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间.单调增函数图像沿x轴正向上升，如图1-4所示；单调减函数图像沿x轴正向下降，如图1-5所示.

图1-4图1-5【例4】证明f(x)=x2在区间［0，+∞)上是单调递增函数.【证明】

设x1、x2∈［0，+∞)，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)

因为x1、x2∈［0，+∞)，x1＜x2，所

以x1+x2＞0，x1-x2＜0

所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)=x2在区间［0，+∞)上是单调递增函数.3.有界性定义4设函数f(x)的定义域为D，数集X∈D.如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界，如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界，如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M,总存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函数f(x)在X上无界.【例5】

就函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内来说，数1是它的一个上界，数-1是它的一个下界(当然，大于1的任何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它的下界).又|sinx|≤1

对任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)上是有界的.这里M=1(当然也可取大于1的任何数作为M而使|f(x)|≤M成立).4.周期性定义5设函数f(x)的定义域为D.对于任意的x∈D，存在不为零的数T，使f(x+T)=f(x)，那么f(x)为D上的周期函数.T称为函数的一个周期，并且nT(n为非零整数)也是它的周期.平时，我们把函数的最小正周期称为函数的周期.【例6】函数y=sinx和y=cosx都是以2π为周期的周期函数.y=sinx和y=cosx的图像我们在高中阶段学习三角函数的时候已经有所接触。3．初等函数1.基本初等函数

我们把常数函数y=c(c为常数)、幂函数y=xα(α为实数)、指数函数y=ax(a＞0，a≠1，a为常数)、对数函数y=logax(a＞0，a≠1，a为常数)、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2.复合函数定义6若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变量,x是自变量,通常将y=f(u),u=g(x)合并写成y=f［g(x)］.注意：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的；复合函数也可以由两个以上的函数复合而成.3.初等函数定义7基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)经过有限次的加、减、乘、除(分母不为零)的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，叫做注意：如果一个函数必须用几个式子表示，那么它就不是初等函数，例如函数就不是初等函数，我们将这样的函数，叫做非初等函数.第二节

极限的概念一、数列的极限

以前我们已经学过数列的概念，现在我们来考察当项数n无限增大时，无穷数列{an}的变化趋势.我们先看一个实例：一个篮球从距地面1米高处自由下落，受地心引力及空气阻力作用，每次触地后篮球又反弹到前一次高度的1/2处(见图1-8).于是，可得到表示篮球高度的一个数列1，1/2，1/2^2，1/2^3，…，1/2^（n-1），…

我们知道，篮球最终会停在地面上，即反弹高度h=0，这说明，随着反弹次数n的无限增大，数列通项hn=1/2^(n-1)的值将趋向于0.

现在，我们再来看两个无穷数列：1，1/2，1/3，1/4，…，1/n，…(1-2)0，3/2，2/3，5/4，…，(n+(-1)^n)/n，…(1-3)

为便于观察，我们在平面直角坐标系中作出数列(1-2)和(1-3)的图形.从图1-9中可看出，当n增大时，点(n，an)从横轴上方无限接近于直线an=0.这表明，当n无限增大时，数列通项an=1n的值无限趋近于零.同样，从图1-10中可看出，当n增大时，点(n，an)从上下两侧无限接近于直线an=1.这表明，当n无限增大时，数列通项an=（n+(-1)^n)/n的值无限趋近于常数1.

图1-9图1-10

上述数列的变化趋势具有相同的特点：当n无限增大时，数列的项an无限地趋近于某个常数A.定义1如果无穷数列{an}的项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数A,那么A就叫做数列{an}的极限(limit)记作：limn→∞an=A或an→A(当n→∞时).读作“当n趋向于无穷大时，数列{an}的极限等于A”.根据定义，上面三个数列的极限分别记作limn→∞1/（2n-1）=0；limn→∞1/n=0；limn→∞(n+(-1)^n)/n=1.

不是任何无穷数列都有极限.如数列{2n}，当n无限增大时，2n也无限增大，不能无限地趋近于一个确定的常数，因此这个数列没有极限.又如数列{(-1)n}，当n无限增大时，(-1)^n在1与-1两个数上来回跳动，不能无限地趋近于一个确定的常数，因此这个数列也没有极限.二、函数的极限1.当x→∞时函数f(x)的极限定义2如果当x→∞时,函数f(x)无限趋近于确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限,记作limn→∞f(x)=A或当x→∞时,f(x)→A.

