高考数学函数必备教材

高三数学第一轮复习

函数

讲说人：肖云一、考试内容查看映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数.函数的应用举例。

二、考试要求

1．了解映射的概念，理解函数的概念(三要素）。

2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。

4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。

6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题

㈠深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）

ABCD分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键

例2．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（

）A．0B．1C．0或1D．1或2㈡小结扯确定缺函数粉三要剩素的越基本钉类型顶与常膨用方谢法§1腥函太数的椅定义弊域2、稍求函颈数的夹定义勇域的茧主要碌依据故是：①分件式的难分母拦不为榨0；②偶苗次方墓根的否被开吩方数攻非负株；③对薄数的营真数伯大于惠0；④指熊数、乎对数通函数可的底廊数大基于0临且不画等于给1；⑤指巩数为跟0或绣负数精时，施底数滋不为铺0；⑥实哪际问征题的脉函数遥除要愈考虑追函数淡解析廊式有隙意义撤外，视还应顷考虑歪有实锦际意凳义。1、浇函数仇的定笼义域止是指怀自变哥量的指取值瞧范围苦。3、滑如果路函数掘是由肢一些棋基本以函数串通过迅四则烫运算吸而得启到的焰，那损么它清的定友义域滔是各挽基本瞒函数家定义膝域的爽交集紧。4、安已知f(x)的定义腥域为D，求f[g(猴x)]的定芽义域洋时，弓可令g(龟x)唤∈挥D解得x的范围C，即为f[宵g(俩x)氏]的定急义域宏；已知f[g(蒙x)]的定插义域佩为D，求f(x)定义躬域时侵，可鹊先由x∈善D，求出g(厕x)的范围C，即为f(病x)定义哀域。§2洋函物数的悬值域函数窗的值嗓域就拌是在近对应陆法则f的作瘦用下户，自拌变量x的值狱对应雷的y值的折集合扩。〖方吐法小我结〗1、诉求函鹊数值肠域的柿常用祥方法毛有：①配笋方法批：求呀形如F(膛x)抚=a适f2(x狂)+喜bf即(x乔)+狐c的函霸数值泄域问巩题,螺要注投意f(质x)的取璃值范障围对彻值域塞的影剩响.②真分式法:分式函数f(x)=形函数的值域，如f(x)=转化为f(x)=1－求值域;2x＋12x＋3ax＋bcx＋d5x＋3③反函数法:分式函数f(x)=形函数的值域，均可使用反函数法.ax＋bcx＋d④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.形如y=(a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二次方程根的分布来求解.a1x2+b1x+c2a2x2+b2x+c2⑤单见调性丹法:肌利用按函数粪在其姥定义候域或均定义烘域的取子集创上的恒单调浑性求酷出函累数的复值域坝.⑥换挺元法南:运纹用代观数或革三角粥代换键,将浊所给枯函数笛化成膏值域营容易炮求出捎的另短一类虎函数⑧不务等式叔法:彼利用学基本掏不等惧式求冤函数膀值域民,但廊要注妄意其灭使用朗的条绞件“榴一正径、二老定、从三相短等”征。⑦数逆形结案合法签:利耳用函疗数所气表示拍的几灯何意徐义或滋函数蝇图象屿,借夸助于尤几何客方法颜求出翠函数租值域读.3、暑求函市数的速值域溉没有剥通用啊的方售法和质固定谢的模坦式，青要靠约自己辅积累猛经验汗，掌都握规浙律。2、校求函匪数的嫁值域哈，不杠但要宝重视衫对应隶法则店的作纠用，普而且播要特早别注咸意定侵义域小对值吴域的滤制约桑作用航。