ccna包数学第四章导数定义

授课内容导数的定义利用定义计算导数知

识

点变化率、瞬时速度函数的改变量、导数、导函数常数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数、指数函数的导数重

点基本初等函数的求导公式在本章，我们将在函数与极限这两个概念的基础来研究微分学的两个基本概念----导数与微分第2节

导数与微分2.1.1

变化率问题举例1.变速直线运动的速度对于匀速运动来说,有速度公式:速度=距离/时间但是,在实际问题中,运动往往是非匀速的,在这样的情况下,要想知道物体在某一时刻的运动速度,即瞬时速度,就需要作进一步的讨论.下面通过例1说明如何定义与求出作变速直线运动的物体的瞬时速度Dtt0t取一邻近于t0的时刻t,运动时间Dt,平均速度v

=DsDtt

-

t

0s

-

s=

0当t

fi

t0时,

取极限得2t

fi

t0

t

fi

t0.0v

=

lim

v

=

lim

g

(t

0

+

t)

=

gt2g(

t

0

+

t

).2

)2(t

-

t0

)g

(t

2

-

t=

0

=例1 已知自由落体运动的路程s与所经过的时间t的关系是如图,2求t0时刻的瞬时速度,s

=1

,g求t

2t=3秒时物体下落的速度.Dt的平均速度Ds

当Dt

fi

0时的极限值，记为v.这就是物体在t0时刻的速度，它是Dt这段时间又称v为物体的瞬时速度.把t=3代入上式,知物体在第3秒时的速度为3g.即Dtv=

lim

Ds

=

lim

f

(t0

+

Dt)

-

f(t0

)Dtfi

0Dtfi

0

Dtt=t02tfi

t0

tfi

t00v

=

lim

v

=

lim

g(t0

+

t)

=

gt2.1.2导数的定义y¢x=x0f

¢(x0

)

或内有定义,当自变量x在x0处取得增量Dx(点x0

+

Dx

仍在该邻域内)时,

相应地函数y取得增量Dy

=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

);

如果Dy与Dx之比当Dx

fi

0时的极限存在,

则称函数y

=

f

(x)在点x0处可导,

并称这个极限为函数y

=

f

(x)在点x0处的导数,

记为设函数y

=f

(x)在点x0的某个邻域定义2.1,dx

dxx

=

x

0x

=

x

0或或

dy

df

(

x

).000f

(x

+

h)

-

f

(x

)f

(x

)

=

lim¢hfi

0其它形式00x

-

xhf

(x)

-

f

(x0

)

.f

¢(x

)=

limxfi

x0Dx=

lim

Dy

=

lim

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)y¢Dxfi

0Dxfi

0

Dxx=x

0即例2

求函数

y

=

x

3

在

x

=

1,

x

=

2处的导数

.解

当x由1变到1

+

Dx时，函数相应的改变量Dy

=

(1+

Dx)3

-13=

3

12

Dx

+

3

1(Dx)2

+

(Dx)3Dy

=

3

+

3Dx

+

(Dx)2D

xD

yDx\

f

¢(1)

=

limD

x

fi

0=

lim

(3

+

3Dx

+

(Dx)2

)

=

3Dxfi

0Dy

=

f

(x

+

Dx)

-

f

(x)Dy

=12

+

6Dx

+

(Dx)2Dx\

f

¢(2)

=

lim

DyDxfi

0

Dx=

lim

(12

+

6Dx

+

(Dx)2

)

=12Dxfi

0Dy

=

f

(x

+

Dx)

-

f

(x)例2

求函数

y

=

x

3

在

x

=

1,

x

=

2处的导数

.解

当x由2变到2

+

Dx时，函数相应的改变量Dy

=

(2

+

Dx)3

-

23=

3

22

Dx

+

3

2(Dx)2

+

(Dx)3内的每点处都可导

,

就称函数

f

(

x)在区间(a,b)内可导.如果函数

y

=

f

(

x)在区间

(a,

b)定义2.2关于导数的两点说明：1.函数在一点导数是因变量在点x0处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.y¢=

lim

f

(x

+

Dx)

-

f

(x)Dxfi

0即.hDxf

(x

+

h)

-

f

(x)或

f

¢(

x)

=

limhfi

0注意:f

¢(

x0

)

=

f

¢(

x)x

=x0

„

[

f

(

x0

)]¢

=

0导函数常称为导数dx

dxdy df

(

x)

.或y¢,

f

¢(

x),2.

对于任一

x

˛

(a,

b),

都对应着

f(

x)

的一个确定的导数值

.这个函数叫做原来函数f

(x)的导函数.记作两个实例可以表示为

:根据导数的定义，前面dqC¢(q)

=

dCdt产品总成本的变化率是总成本对产量的导数，即v

(t)

=

s¢=

ds变速直线运动的速度即v是路程s对时间t的导数，DxDxfi

0hhfi

0(

C

)

¢

=

0即2.1.3

利用定义计算导数步骤:常数函数 y

=

C

的导数f

¢(x)

=

lim

f

(x

+

Dx)

-

f

(x)

=limC

-C

=0..

求增量Dy

=

f

(x

+

Dx)

-

f

(x)Dy

=

f

(x

+

Dx)

-

f

(x)算比值.DxDyDxfi

0

DxDxy¢=

lim.