注意：这里“x→∞”表示x既取正值而无限增大(记作x→+∞)，同时也取负值而绝对值无限增大(记作x→-∞).但有的时候x的变化趋势只能取这两种变化中的一种情况.

下面给出当x→+∞或x→-∞时函数极限的定义.定义3如果当x→+∞(或x→-∞)时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A,那么A就称为函数f(x)当x→+∞(或x→-∞)时的极限，记作limn→+∞f(x)=A，或当x→+∞时，f(x)→A.(limn→-∞f(x)=A，或当x→-∞时，f(x)→A)【例2】

如图1-11所示,利用图像考察当x→∞时，函数f(x)=1x的变化趋势.【解】

从图1-11中可以看出：当x的绝对值无限增大时，函数f(x)的值无限趋近于常数0.所以limx→∞1/x=0.显然地，limx→+∞1/x=0，limx→-∞1/x=0.图1-112.当x→x0时函数f(x)的极限定义4设函数y=f(x)在x0的某空心邻域（邻域就是在数轴上满足{x||x-x0|＜δ}，其中δ＞0的点的集合.即区间(x0-δ，x0+δ)内的一切实数.x0称邻域的中心，δ为半径.如果这个区间不含x0点，则称x0的空心δ邻域.）内有定义，如果当x无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，那么A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作limx→x0f(x)=A，或当x→x0时，f(x)→A.

【例3】如图1-12所示,根据图像求limx→3(x/3+1)的值.【解】

如图1-12所示，当x从3的左侧无限趋近于3时，即x取2.9，2.99，2.999，…→3时，对应的函数f(x)的值从1.97，1.997，1.9997，…→2.当x从3的右侧无限趋近于3时，即x取3.1，3.01，3.001，…→3时，对应的函数f(x)的值从2.03，2.003，2.0003，…→2.

图1-12由此可知，当x→3时，f(x)=x3+1的值无限趋近于2.即limx→3(x3+1)=2.

【例4】考察极限limx→x0C(C为常数).【解】

把C看作常数函数f(x)=C，则当x→x0时，f(x)的值恒等于C.因此有limx→x0C=C.

即常数的极限是它本身.

前面我们提到的x→x0，是指x以任意方式趋近于x0，但有的时候我们只需讨论，从x0的左侧趋近于x0(x→x-0)或从x0的右侧趋近于x0(x→x+0)时的极限.

下面给出当x→x-0(x→x+0)时，函数f(x)的极限.定义5如果当x→x-0时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)在x0处的左极限(leftlimit)，记作limx→x-0f(x)=A，f(x-0)=A或f(x)→A(x→x-0).如果当x→x+0时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)在x0处的右极限(rightlimit)，记作limx→x+0f(x)=A，f(x+0)=A或f(x)→A(x→x+0).根据x→x0时函数f(x)的极限的定义和左右极限的定义,容易得到如下结论:limx→x0f(x)=Alimx→x-0f(x)=A且limx→x+0f(x)=A【例5】若函数试求【解】

作出这个分段函数的图像，如图1-13所示，可见函数f(x)当x→0时的左极限为limx→0-f(x)=limx→0-(x-1)=-1.右极限为limx→0+f(x)=limx→0+(x+1)=1.因为当x→0时，函数f(x)的左、右极限虽各自存在但不相等，所以limx→0f(x)不存在.

图1-13第三节无穷小量与无穷大量

在研究函数的变化趋势时，我们发现某些函数的绝对值趋于无穷：一是函数的绝对值“无限变小”，二是函数的绝对值“无限变大”.下面我们来研究这两种情形.一、无穷小量定义1如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限为零，那么称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小量，简称无穷小.例如，当x→0时，sinx是无穷小；当x→∞时，1/x是无穷小.(1)无穷小和绝对值很小的数是截然不同的，例如10-10，10-100都是很小的数，但不是无穷小.只有零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为limx→x0(x→∞)0=0.(2)无穷小和自变量的变化趋势是密切相关的.例如函数f(x)=1/x，当x→∞时，1/x为无穷小；当x→1时，1x就不是无穷小.二、无穷大量定义2如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大量，简称无穷大.

