特殊平行四边形提高训练

/特殊平行四边形提高训练一．选择题〔共16小题1．〔2016•灵璧县一模如图所示.矩形ABCD中.AE平分∠BAD交BC于E.∠CAE=15°.则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE.其中正确结论有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．〔2016•XX一模如图.在矩形AOBC中.点A的坐标〔﹣2.1.点C的纵坐标是4.则B、C两点的坐标分别是〔A．〔.、〔﹣.4 B．〔.3、〔﹣.4 C．〔.3、〔﹣.4 D．〔.、〔﹣.43．〔2016•石峰区模拟矩形ABCD中.AB=2.AD=1.点M在边CD上.若AM平分∠DMB.则DM的长是〔A． B． C． D．4．〔2016•姜堰区校级模拟矩形ABCD中.AB=4.BC=8.矩形CEFG上的点G在CD边.EF=a.CE=2a.连接BD、BF、DF.则△BDF的面积是〔A．32 B．16 C．8 D．16+a25．〔2016•灯塔市二模如图.在矩形ABCD中.AB=3.DC=2.O是AD的中点.连接OB、OC.点E在线段BC上〔点E不与点B、C重合.过点E作EM⊥OB于M.EN⊥OC于N.则EM+EN的值为〔A．6 B．1.5 C． D．6．〔2016•肥城市二模已知一个菱形的周长是20cm.两条对角线的比是4：3.则这个菱形的面积是〔A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm27．〔2015•XX过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC.交BC边于点E.交AD边于点F.分别连接AE、CF．若AB=.∠DCF=30°.则EF的长为〔A．2 B．3 C． D．8．〔2016•天津一模如图.菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.AC=8.BD=6.过点O作OH⊥AB.垂足为H.则点O到边AB的距离OH等于〔A．2 B． C． D．9．〔2016•和县一模如图.菱形ABCD中.点O对角线AC的三等分点.连接OB、OD.且OB=OC=OD．已知AC=3.那么菱形的边长为〔A． B．2 C． D．10．〔2016•XX模拟如图.在菱形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.点E为BC的中点.则下列等式中一定成立的是〔A．AB=BE B．AC=2AB C．AB=2OE D．AC=2OE11．〔2015•西城区二模如图.将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中.O是原点.若点A的坐标为〔1..则点C的坐标为〔A．〔.1 B．〔﹣1. C．〔﹣.1 D．〔﹣.﹣112．〔2015•桐庐县模拟如图.在正方形ABCD中.对角线AC=6.点P是对角线AC上的一点.过点P作PF⊥AD.PE⊥CD.则PF+PE的值为〔A．3 B．3 C．2 D．613．〔2015•XX二模如图.在矩形ABCD中.AD=2AB.E、F分别是AD、BC的中点.连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点.则四边形EMFN是〔A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定14．〔2015春•石林县期末如图.在正方形ABCD的外侧.作等边三角形ADE.连接CE.与对角线BD交于F.则∠BFC为〔A．75° B．70° C．65° D．60°15．〔2015•铁力市二模如图.点P是正方形ABCD的对角线BD上一点.PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F.连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2.正确的有〔个．A．5 B．4 C．3 D．216．〔2015•XX模拟如图.E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点.且BE=BC.P为CE上任意一点.PQ⊥BC于点Q.PR⊥BE于点R.