4、二次函数在区间[m，n]上的最值一般分<m，m≤≤n和＞n三种情况进行讨论。－b2a－b2a－b2a例3．已夕知解此由类问补题，始在于氏找规灾律，父寻求塑简洁舍的求弱解，就且莫编先将x值代伞入，恒再求氏和；失否则绘将浪悲费宝老贵时告间例4．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(团x＋19五9)的解顿析式讯求f(汽x)的解脂析式承运算炒量较孝大，拳但这案里我丸们注军意到嚷，y=钞f(佩x＋19惑9)与y=剖f(骗x)，其图询象仅徐是左春右平愉移关铅系，滋它们突的最劲值是神一样才的。背求得f(虽x)的最业小值父即f(龙x＋19萌9)的最善小值蚊是2例5已知盼函数f(匙x)定义遥域为(0，2)，求函番数测的保定义友域定义域为例6．例6．例7．求m,n?[2夺,业4疗]实数州，求k的范泉围?例8．实数把，求m的范拿围?例9．(三)函稼数的嫂性质及应谱用§1艳函烟数的膨单调梅性1、谨定义缝：设术函数f(友x)的定证义域订为I：如果抹对于华属于绕定义柿域内赤某个猾区间碗上的洪任意瓶两个赞自变债量x1、x2，当x1＜x2时，藏都有f(晶x1)法＜f贿(x2)年（飘f(医x1)炕＞f倡(x2)易），那么赛就说f(衫x)在这薯个区经间上貌是增闸（减置）函释数。2、衰函数棚的单旺调性嫌必须剧在定距义域盼内进萍行，宏在定秃义域霜内的冠不同抖区间肿上可悲能有全不同鸭的单涝调性躲，因狠此必敞须说孟明在温哪个厉区间疤上递滤增或欧递减仿。〖方喉法小颜结〗1、蒸根据碍定义刷证明海函数爽单调冠性的扬方法振：①设x1、x2∈A天，且设x1＜x2；②作差拾：f(哄x1)－辽f(寒x2)，并变序形（垄分解脸、配傻方、亚通分黎等）挠；③球判断医差的槐符号似，并总作结滨论。2、皱根据乳导数橡判断费函数际单调岂性的扑方法办：已知沉函数y=您f(狠x)（1葡）分鱼析y=龄f(菊x)的定赏义域搜；（短2）裤求导搜数y´=f´(x鸭)（3替）解对不等猛式f´(x扔)>0姥，解柏集在推定义豪域内非的部欠分为却增区浩间（4莲）解从不等遣式f´(x盲)<0眼，吊解集摆在定塔义域擦内的饥部分博为减与区间3、殿复合升函数问单调都性的冠判断攀方法制：设y=易f(暴u)询，u败=g以(x犯)，遭x∈劈燕(a汽,b油),巨u∈诉(m其,n胳)，都是非单调碌函数挑，则y=帆f(六g(寨x)张)在[a,轻b]上也蜡是单辱调函股数。轻若y=联f(办u)是(m柔,澡n)上的仰增（孔减）槽函数疲，则y=树f(劝g(抢x)炸)的增职减性强与u=摄g(追x)的增减你性相马同（烂相反仍）。接也可剃概括创为“船同增循、同叮减为北增，男一增妖一减铃为减绳”。§2函数赶的奇单偶性1、涌定义大：如静果对师于函电数f(端x)的定衬义域拼内的穗任一舰个x,都有f(衬－x碎)=戚f狱(x遥)(或f(拢－x帆)=菜－钳f(忠x)辱），那么f(登x)是偶毕函数资（或线奇函监数）周。2、真图象戚特征赠：奇沟函数墙的图俗象关逮于原需点对尿称；挨偶函词数的含图象距关于y轴对血称。3、息奇偶屿函数宫的定亡义域盈一定葱关于里原点龙对称疗。4、妻函数关可分杯为：壁奇函保数、走偶函填数、乘非奇扑非偶笔函数稠、既劝是奇忠函数爹又是魂偶函休数（f(夺x)汗=赠0造）。5树.兵复合男函数搭奇偶垄性规蓬律若函妄数g(跟x)神，f虹(x题)，口f[斑g(尤x)唐]的定懂义域婆都是往关于祸原点村对称锹的，应则u=裤g(们x)抽，y水=f赌(u融)都是包奇函好数时握，y=券f[赢g(偷x)躲]是奇欠函数粉；u=绪g(仇x)荣，y绣=f拘(u印)都是橡偶函脾数，船或者何一奇叹一偶叛时，y=严f继[g型(x算)]是偶下函数例1函数y=log(x2-2x+3)的定义域为_____值域为_____，单调增区间为______，减区间为______。解：x2-2x+3>0∴x∈Rx2-2x+3=(x-1)2+2≥2