如果按函数极限的定义来看，f(x)的极限不存在，但是为了便于叙述，我们称“函数的极限是无穷大”，并记作limx→x0(x→∞)f(x)=∞.

如果在无穷大的定义中，对于x0邻域内的x(或对于绝对值相当大的x)，对应的函数值都是正的或都是负的，则这两种情形分别记作

limx→x0(x→∞)f(x)=+∞，limx→x0(x→∞)f(x)=-∞.

例如limx→+∞epx=+∞，limx→0+lnx=-∞.(1)无穷大和绝对值很大的数是完全不同的，例如10^10，-10^100等都是绝对值很大的数，但不是无穷大.(2)无穷大和自变量的变化趋势密切相关.例如，函数f(x)=1/x，当x→0时，1/x为无穷大；当x→∞时，1/x为无穷小.三、无穷小量与无穷大量

定理

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么1f/(x)为无穷大.

例如，因为limx→∞x^3=∞，所以limx→∞1/x^3=0；因为limx→0sinx=0，所以limx→01/sinx=∞.四、无穷小量的性质

在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质：性质1有限个无穷小的代数和为无穷小.

性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小.

性质3有限个无穷小的乘积为无穷小.第四节极限的运算法则

利用极限的定义只能计算一些很简单的函数的极限，对于比较复杂的函数极限，我们需要用到极限的运算法则来进行计算.下面给出函数极限的运算法则：法则

设limx→x0f(x)=A，limx→x0g(x)=B，则有(1)limx→x0［f(x)±g(x)］=limx→x0f(x)±limx→x0g(x)=A±B；(2)limx→x0［f(x)·g(x)］=limx→x0f(x)·limx→x0g(x)=A·B；(3)limx→x0［Cf(x)］=C·limx→x0f(x)=C·A(C为常数)；

(4)【例1】求【解】原式==4+6-2=8【例2】求【解】原式===3【例3】求

【解】当x→2时，分母的极限为0，这时不能用法则（4），由于x→2而x≠2即x-2≠0，因而分式中可约去不为0的公因子，得原式====1/4【例4】求【解】令则当x→0+时，t→+∞，这时所以原式===1第五节两个重要极限一、判定极限存在的两个准则为了得出两个重要极限公式，先给出两个判定极限存在的准则.准则1如果函数f(x),g(x),h(x)在同一变化过程中满足g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=limh(x)=A，那么limf(x)存在且等于A.准则2如果数列{xn}单调有界，则limn→∞xn一定存在.二、两个重要极限公式1.【例1】求【解】原式==令t=x/2，则当x→0时，t→0，因此原式==1/2【例2】求【解】原式==2.【例3】求【解】原式=第六节函数的连续性

在许多实际问题中，数量的变化往往是连续的.例如，气温随时间的变化而变化着，当时间的变化极为微小时，气温的变化也极为微小，这就是说，气温是连续变化的.下面我们来研究函数的连续性.一、函数连续的概念1.函数的增量定义1设函数y=f(x)，当自变量由初值x0变到终值x1时，我们把差值x1-x0叫做自变量的增量(或改变量)，记作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx.这时可以说，自变量由初值x0变化到x0+Δx.相应地，函数值由f(x0)变化到f(x0+Δx)，我们把差值f(x0+Δx)-f(x0)叫做函数的增量(或改变量)，记作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0).2.函数的连续定义2设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，如果当自变量x在x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f(x)的相应增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋近于零，也就是说，有limΔx→0Δ=0或liymΔx→0［f(x0+Δx)-f(x0)］=0，

那么称函数y=f(x)在点x0处连续，x0称为函数f(x)的连续点.由于x=x0+Δx，因此Δx→0就是x→x0；Δy→0就是f(x)→f(x0)；limΔx→0Δy=0,limx→x0f(x)=f(x0).

因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义也可叙述如下.定义3如果函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，limx→x0f(x)存在并且limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数y=f(x)在点x0处连续，x0称为函数f(x)的连续点.

据此，函数y=f(x)在点x0连续必须满足以下三个条件：（1）函数f(x)在点x0处有定义；（2）limx→x0f(x)存在；（3）limx→x0f(x)=f(x0).