则PQ+PR的值是〔A． B． C． D．二．解答题〔共11小题17．〔2016•XX模拟如图.矩形ABCD.E、F在AB、CD上.且EF∥AD.M为EF的中点.连接AM、DM.求证：AM=DM．18．〔2016•市南区一模已知：如图.在矩形ABCD中.点E在边AD上.点F在边BC上.且AE=CF.作EG∥FH.分别与对角线BD交于点G、H.连接EH.FG．〔1求证：△BFH≌△DEG；〔2连接DF.若BF=DF.则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．19．〔2016春•XX校级月考已知：如图.BE、BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线.AE⊥BE.垂足为点E.AF⊥BF.垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M和N．求证：〔1四边形AFBE是矩形；〔2MN=BC．20．〔2016•XX模拟如图.在△ABC中.D是BC边的中点.F.E分别是AD及其延长线上的点.CF∥BE.连结BF.CE．〔1求证：四边形BFCE是平行四边形；〔2当边AB、AC满足什么条件时.四边形BECF是菱形？并说明理由．21．〔2016•XX模拟已知：如图.在菱形ABCD中.F为边BC的中点.DF与对角线AC交于点M.过M作ME⊥CD于点E.∠1=∠2．〔1若CE=2.求BC的长；〔2求证：ME=AM﹣DF．22．〔2016•东平县一模如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD为AC的中线.过点C作CE⊥BD于点E.过点A作BD的平行线.交CE的延长线于点F.在AF的延长线上截取FG=BD.连接BG、DF．〔1求证：BD=DF；〔2求证：四边形BDFG为菱形；〔3若AG=13.CF=6.求四边形BDFG的周长．23．〔2016•南岗区模拟如图.在正方形ABCD中.点E在对角线AC上.点F在边BC上.连接BE、DF.DF交对角线AC于点G.且DE=DG．〔1求证：AE=CG；〔2试判断BE和DF的位置关系.并说明理由．24．〔2016•XX校级二模如图.在四边形ABCD中.AB=BC.对角线BD平分∠ABC.P是BD上一点.过点P作PM⊥AD.PN⊥CD.垂足分别为M.N．〔1求证：点A与C关于直线BD对称．〔2若∠ADC=90°.求证四边形MPND为正方形．25．〔2015•滕州市模拟已知：如图.正方形ABCD中.点E在BC的延长线上.AE分别交DC.BD于F.G.点H为EF的中点．求证：〔1∠DAG=∠DCG；〔2GC⊥CH．26．〔2016春•丹阳市校级月考如图.已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.E是AC上的一点.过点A作AG⊥BE.垂足为G.AG交BD于点F．〔1试说明OE=OF；〔2当AE=AB时.过点E作EH⊥BE交AD边于H.找出与△AHE全等的一个三角形加以证明.〔3在〔2的条件下若该正方形边长为1.求AH的长．27．〔2015•荆州如图1.在正方形ABCD中.P是对角线BD上的一点.点E在AD的延长线上.且PA=PE.PE交CD于F．〔1证明：PC=PE；〔2求∠CPE的度数；〔3如图2.把正方形ABCD改为菱形ABCD.其他条件不变.当∠ABC=120°时.连接CE.试探究线段AP与线段CE的数量关系.并说明理由．特殊平行四边形提高训练参考答案与试题解析一．选择题〔共16小题1．〔2016•灵璧县一模如图所示.矩形ABCD中.AE平分∠BAD交BC于E.∠CAE=15°.则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE.其中正确结论有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[分析]根据矩形性质求出OD=OC.根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形.求出AC=2AB.即可判断②.求出∠BOE=75°.∠AOB=60°.相加即可求出∠AOE.根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE．[解答]解：∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD=90°.OA=OC.OD=OB.AC=BD.∴OA=OD=OC=OB.∵AE平分∠BAD.∴∠DAE=45°.∵∠CAE=15°.∴∠DAC=30°.∵OA=OD.∴∠ODA=∠DAC=30°.∴∠DOC=60°.∵OD=OC.∴△ODC是等边三角形.∴①正确；∵四边形ABCD是矩形.∴AD∥BC.∠ABC=90°∴∠DAC=∠ACB=30°.∴AC=2AB.∵AC＞BC.∴2AB＞BC.∴②错误；∵AD∥BC.∴∠DBC=∠ADB=30°.∵AE平分∠DAB.∠DAB=90°.∴∠DAE=∠BAE=45°.∵AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB.∴∠AEB=∠BAE.∴AB=BE.∵四边形ABCD是矩形.∴∠DOC=60°.DC=AB.∵△DOC是等边三角形.∴DC=OD.∴BE=BO.∴∠BOE=∠BEO=〔180°﹣∠OBE=75°.∵∠AOB=∠DOC=60°.∴∠AOE=60°+75°=135°.∴③正确；∵OA=OC.∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE.∴④正确；故选C．2．〔2016•XX一模如图.在矩形AOBC中.点A的坐标〔﹣2.1.点C的纵坐标是4.则B、C两点的坐标分别是〔A．〔.、〔﹣.4 B．〔.3、〔﹣.4 C．〔.3、〔﹣.4 D．〔.、〔﹣.4[分析]如过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、根据△AOF∽△CAE.△AOF≌△BCN.△ACE≌△BOM解决问题．[解答]解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、∵点A坐标〔﹣2.1.点C纵坐标为4.∴AF=1.FO=2.AE=3.∵∠EAC+∠OAF=90°.∠OAF+∠AOF=90°.∴∠EAC=∠AOF.∵∠E=∠AFO=90°.∴△AEC∽△OFA.∴.∴EC=.∴点C坐标〔﹣.4.∵△AOF≌△BCN.△AEC≌△BMO.∴CN=2.BN=1.BM=MN﹣BN=3.BM=AE=3.OM=EC=.∴点B坐标〔.3.故选C．3．〔2016•石峰区模拟矩形ABCD中.AB=2.AD=1.点M在边CD上.若AM平分∠DMB.则DM的长是〔A． B． C． D．[分析]由矩形的性质得出CD=AB=2.AB∥CD.BC=AD=1.∠C=90°.由平行线的性质得出∠BAM=∠AMD.再由角平分线证出∠BAM=∠AMB.得出MB=AB=2.由勾股定理求出CM.即可得出DM的长．[解答]解：∵四边形ABCD是矩形.∴CD=AB=2.AB∥CD.BC=AD=1.∠C=90°.∴∠BAM=∠AMD.∵AM平分∠DMB.∴∠AMD=∠AMB.∴∠BAM=∠AMB.∴BMB=AB=2.∴CM===.∴DM=CD﹣CM=2﹣；故选：D．4．〔2016•姜堰区校级模拟矩形ABCD中.AB=4.BC=8.矩形CEFG上的点G在CD边.EF=a.CE=2a.连接BD、BF、DF.则△BDF的面积是〔A．32 B．16 C．8 D．16+a2[分析]根据两个矩形面积之和加上三角形DGF面积.减去△ABD面积与△BEF面积.求出△BDF面积即可．[解答]解：根据题意得：△BDF的面积=8×4+2a•a+×2a〔4﹣a﹣×8×4﹣a〔2a+8=32+2a2+4a﹣a2﹣16﹣a2﹣4a=16；故选：B．5．〔2016•灯塔市二模如图.在矩形ABCD中.AB=3.DC=2.O是AD的中点.连接OB、OC.点E在线段BC上〔点E不与点B、C重合.过点E作EM⊥OB于M.EN⊥OC于N.则EM+EN的值为〔A．6 B．1.5 C． D．[分析]连接OE.由矩形的性质得出CD=AB=3.AD=BC=2.∠A=∠D=90°.由勾股定理得出OB=OC=.由△OBE的面积+△OCE的面积=△OBC的面积.即可得出结果．[解答]解：连接OE.如图所示：∵四边形ABCD是矩形.∴CD=AB=3.AD=BC=2.∠A=∠D=90°.∵O是AD的中点.∴AO=DO=1.∴OB=OC==.∵△OBE的面积+△OCE的面积=△OBC的面积.