∴y=log(x2-2x+3)≤-1单调增区间为（-∞,1]，减区间为[1,+∞）例2、求函数的单调区间

例3．若y=温lo碍g(兽2-趟ax都)在［团0，除1］伪上是x的减赛函数睛，则a的取艰值范惰围是逗（律）A．篮(0急，1象)会B洗．(习1，拴2)C．化(0潮，2隔)社D蓄．[脱2，触+∞穴)分析辨：本口题必腾须保杯证：①使lo欲g(拥2-回ax角)有意卡义，惜即a＞豪0且a≠辛1，捎2-污ax贱＞0金．②使lo悦g(鹊2-矿ax柿)在[姜0，币1]模上是x的减骂函数保．由女于所拨给函哲数可登分解日为y=lo竖gu，u麦=2爆-a层x，其中u=归2-塑ax在a＞普0时为物减函洒数，顿所以剥必须a＞精1；妖③[顿0，斥1]必须愧是y=爆lo唱g(牧2-旷ax驶)定义类域的谁子集例4．若y=退ax演+l酒nx3在（拔0，烘1］俱上是x的增步函数盈，求a的取洲值范羊围例5．求函词数y=砖ax畏+l廉nx3在(侮0,特1]魂上的遥最大穷值？例6劝．设a>亚0，是上与的偶骂函数龄。（I）求a的值雹；（II第）证明f(及x)在R上是史增函贤数。例7支已知收函数f(t)满足方对任太意实迫数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y颗)+xy+1乎,且f(－蹄2)狮=－扑2.求f(1增)的值(四)代数薪推理艇题为求f(1)的值，需令令令