如果函数y=f(x)在x0处不连续，那么称函数f(x)在x0处是间断的，点x0称作函数y=f(x)的间断点或不连续点.定义4设函数y=f(x)在x0处及其左(或右)近旁有定义，如果limx→x-0f(x)=f(x0)(或limx→x+0f(x)=f(x0))，那么称函数f(x)在x0处左连续(或右连续).定义5如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都连续，那么称函数f(x)在区间(a，b)内连续，或称函数f(x)为区间(a，b)内的连续函数，区间(a，b)称为函数f(x)的连续区间.

如果f(x)在闭区间［a，b］上有定义，在区间(a，b)内连续，且在右端点b处左连续，在左端点a处右连续，即limx→b-f(x)=f(b)，limx→a+f(x)=f(a).那么称函数f(x)在闭区间［a，b］上连续.在几何上，连续函数的图像是一条连续不间断的曲线.【例2】适当选取a的值，使函数

在x=0处连续。【解】

因为f(x)的定义域为(-∞，+∞)，所以f(x)在x=0处及其近旁有定义.所以要使f（x）在x=0处连续，必须=

=f（0），即

可以满足函数在x=0处的连续性要求.二、初等函数的连续性1连续函数的和、差、积、商的连续性性质1如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续，那么它们的和、差、积、商(分母在x0处不等于零)也都在x0处连续.即

limx→x0［f(x)±g(x)］=f(x0)±g(x0)

limx→x0［f(x)·g(x)］=f(x0)g(x0)

limx→x0f(x)g(x)=f(x0)g(x0)(g(x0)≠0).【例3】判断tanx和cotx在x=π4处的连续性.【解】由于tanx=sinx/cosx，cotx=cosx/sinx，而sinx和cosx在点x=π/4处是连续的，所以tanx，cotx在点x=π4处也是连续的.2.复合函数连续性性质2如果函数u=φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u0处连续，那么复合函数y=f［φ(x)］在点x0处也连续.【例4】判断y=lnsinx在x=π6处的连续性.【解】函数u=sinx在x=π/6处连续，当x=π/6时，u=1/2；函数y=lnu在点u=1/2处连续；所以，复合函数y=lnsinx在点x=π/6处也是连续的.3.初等函数的连续性

根据初等函数的定义，由基本初等函数的连续性以及连续函数的和、差、积、商的连续性和复合函数的连续性可得到下面的重要结论：性质3一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

这个结论对于以后判定函数连续性及一些极限的运算是非常有价值的，如果已知函数f(x)是初等函数，且x0属于f(x)的定义区间，那么求limx→x0f(x)时，只需将x0代入函数，求函数值f(x0)即可.三、闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数具有一些重要的性质，这些性质在理论和实践中都有着广泛的应用.性质4如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，那么函数f(x)在［a,b］上一定有最大值与最小值.如图1-14所示，可以看出，在［a，b］上至少有一点ξ(a≤ξ≤b)使得f(ξ)=m为最小值，即m=f(ξ)≤f(x)(a≤x≤b)，又至少有一点η(a≤η≤b)使f(η)=M为最大值，即M=f(η)≥f(x)(a≤x≤b).注意：对于在开区间内连续或在闭区间上有间断点的函数，其最大值、最小值不一定存在.例如，函数y=x^2+1，在(-1，1)内连续，在x=0处取得最小值，但在这个区间内没有最大值；而在(1，2)内既无最大值，也无最小值.图1-14

【例6】判断函数在闭区间[0,2]上是否有最值.

【解】函数在x=1处的左极限为0，而右极限为2，因此函数在x=1处不连续，因而函数在这个区间上无最值.性质5如果函数y=f(x)在闭区间［a，b］上连续，且在两端点取不同的函数值f(a)=A和f(b)=B，C是A与B之间的任一数，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a＜ξ＜b).

这就是著名的介值定理，它的几何意义是：在［a，b］上的连续曲线y=f(x)与直线y=C(C在A与B之间)至少有一个交点，交点坐标为(ξ，f(ξ))，其中f(ξ)=C，如图1-16所示.

图1-16推论如果函数y=f(x)在闭区间［a，b］上连续，且f(a)与f(b)异号，那么至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得f(ξ)=0.推论的几何意义是：在［a，b］上连续的曲线y=f(x)两端点落在x轴的上、下两侧时，则曲线与x轴至少有一个交点，如图1-17所示.