∴OB•EM+OC•EN=BC•AB.∴〔EM+EN×=×2×3.解得：EM+EN=；故选：D．6．〔2016•肥城市二模已知一个菱形的周长是20cm.两条对角线的比是4：3.则这个菱形的面积是〔A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm2[分析]先求出菱形的边长.然后设菱形的两对角线分别为8x.6x.根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半.再利用勾股定理列式求出x.从而得到对角线的长.然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．[解答]解：∵菱形的周长是20cm.∴边长为20÷4=5cm.∵两条对角线的比是4：3.∴设菱形的两对角线分别为8x.6x.根据菱形的性质可知.菱形的对角线互相垂直平分.则对角线的一半分别为4x.3x.根据勾股定理得.〔4x2+〔3x2=52.解得x=1.所以.两对角线分别为8cm.6cm.所以.这个菱形的面积=×8×6=24cm2．故选：D．7．〔2015•XX过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC.交BC边于点E.交AD边于点F.分别连接AE、CF．若AB=.∠DCF=30°.则EF的长为〔A．2 B．3 C． D．[分析]求出∠ACB=∠DAC.然后利用"角角边"证明△AOF和△COE全等.根据全等三角形对应边相等可得OE=OF.再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形.再求出∠ECF=60°.然后判断出△CEF是等边三角形.根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF.根据矩形的对边相等可得CD=AB.然后求出CF.从而得解．[解答]解：∵矩形对边AD∥BC.∴∠ACB=∠DAC.∵O是AC的中点.∴AO=CO.在△AOF和△COE中..∴△AOF≌△COE〔ASA.∴OE=OF.又∵EF⊥AC.∴四边形AECF是菱形.∵∠DCF=30°.∴∠ECF=90°﹣30°=60°.∴△CEF是等边三角形.∴EF=CF.∵AB=.∴CD=AB=.∵∠DCF=30°.∴CF=÷=2.∴EF=2．故选A．8．〔2016•天津一模如图.菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.AC=8.BD=6.过点O作OH⊥AB.垂足为H.则点O到边AB的距离OH等于〔A．2 B． C． D．[分析]因为菱形的对角线互相垂直平分.菱形的四边相等.根据面积相等.可求出OH的长．[解答]解：∵四边形ABCD是菱形.AC=8.BD=6.∴BO=3.AO=4.AO⊥BO.∴AB==5．∵OH⊥AB.∴AO•BO=AB•OH.∴OH=.故选D．9．〔2016•和县一模如图.菱形ABCD中.点O对角线AC的三等分点.连接OB、OD.且OB=OC=OD．已知AC=3.那么菱形的边长为〔A． B．2 C． D．[分析]由菱形的性质得出AB=BC.得出∠BAC=∠ACB.由已知条件得出OB=OC=AC=1.由等腰三角形的性质得出△BOC∽△ABC.得出对应边成比例.即可求出菱形的边长．[解答]解：∵四边形ABCD是菱形.∴AB=BC.∴∠BAC=∠ACB.∵点O对角线AC的三等分点.∴OB=OC=AC=1.∴∠BAC=∠ACB=∠OBC.∴△BOC∽△ABC.所以.即.∴BA2=3.∴BA=；故选：A．10．〔2016•XX模拟如图.在菱形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.点E为BC的中点.则下列等式中一定成立的是〔A．AB=BE B．AC=2AB C．AB=2OE D．AC=2OE[分析]由菱形的性质以及三角形中位线定理逐项分析即可．[解答]解：∵点E为BC的中点.∴CE=BE=BC.∵AB=BC.∴AB=2BE.故选项A错误；∵在菱形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.∴AO=CO=AC.∴OE是△ABC的中位线.∴OE=AB.故选项C正确；∵AC≠AB≠BC.∴AC≠2AB≠2OE.故选项B.D错误.