例8痕已知半函数f（插x）在（添－1童，1绘）上浩有定脂义，且满邪足x、蓝y∈显（－脾1，淋1）有证明值：f（泄x）在（巾－1晌，1银）上僻为奇球函数例9叶已知宅函数y=f(x)悬(x0诞)满足酷对任窜意非裕零实棵数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y洽)1、肢求证f(1赠)＝厦f(辽-1握)=鉴02、远求证y=f(x)是偶函腔数3、牛若y=f(x)在（叠0，州＋）功上是爽增函斑数解不惠等式f(朵x)丢+f锄(x件-1盐/2犹)酒0单元测试一、单选题1）若指数函数y=f(x)反函数的图像过点(2,-1)，则此指数函数是（）(A)y=()x(B)y=2x(C)y=3x(D)y=10x2）若f(x)=，则f()=-的解为（）（A）2（B）-2（C）±2（D）±13）若函数y=f(x)的定义域是[-2,2]，则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是（）(A)[-4,2](B)[-2,2](C)[-2,4](D)[-4,-2]4）设集合A和B都是坐标平面上的点集|(x,y)|x∈R,y∈R|，映射f:A→B把A中的元素(x,y)映射成B中的元素(x+y,x-y)，则在映射下，象(2,1)的原象是（）(A)(3,1)(B)(,)(C)(,-)(D)(1,3)5）函数y=f(x)的定义域和值域都是(-∞,0),那么函数y=f(-x)的图像一定位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限6）如果0<a<1,0<x2<x1，则下列各式中正确的是（）（A）1<ax2<ax1（B）ax1<ax2<1（C）ax2<ax1<1（D）ax1<1<ax27）若函数f(x-1)是偶函数，则函数f(x)()(A)以x=1为对称轴(B)以x=-1为对称轴(C)以y轴为对称轴(D)不具有对称性8）已知f(x)=asinx+b+4(a,b∈R)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（）（A）-5（B）5（C）-3（D）39）已知宇函数f(真x)世，(腾x∈R)满足娇：(1泪)f(酸1+必x)互=f毙(1山-x困)；省(2泡)在[任1,家+∞)上为概增函吃数；(3友)x1<0臂,x2>0竹，且x1+x2<-靠2，则f(尤-x1)与f(听-x2)的大呆小关比系是锤（）(A)您f起(-鸡x1)>固f(里-x2)即(非B)滨f包(-琴x1)=吊f(降-x2)(C桑)代f(远-x1)<锹f(弦-x2)钻(奏D)无法奔确定10）若f(赚x)为奇油函数绿，且侮在(-∞,0习)内是霞增函舍数，捷又f(腾-2松)=疼0，则x·昏f(座x)秤<0的解踏集为务（）(A)构(缘瑞-2衫,0谁)∪(0脑,2庭)来(估B)培(躲-∞,-凭2)∪(2孝,+∞)(C饲)吓(-∞,-俱2)∪(2够,+∞)枯(疑D)碧(协-2遭,0磨)∪(2碍,+∞)11）若f(唉x)青,g茅(x即)均为芳奇函去数，赶且F(厕x)代=a跳f(旅x)只+b居g(捷x)苹+1在(角0,鉴+∞)上有序最大址值4，则F(坦x)在(巷-∞,0笨)上有可最小繁值（滑）（A）阴-4茫（B诊）-台2（尘C）止-1愈（D犁）312千）定义灯在R上的打函数y=壳f(呈x)有反似函数然，则刊函数y=腿f(嗓x+上a)辰+b的图牵像与y=度f-1(x柄+a底)+得b的图脑像间茫的关筐系是辉（）(A)关于升直线y=剂x+医a+笛b对称(B)关于相直线x=役y+叠a+涝b对称(C)关于异直线y=石x+薄a-建b对称(D)关于昏直线x=家y+谅a-滩b对称二、填空题13）已知函数f(x)=ax2+b(x<0)的图像过点(-2,11),f(x)的图像过点(2,-1)，则a=___，b=___。14）已知logx3<logy3<0，则0,1,x,y之间的大小关系是_________。15）已知0<a<1，则方程a|x|=|logx|。实根的个数是____个。16）设函数g(x)=是奇函数，则a=__。三、遣解答印题17）设f(备x)是R上的培偶函祸数,且在袄区间(-∞,0卖)上递践增，笑若有f(厅2a2+a盟+1昨)<症f(佛3a2-2唱a+峡1)周，求a的取负值范幕围。解：∵2a2+a策+1帽>03a2-2魂a+登1>绍0∴2a2+a隔+1示>3累a2-2雁a+证1a2-3赞a<疑0速0<衔a<朋318）已知常数a>1，变数x,y之间有关系式：logax+3logxa-logxy=3。（1）若x=at(t≠0)，试求以a,t表示y的表达式；（2）若t的变化范围为[1,+∞)此时y的最小值为8，求a和x值。解：（1）logax+3logxa-logxy=3

∴=logax+-3

∴logay=loga2x-3logax+3y=a=a（2）当t=时y小=a=8

∴a=8=16此时x=16=6419）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A，B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。解：(1)y=ax2+bx+c∴ax2+bx+c=-3xy=-bxax2+2bx+c=0①△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4[(a+)2+c2]∵a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0∴△>0∴两函数图象交于两个不同点。（2）设方程两个根分别为x1,x2则x1+x2=-x1x2=|A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-===4a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0a>-a-c>c

∈(-2,-)∴|A1B1|2∈(3,12)<|A1B1|<220）如图所示，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米，现在要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路与公路的每吨千米的运费之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省。D点应选在何处？解：设|AD|=x铁路上每吨千米运费为3k，公路为5k。总运费y=5k+3k(100-x)(0≤x≤100)∴=5-3xADBC令=t∴(t+3x)2=25(x2+400)∴16x2-6tx+10000-t=0

△=36t2-4×16(10000-t)≥0∴t≥80当t=80时x=15时，即D取在距A15千米处，总运费量省。法2设∠ACD=a则总运费量y=3(100-20tana)+5×=300+()小=此时tana=∴AD=15（千米）21）已知减