图1-17【例7】证明方程x3-4x2+1=0在(0，1)内至少有一个实根.【证明】设f(x)=x3-4x2+1，因为它在闭区间［0，1］上连续，并且f(0)=1＞0，f(1)=-2＜0，所以根据推论可知，f(x)在(0，1)内至少有一点ξ(0＜ξ＜1)使得f(ξ)=0，即

ξ3-4ξ2+1=0(0＜ξ＜1).

这个等式说明方程x3-4x2+1=0在开区间(0，1)内至少有一个实根.

第2章导数与微分

导数的概念第一节求导法则

第二节高阶导数

第三节

函数的微分第四节第一节导数的概念一、引例

为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论以下两个问题：速度问题和切线问题.1变速直线运动的瞬时速度

我们知道在物理学中，物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式v=s/t来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀速直线运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间［t0，t1］内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s(t1)-s(t0)记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均速度记作v，得

v=[s(t1)-s(t0)]/(t1-t0)=Δs/Δt=[s(t0+Δt)-s(t0)]/Δt.那么，怎样求非匀速直线运动物体在某一时刻的速度呢？由于物体作变速运动，用匀速直线运动的公式v=st来计算它在某一时刻的速度已不适用.处理这个问题的基本方法是“匀速代变速”.为此，给t0一个增量Δt，当时间由t0改变到t0+Δt时，在Δt这一段时间内，物体走过的路程是Δs=f(t0+Δt)-f(t0)，物体在时间间隔Δt内的平均速度是v=Δs/Δt=[f(t0+Δt)-f(t0)]/Δt，用Δt这一段时间内的平均速度表示物体在t0时刻的瞬时速度，这当然是近似值，显然Δt越小，即时刻t越接近于t0，其近似程度就越好.为完成“近似”向“精确”的转化，令Δt→0，如果平均速度v的极限存在，则这个极限值就叫做物体在时刻t0的速度(瞬时速度)，即v(t0)=limΔt→0Δs/Δt=limΔt→0[f(t0+Δt)-f(t0)]/Δt2.切线问题

设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫做曲线在点M处的切线，如图2-1所示.

已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角)tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义，直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).

以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义.二、导数的概念定义1设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数y有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx→0时，ΔyΔx的极限存在，这个极限就称为函数y=f(x)在点x0处的导数，

记为y′|x=x0，即y′|x=x0=limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx，(2-1)也可以记作f′(x0)，dy/dxx=x0或df(x)dxx=x0.如果(2-1)式的极限存在，就称函数f(x)在点x0处可导.如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，就说函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.这时，对于(a,b)内的每一个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新的函数，这个新的函数叫做原来函数y=f(x)的导函数，记为y′，f′(x)，dy/dx或df(x)/dx.在(2-1)式中，把x0换成x，即得y=f(x)的导函数公式：y′=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.显然，函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值，即f′(x0)=f′(x)|x=x0.为方便起见，在不致引起混淆的地方，导函数也称导数.由此可见，导数是用极限来定义的，类似于有关极限的内容，导数有左右导数的定义.定义2设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果limΔx→0-Δy/Δx=limx→x-0f(x)-f(x0)/x-x0limΔx→0+Δy/Δx=limx→x+0f(x)-f(x0)/（x-x0）存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在，记作f′-(x0)(f′+(x0))函数的左(右)导数，又称函数的单侧导数.显然，函数y=f(x)在点x0处导数存在时，有结论：f′(x0)存在等价于左导数f′-(x0)和右导数f′+(x0)存在并且相等.三、导数的几何意义由切线斜率问题的讨论及导数定义可知:函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率,即f′(x0)=tanα，其中α是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得,曲线y=f(x)在给定点M(x0,y0)处的切线方程是y-y0=f′(x0)(x-x0)过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M(x0,y0)的法线.如果f′(x0)≠0,则法线方程为y-y0=-1/f′(x0)(x-x0).【例1】求过曲线y=3x2上点(2,12)的切线方程与法线方程.【解】

因为f′(x)=(3x2)′=6x

则f′(2)=12

于是过点(2,12)的切线方程为y-12=12(x-2)

即12x-y-12=0

法线方程为y-12=-112(x-2)

即x+12y-146=0四、可导与连续的关系

设函数y=f(x)在点x0处可导,即极限limΔx→0Δy/Δx=f′(x0)存在.由函数极限存在与无穷小的关系知Δy/Δx=f′(x0)+α(α是当Δx→0时的无穷小).