故选C．11．〔2015•西城区二模如图.将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中.O是原点.若点A的坐标为〔1..则点C的坐标为〔A．〔.1 B．〔﹣1. C．〔﹣.1 D．〔﹣.﹣1[分析]作AD⊥轴于D.作CE⊥x轴于E.则∠ADO=∠OEC=90°.得出∠1+∠2=90°.由正方形的性质得出OC=AO.∠1+∠3=90°.证出∠3=∠2.由AAS证明△OCE≌△AOD.OE=AD=.CE=OD=1.即可得出结果．[解答]解：作AD⊥轴于D.作CE⊥x轴于E.如图所示：则∠ADO=∠OEC=90°.∴∠1+∠2=90°.∵点A的坐标为〔1..∴OD=1.AD=.∵四边形OABC是正方形.∴∠AOC=90°.OC=AO.∴∠1+∠3=90°.∴∠3=∠2.在△OCE和△AOD中..∴△OCE≌△AOD〔AAS.∴OE=AD=.CE=OD=1.∴点C的坐标为〔﹣.1；故选：C．12．〔2015•桐庐县模拟如图.在正方形ABCD中.对角线AC=6.点P是对角线AC上的一点.过点P作PF⊥AD.PE⊥CD.则PF+PE的值为〔A．3 B．3 C．2 D．6[分析]由正方形的性质得出∠PAF=∠PCE=45°.证出△APF和△CPE是等腰直角三角形.得出PF=AP.PE=PC.即可得出结论．[解答]解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠BAD=∠BCD=90°.∠PAF=∠PCE=45°.∵PF⊥AD.PE⊥CD.∴△APF和△CPE是等腰直角三角形.∴PF=AP.PE=PC.∴PF+PE=〔AP+PC=AC=3；故选：A．13．〔2015•XX二模如图.在矩形ABCD中.AD=2AB.E、F分别是AD、BC的中点.连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点.则四边形EMFN是〔A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定[分析]利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN是矩形.进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME.BM=MF=AM.则ME=MF.进而求出即可．[解答]解：∵四边形ABCD为矩形.∴AD∥BC.AD=BC.∠EAB=∠ABF=∠BCD=∠CDA=90°.又∵E.F分别为AD.BC中点.AD=2AB.∴AE∥BF.ED∥CF.AE=BF=DE=CF=AB=DC.∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=∠DFC=45°.∴∠BEN=90°.又∵DEBF.AEFC.∴四边形EMFN是矩形.∴AM⊥BE.BM⊥AF.∴AM=ME.BM=MF=AM.∴ME=MF.∴四边形EMFN是正方形．故选：A．14．〔2015春•石林县期末如图.在正方形ABCD的外侧.作等边三角形ADE.连接CE.与对角线BD交于F.则∠BFC为〔A．75° B．70° C．65° D．60°[分析]由于四边形ABCD是正方形.△ADE是正三角形.由此可以得到CD=DE.接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．[解答]解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠ADC=90°.AD=DC.又∵△ADE是正三角形.∴CD=DE.∠ADE=60°.∴△CDE是等腰三角形.∠CDE=90°+60°=150°.∴∠ECD=∠DEC=15°.∵∠BDC=45°.∴∠CFD=180°﹣15°﹣45°=120°.∴∠BFC=60°.故选D15．〔2015•铁力市二模如图.点P是正方形ABCD的对角线BD上一点.PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F.连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2.正确的有〔个．A．5 B．4 C．3 D．