求极限nD

x

D

xD

y

(

x

+

D

x

)

n

-

x

n=

limD

x

fi

0(

x

)

¢=

limD

x

fi

02!=

lim

[nx

n-1

+

n(n

-1)

xn-2

Dx

+

+

(Dx)

n-1

]更一般地(x

m

)¢=

mx

m-1.

(m

˛

R)(

x

n

)

¢=

nx

n

-1

.Dxfi

0=

nx

n

-1即幂函数

y

=

xn

(n为正整数)

的导数注意：求几个幂函数的积和商的导数时，应先将它们化成幂指函数的形式并对指数作加减运算后再求导.例如(

x)2211

-

1=x.12

x=.12x(

x

-1

)

=

(-1)

x

-1-1

=

-14

x3x解 由幂函数的求导公式得,求y¢.例3

设y

=

x10，y

=

3

x

,

y

=

1

,

y

=33

x21x31x

331=(3

x

)¢=-

23

=(x

10

)¢=

10

x

9

.1

-114

x3x解 由幂函数的求导公式得,求y¢.例3

设y

=

x10，y

=

3

x

,

y

=

1

,

y

=11¢(

)

=

(

x

)

=

(-1)

x

=

-x

x

2¢-1

-244)

x43x

31(-

3

-

1-

3

4

)

¢=

(

-)

¢=

(

x.3434

4

x

74)

x

=

-=

(

--

7类似地可以得到(cos

x

)

¢=

-

sin

x(sin

x)¢=

cos

x即sin(

x

+

D

x

)

-

sin

x(sin

x

)

¢=limD

x

fi

022D

xsin2DxDxDx=

lim cos(

x

+

)Dx

fi

0=

cos

x设

y

=

sinx则正弦函数与余弦函数的导数这里用到重要极限公式xxxa1D

xlog (1

+

D

x

)=

limD

x

fi

0xxD

x=

x

)

D

xlim log

a

(1

+1D

x

fi

01

1=

log

e

=x

a

x

ln

aD

xlog

a

(

x

+

D

x

)

-

log

a

xy

¢=

limD

x

fi

0设

y

=

log

a

x

(

x

0,

a

0,

a

„

1),

则对数函数的导数1x(ln

x)¢=当a=e时，有自然对数的导数公式：a1x

ln

a(log

x

)

¢=即对数函数的导数例4

设

y

=

log

2

x，求

y¢.又如，设y

=ln

x，求y¢x=4xlne

x11=

,

(lne

=

1) y

¢=

(lnx

)

¢=.12x

ln

2y

¢=

(log

x

)

¢=解

因为

a

=

2

，由公式得41

.1==y

¢\x

=

4x

=

4x(a

x

)¢=

a

x

ln

a即(ex

)¢=

ex（这个求导公式可以用反函数的求导法则来进行证明，这里略.）特别地，当a=e时，因为lne=1,有：指数函数的导数设

y

=

a

x

(a

0,

a

„

1)

，

则

(a

x

)¢=

a

x

ln

ax2

x,求y

¢,

y

¢.1

2例5

设

y1

=

10 ,

y2

=3x解 在

y1

中，因为

a

=

10，由公式得y

1¢=

(10

x

)¢=

10

x

ln

102

2xx而

y

=

2

=

(

)

，a

=

,2

3

x

3

332323=

( )

x

ln)

x

¢

2y

2

=

(¢由公式得32=

(

) (ln

2

-

ln

3)x小 结:导数的实质: 增量比的极限;求导数最基本的方法:由定义求导数;直接用已推出的导数公式求导.小 结:(

C

)

¢

=

0(xm

)¢=

mxm

-1

(m

˛

R)(cos

x

)

¢=

-

sin

x(sin

x)¢=

cos

x1x(ln

x)¢=a1x

ln

a(log

x

)

¢=(a

x

)¢=

a

x

ln

a(ex

)¢=

ex函数f

(x)在点x0处的导数值f

¢(x0

)与函数f

(x)的导函数f

（¢

x)有什么联系与区别？思考题：思考题解答：导数f¢(x0

)即是导函数数值.f

¢(x)

在x0

处的函由导数的定义知，f

¢(x0

)是一个具体的数值，f

¢(x)是由于f

(x)在区间(a,b)上每一点都可导而定义在(a,b)上的一个新函数，即"x

˛

(a,

b)

，有唯一值f

¢(x0

)与之对应，所以两者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两者的联系是：f

(x)在某点x0处的2(1)课堂练习

Ex2100ln10=x=0

=

ln10x=-2f

¢(0)

=

10

x

ln10f

¢(-2)

=

10

x

ln10课堂练习解答:（2

1）

f

¢(

x)

=

10

x

ln10

,作业

Ex22 (2

,

3

,

4

)100f

¢(0)

=

100

ln10

=

ln10解

f

¢(x)

=

10x

ln10, f

¢(-2)

=

10-2

ln10

=

ln10

,2.

求下列各函数的导数（1）f(x)

=

10x

,求

f

¢(

x),

f

¢(-1),

f

¢(0),

y

=

x

,x ,

y

=x1(2) y

=

x ,

y

=

,

y

=y

=

xa0.7

3x

2x

3435xb

,y

=(n

x)m

,求y¢mnmx

nxxa+b==(n

x

)m-nnm;y

=

x

x

=

x

,

y¢=

x23y

=x

=

;34321x1m

-1y

=

(n

x

)m

=

x

n

,

y¢=xa

xba+b-1a

b1x

2

; y

=

x

0.7

,

y¢=

0.7x

-0.3

;