上式两端同乘以Δx,得Δy=f′(x0)Δx+αΔx.不难看出,当Δx→0时,Δy→0.这就是说,函数y=f(x)在点x0处是连续的.所以,如果函数y=f(x)在点x0处可导,则函数在该点处必连续.如果函数y=f(x)在某一点处连续,却不一定在该点处可导.第二节求导法则一、函数和、差、积、商的导数法则1若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)±v(x)也在x处可导，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)法则2若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)·v(x)在点x处也可导，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)特别地，令v(x)=c(常数)，则由于c′=0所以有［cu(x)］′=cu′(x).法则3若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，且v(x)≠0，则函数u(x)v(x)在点x处也可导且u(x)v(x)′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)［v(x)］^2二、复合函数的导数法则4如果函数u=φ(x)在点x处可导，且y=f(u)在对应点u=φ(x)处可导，那么复合函数f［φ(x)］在点x处也可导，并且dy/dx=dydu·dudx法则4可以推广到有有限个中间变量可导函数的复合函数的情况.例如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)都是可导函数，则复合函数y=f｛φ［ψ(x)］｝的导数是dy/dx=dydu·dudv·dvdx.利用导数定义及其他求导方法，可以求得基本初等函数的导数公式：三、隐函数的导数前面讨论函数求导方法所涉及的函数y已写成自变量x的明显表达式y=f(x)的形式，这样的函数叫做显函数.但有时候还会遇到另一类函数，是由一个含有x和y的方程F(x，y)=0来确定的函数y.例如，x^2+y^2=4，xy=epx+y等，这样的函数叫做隐函数.下面来讨论隐函数的求导问题.如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得，但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法是：(1)将方程F(x，y)=0的两端对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数；(2)求导后，解出y′即可(式子中允许有y出现).四、反函数的导数法则5设函数x=φ(y)在区间D内单调.在y处可导，且φ′(y)≠0，则其反函数y=f(x)在x=φ(y)处也可导，且dy/dx=1dxdy，或f′(x)=1/φ′(y).五、参数方程所确定的函数的导数

在实际应用中，函数y与自变量x的关系常常通过某一参数变量t表示出来，即x=φ(t)y=ψ(t)，t为参数,称为函数的参数方程.由于y是参数t的函数，由x=φ(t)知t是x的函数，所以，y通过t确定为x的复合函数.于是，由复合函数的求导法则及反函数的导数公式有dy/dx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′(t)φ′(t)第三节高阶导数一、高阶导数的概念

一般来说，函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是x的函数.如果函数y′=f′(x)仍是可导的，则把y′=f′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记为y″，f″(x)或d^2y/dx^2.相应地，y′=f′(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数.类似地,y=f(x)的二阶导数y″的导数叫做y=f(x)的三阶导数,三阶导数的导数叫做y=f(x)的四阶导数……一般地,f(x)的n-1阶导数的导数叫做y=f(x)的n阶导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.二、二阶导数的物理意义设物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t),瞬时速度为v=s′(t).此时,若速度v仍是时间t的函数,我们可以求速度v对时间t的变化率:v′(t)=(s′(t))′=s″(t).在力学中把它叫做物体在给定时刻的加速度,用a表示.也就是说,物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数,即a=v′(t)=s″(t)=d^2sdt^2.第四节函数的微分一、微分的概念

在实际生产实践中,有时需要考虑这样的问题:当自变量有一微小的增量时,函数的增量是多少.例如，一个边长为x0的正方形金属薄片,当受冷热影响时,其边长由x0变到x0+Δx,问此时薄片的面积的改变量是多少?

设正方形薄片的边长为x0,面积为y,则上面问题就是求函数y=x2当自变量由x0变到x0+Δx时函数y的改变量Δy,也就是面积的改变量.