2[分析]根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误．[解答]解：①正确.连接PC.可得PC=EF.PC=PA.∴AP=EF；②正确；延长AP.交EF于点N.则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE.可得AP⊥EF；③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；④错误.PD=PF=CE；⑤正确.PB2+PD2=2PA2．故选B．16．〔2015•XX模拟如图.E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点.且BE=BC.P为CE上任意一点.PQ⊥BC于点Q.PR⊥BE于点R.则PQ+PR的值是〔A． B． C． D．[分析]连接BP.利用面积法求解.PQ+PR的值等于C点到BE的距离.即正方形对角线的一半．[解答]解：连接BP.过C作CM⊥BD.∵S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×〔PQ+PR×=BE×CM×.BC=BE.∴PQ+PR=CM.∵BE=BC=1.且正方形对角线BD=BC=.又∵BC=CD.CM⊥BD.∴M为BD中点.又△BDC为直角三角形.∴CM=BD=.即PQ+PR值是．故选：D．二．解答题〔共11小题17．〔2016•XX模拟如图.矩形ABCD.E、F在AB、CD上.且EF∥AD.M为EF的中点.连接AM、DM.求证：AM=DM．[分析]由矩形的性质得出AE∥DF.∠BAD=90°.再由EF∥AD.证出四边形AEFD是矩形.得出AE=DF.∠AEM=∠DFM=90°.由SAS证明△AEM≌△DFM.得出对应边相等即可．[解答]证明：∵四边形ABCD是矩形.∴AE∥DF.∠BAD=90°.∵EF∥AD.∴四边形AEFD是矩形.∴AE=DF.∠AEM=∠DFM=90°.∵M为EF的中点.∴EM=FM.在△AEM和△DFM中..∴△AEM≌△DFM〔SAS.∴AM=DM．18．〔2016•市南区一模已知：如图.在矩形ABCD中.点E在边AD上.点F在边BC上.且AE=CF.作EG∥FH.分别与对角线BD交于点G、H.连接EH.FG．〔1求证：△BFH≌△DEG；〔2连接DF.若BF=DF.则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．[分析]〔1由平行四边形的性质得出AD∥BC.AD=BC.OB=OD.由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG.∠OHF=∠OGE.得出∠BHF=∠DGE.求出BF=DE.由AAS即可得出结论；〔2先证明四边形EGFH是平行四边形.再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH.即可得出四边形EGFH是菱形．[解答]〔1证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.AD=BC.OB=OD.∴∠FBH=∠EDG.∵AE=CF.∴BF=DE.∵EG∥FH.∴∠OHF=∠OGE.∴∠BHF=∠DGE.在△BFH和△DEG中..∴BFH≌△DEG〔AAS；〔2解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF.如图所示：由〔1得：BFH≌△DEG.∴FH=EG.又∵EG∥FH.∴四边形EGFH是平行四边形.∵BF=DF.OB=OD.∴EF⊥BD.∴EF⊥GH.∴四边形EGFH是菱形．19．〔2016春•XX校级月考已知：如图.BE、BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线.AE⊥BE.垂足为点E.AF⊥BF.垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M和N．求证：〔1四边形AFBE是矩形；〔2MN=BC．[分析]〔1由BE、BE是角平分线可得∠EBF是90°.进而由条件中的两个垂直可得两个直角.可得四边形AEBF是矩形；〔2由矩形的F质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5.可得ME∥BC.进而可得N为AC中点.根据三角形中位线性质求出即可．[解答]证明：〔1∵BE、BF分别是△ABC中∠B及它的外角的平分线.∴∠1=∠2.∠3=∠4.∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°.∴∠2+∠3=90°.∵AE⊥BE.E为垂足.AF⊥BF.F为垂足.∴∠AFB=∠AEB=90°.∴四边形AEBF为矩形；〔2∵四边形AEBF为矩形.∴BM=MA=ME.∴∠2=∠5.∵∠2=∠1.∴∠1=∠5.∴ME∥BC.∵M是AB的中点.∴N为AC的中点.∴MN=BC．20．〔2016•XX模拟如图.在△ABC中.D是BC边的中点.F.E分别是AD及其延长线上的点.CF∥BE.连结BF.CE．〔1求证：四边形BFCE是平行四边形；〔2当边AB、AC满足什么条件时.四边形BECF是菱形？并说明理由．[分析]〔1由已知各件.据AAS很容易证得：△BDE≌△CDF；〔2连接BF、CE.由AB=AC.D是BC边的中点.可知AD⊥BC.易证得△BFD≌△CFD.可得BF=CF；又因为〔1中△BDE≌△CDF得ED=FD.所以EF、BC互相垂直平分.根据菱形的性质.可得四边形BECF是菱形．[解答]〔1证明：∵在△ABC中.D是BC边的中点.∴BD=CD.∵CF∥BE.∴∠CFD=∠BED.在△CFD和△BED中..∴△CFD≌△BED〔AAS.∴CF=BE.∴四边形BFCE是平行四边形；〔2解：当AB=AC时.四边形BECF是菱形；理由如下：∵AB=AC.D是BC边的中点.∴AD⊥BC.∴EF⊥BC.∴四边形BECF是菱形．21．〔2016•XX模拟已知：如图.在菱形ABCD中.F为边BC的中点.DF与对角线AC交于点M.过M作ME⊥CD于点E.∠1=∠2．〔1若CE=2.求BC的长；〔2求证：ME=AM﹣DF．[分析]〔1根据菱形的性质可得CB=CD.AB∥CD.然后再证明∠2=∠ACD.根据等角对等边可得MC=MD.根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CE=4.进而可得BC=4．〔2延长DF.BA交于G.首先证明△CEM≌△CFM可得ME=MF.然后再证明△CDF≌△BGF可得DF=GF.然后证明∠1=∠G.根据等角对等边可得GM=CM.利用线段的和差关系可得结论．[解答]〔1解：∵四边形ABCD是菱形.∴CB=CD.AB∥CD.∴∠1=∠ACD．∵∠1=∠2.∴∠2=∠ACD.∴MC=MD．∵ME⊥CD.∴CD=2CE=4.∴BC=CD=4；〔2证明：如图.延长DF.BA交于G.∵四边形ABCD是菱形.∴∠BCA=∠DCA．∵BC=2CF.CD=2CE.∴CE=CF．在△CEM和△CFM中..∴△CEM≌△CFM〔SAS.∴ME=MF．∵AB∥CD.∴∠2=∠G.∠GBF=∠BCD.∵F为边BC的中点.∵CF=BF.在△CDF和△BGF中..∴△CDF≌△BGF〔AAS.∴DF=GF．∵∠1=∠2.∠G=∠2.∴∠1=∠G.∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.即ME=AM﹣DF．22．〔2016•东平县一模如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD为AC的中线.过点C作CE⊥BD于点E.过点A作BD的平行线.交CE的延长线于点F.在AF的延长线上截取FG=BD.连接BG、DF．〔1求证：BD=DF；〔2求证：四边形BDFG为菱形；〔3若AG=13.CF=6.求四边形BDFG的周长．[分析]〔1先可判断四边形BGFD是平行四边形.再由直角三角形斜边中线等于斜边一半.可得BD=FD；〔2由邻边相等可判断四边形BGFD是菱形；〔3设GF=x.则AF=13﹣x.AC=2x.在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．[解答]〔1证明：∵∠ABC=90°.BD为AC的中线.∴BD=AC.∵AG∥BD.BD=FG.∴四边形BGFD是平行四边形.∵CF⊥BD.∴CF⊥AG.又∵点D是AC中点.∴DF=AC.∴BD=DF；〔2证明：∵BD=DF.∴四边形BGFD是菱形.〔3解：设GF=x.则AF=13﹣x.AC=2x.∵在Rt△ACF中.