Δy=(x0+Δx)2-x20=2x0·Δx+(Δx)2.例如,当x0=10,Δx=0.1时,面积的改变量为

Δy=2×10×0.1+0.12=2.01;当x0=10,Δx=0.01时,面积的改变量为Δy=2×10×001+0.012=0.2001;当x0=10,Δx=0.001时,面积的改变量为Δy=2×10×0.001+0.0012=0.020001.

由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为2x0·Δx,Δy≈2x0·Δx.

从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其微的.当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成Δy≈f′(x0)·Δx.由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.

一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算，即Δy≈f′(x0)Δx(2-2)我们把f′(x0)·Δx称为函数y=f(x)在点x=x0处的微分.定义

如果函数y=f(x)在点x0处存在导数f′(x0)，那么f′(x0)·Δx就叫做函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dyx=x0，即dyx=x0=f′(x0)·Δx.

若函数y=f(x)在区间(a，b)内任一点x处都可导，则把它在点x处的微分叫做函数的微分，记作dy或df(x)，即dy=f′(x)·Δx.二、微分的几何意义

如图2-4所示，设曲线y=f(x)上一点P的坐标为(x0，f(x0))，过P点作割线PQ交曲线于Q点，其坐标为(x0+Δx，f(x0+Δx))，则dx=Δx=PR，Δy=RQ.

又设过P(x0，f(x0))点的切线PT交RQ于点M，函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是过P点的切线PT的斜率，即f′(x0)=tanα=RM/PR，因此函数在点x0的微分是：dy=f′(x0)·Δx=RMPR·PR=RM，这说明函数在x=x0处的微分是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的纵坐标对应于Δx的改变量.这就是微分的几何意义.三、微分的运算

从函数微分的表达式dy=f′(x)dx可知，要计算函数的微分，只要求出函数的导数，再乘以自变量的微分即可.因此，从导数的基本公式和运算法则就可以直接推出微分的基本公式和运算法则.四、微分在近似计算中的应用

函数y=f(x)在x=x0处的增量Δy，当|Δx|很小时，可用微分dy来代替，即Δy≈dy=f′(x0)Δx，

于是Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx，或f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.在上式中，令x0=0，Δx=x，得f(x)≈f(0)+f′(0)x.(2-4)

应用(2-4)式可推得几个工程上常用的近似公式(假定|x|是很小的数值)：第3章中值定理与导数的应用

中值定理第一节洛必达法则

第二节函数单调性的判别法

第三节

函数的极值及其求法第四节

函数的最大值与最小值第五节曲线的凹凸性与拐点

第六节函数图形的描绘

第七节第一节中值定理

微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.一、罗尔定理罗尔定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零：f′(ξ)=0.在证明这个定理之前,先考察一下定理的几何意义.在图3-1中,设曲线弧AB的方程为y=f(x)(a≤x≤b).罗尔定理的条件在几何上表示:AB是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,且两个端点的纵坐标相等.定理的结论表达了这样一个几何事实:

在曲线弧AB至少有一点C,在该点处曲线的切线是水平的.从图中看到,在曲线的最高点或最低点处,切线是水平的,这就启发了我们证明这个定理的思路.证明

由于f(x)在闭区间［a,b］上连续,根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,f(x)在闭区间［a,b］上必定取得它的最大值M和最小值m.这样只有两种可能情形:(1)M=m.这时f(x)在区间［a,b］上必然取相同的数值M:f(x)=M.由此有f′(x)=0,因此可以取(a,b)内任意一点作为ξ而有f′(ξ)=0.(2)M＞m.因为f(a)=f(b),所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(x)在区间［a,b］的端点处的函数值.为确定起见,不妨设M≠f(a)(如果设m≠f(a),证法完全类似),那么必定在开区间(a,b)内有一点ξ使f(ξ)=M.下面证明f(x)在点ξ处的导数等于零,即f′(ξ)=0.因为ξ是开区间(a,b)内的点,根据假设可知f′(ξ)存在,即极限limΔx→0f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx存在.而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此f′(ξ)=limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx.由于f(ξ)=M是f(x)在［a,b］上的最大值，因此不论Δx是正的还是负的，只要ξ+Δx在［a，b］上，总有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.于是limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≤0，limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≥0而f′(ξ)存在，故f′(ξ)=0.二、拉格朗日中值定理

罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把f(a)=f(b)这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.

拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(3-1)成立.在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把(3-1)式改写成f(b)-f(a)b-a=f′(ξ)，由图3-2可看出，f(b)-f(a)b-a为弦AB的斜率，而f′(ξ)为曲线在点C处的切线的斜率.因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB.从罗尔定理的几何意义中(见图3-1)看出，由于f(a)=f(b)，弦AB是平行于x轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB.由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.

从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x)上，证得所要的结果.

由拉格朗日中值定理可以得到下面的推论：

推论1设函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，那么在区间I内函数f(x)=C，其中C为常数.

推论2设f(x)、g(x)是在I内的可导函数，若f′(x)=g′(x)，则f(x)-g(x)=C，其中C为常数.

证明

在区间I内任取两个点x1，x2，不妨设x1＜x2，应用拉格朗日中值定理，有f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)，ξ∈(x1，x2)，由于函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，则f′(ξ)=0，故等式右端为零，即f(x1)=f(x2)，这表明在区间I内任意两点处的函数值都相等，所以函数f(x)在区间I内是一个常数.

它在微分学中占有重要地位，有时也叫做微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.三、柯西中值定理

前面已经指出，如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.设AB由参数方程X=F(x)，Y=f(x)(a≤x≤b)表示，其中x为参数.那么曲线上点(X,Y)处的切线的斜率为dY/dX=f′(x)F′(x)，弦AB的斜率为f(b)-f(a)F(b)-F(a).

假定点C对应于参数x=ξ，那么曲线上点C处的切线平行于弦AB，可表示为f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ).与这一事实相应的是柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且F′(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立.第二节洛必达法则

如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)和g(x)都趋向于零，或都趋向于无穷大，那么此时极限limx→x0(或x→∞)f(x)g(x)可能存在，也可能不存在.通常把这种形式的极限叫做未定式，并分别简称为0/0型或∞/∞型不定式.对于未定式，不能直接用极限运算法则求得.下面介绍洛必达法则，它是求这类极限的简便而有效的方法.一、0/0型未定式第三节函数单调性的判定法

如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切线的倾斜角都是钝角，

它们的斜率f′(x)都是负的，即f′(x)＜0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的定理.第四节函数的极值及其求法一、函数极值的定义

在图3-10中我们可以看出，函数y=f(x)在c1,c4的函数值f(c1),f(c4)比它们两旁各点的函数值都大,而在点c2,c5的函数值f(c2),f(c5)比它们两旁各点的函数值都小.对于这种性质的点和对应的函数值，我们给出如下的定义.定义

设函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x0∈(a,b).如果对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＜f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0称为f(x)的一个极大值点；如果对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＞f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，点x0称为f(x)的极小值点.

函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点.（1）极值是指函数值，而极值点是指自变量的值，两者不应混淆.(2)函数的极值概念是局部性的，它只是在与极值点近旁的所有点的函数值相比较为较大或较小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.因此，函数的极大值不一定比极小值大.如在图3-10中，极大值f(c1)就比极小值f(c5)还小.(3)函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间内部，也可能是区间的端点.二、函数极值的判定和求法

如图3-10所示，在函数取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但曲线上有水平切线的地方，函数却不一定取得极值.例如，在点c3处，曲线具有水平切线，这时f′(c3)=0，但f(c3)并不是极值.下面我们讨论函数取得极值的必要条件和充分条件.定理1设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′(x0)=0.

使导数为零的点(即方程f′(x)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点(又叫稳定点).

定理1说明可导函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点并不一定是极值点，例如x=0是函数f(x)=x3的驻点，但x=0不是它的极值点.

既然函数的驻点不一定是它的极值点,那么,当我们求出函数的驻点后,怎样判别它们是否为极值点呢?如果是极值点,又怎样进一步判定是极大值点还是极小值点呢?为了解决这些问题,我们先借助图形来分析一下函数f(x)在点x0取得极值时,点x0左右两侧导数f′(x)的符号变化的情况.如图3-11所示,函数f(x)在点x0取得极大值,在点x0的左侧单调增加,有f′(x)＞0;在点x0的右侧单调减少,有f′(x)＜0.对于函数在点x0取得极小值的情形,读者可结合图3-12类似地进行讨论.

由此可给出函数在某点处取得极值的充分条件.定理