∠CFA=90°.∴AF2+CF2=AC2.即〔13﹣x2+62=〔2x2.解得：x=5.∴四边形BDFG的周长=4GF=20．23．〔2016•南岗区模拟如图.在正方形ABCD中.点E在对角线AC上.点F在边BC上.连接BE、DF.DF交对角线AC于点G.且DE=DG．〔1求证：AE=CG；〔2试判断BE和DF的位置关系.并说明理由．[分析]〔1先证∠AED=∠CGD.再证明△ADE≌△CDG.根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；〔2先证明△AEB≌△CGD.得出对应角相等∠AEB=∠CGD.得出∠AEB=∠EGF.即可证出平行线．[解答]解：〔1证明：在正方形ABCD中.∵AD=CD.∴∠DAE=∠DCG.∵DE=DG.∴∠DEG=∠DGE.∴∠AED=∠CGD．在△AED和△CGD中.∴△AED≌△CGD〔AAS.∴AE=CG．〔2解法一：BE∥DF.理由如下：在正方形ABCD中.AB∥CD.∴∠BAE=∠DCG．在△AEB和△CGD中.∴△AEB≌△CGD〔SAS.∴∠AEB=∠CGD．∵∠CGD=∠EGF.∴∠AEB=∠EGF.∴BE∥DF．解法二：BE∥DF.理由如下：在正方形ABCD中.∵AD∥FC.∴=．∵CG=AE.∴AG=CE．又∵在正方形ABCD中.AD=CB.∴=．又∵∠GCF=∠ECB.∴△CGF∽△CEB.∴∠CGF=∠CEB.∴BE∥DF．24．〔2016•XX校级二模如图.在四边形ABCD中.AB=BC.对角线BD平分∠ABC.P是BD上一点.过点P作PM⊥AD.PN⊥CD.垂足分别为M.N．〔1求证：点A与C关于直线BD对称．〔2若∠ADC=90°.求证四边形MPND为正方形．[分析]〔1首先根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD.然后在△ABD和△CBD中.根据SAS证明两个三角形全等.进而得到∠ADB=∠CDB.AD=CD.根据等腰三角形的性质可得BD垂直平分AC.进而可得点A与C关于直线BD对称；〔2首先证明四边形PMDN是矩形.再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN.进而可得四边形MPND为正方形．[解答]证明：〔1连接AC.∵BD平分∠ABC.∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中..∴△ABD≌△CBD〔SAS.∴∠ADB=∠CDB.DA=DC.∴BD垂直平分AC.∴点A与C关于直线BD对称；〔2∵PM⊥AD.PN⊥CD.∴∠PMD=∠PND=90°.∵∠ADC=90°.∴四边形PMDN是矩形.∵∠ADB=∠CDB.∴BD平分∠ADC.∵PM⊥AD.PN⊥CD.∴PM=PN.∴四边形MPND为正方形．25．〔2015•滕州市模拟已知：如图.正方形ABCD中.点E在BC的延长线上.AE分别交DC.BD于F.G.点H为EF的中点．求证：〔1∠DAG=∠DCG；〔2GC⊥CH．[分析]〔1要证明∠DAG=∠DCG.需把两角放到两三角形中.证明两三角形△ADG与△CDG全等得到.全等的方法是：由ABCD为正方形.得到AD与DC相等.∠ADB与∠CDB相等.再加上公共边DG.利用"SAS"得到全等.利用全等三角形的对应角相等得证；〔2要证明GC与CH垂直.需证∠GCH=90°.即∠FCH+∠DCG=90°.方法是：由正方形的对边AD与BE平行.根据两直线平行.内错角相等得到∠DAF与∠E相等.由〔1得到的∠DAG与∠DCG相等.等量代换得到∠E与∠DCG相等.再由CH为直角三角形ECF斜边上的中线.得到CH与HE相等都等于斜边EF的一半.根据"等边对等角"得到∠E与∠HCE相等.又∠FCH+∠DCG等于90°.等量代换得到∠FCH+∠DCG=90°.即∠GCH=90°.得证．[解答]证明：〔1∵ABCD为正方形.∴AD=DC.∠ADC=90°.∠ADB=∠CDB=45°.又DG=DG.∴△ADG≌△CDG.∴∠DAG=∠DCG；〔2∵ABCD为正方形.∴AD∥BE.∴∠DAG=∠E.又∠DAG=∠DCG.∴∠E=∠DCG.∵H为直角三角形CEF斜边EF边的中点.∴CH=HE=EF.∴∠HCE=∠E.∴∠DCG=∠HCE.又∠FCH+∠HCE=90°.∴∠FCH+∠DCG