全书课件第二章第六章7讲

第7讲 函数的图象最新考纲

1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个

函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.知识梳理1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.函数图象间的变换

(1)平移变换y＝f(x)-k对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.(2)对称变换y＝-f(-x)(3)伸缩变换诊断自测判断正误(在括号内打“√”或“×”)当x∈(0

，＋

∞)

时，函数y

＝|f(x)|与y

＝

f(|x|)

的图象相同.(

×

)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(×)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(√)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(×)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象.(

×

)2.(2015·广州一调)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是()A.y＝(x－3)2＋3C.y＝(x－1)2＋3B.y＝(x－3)2＋1D.y＝(x－1)2＋1解析

把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案

C3.

点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，

O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是()答案

C4.(2016·沈阳调研)已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图(2)中的图象对应的函数为(

)A.y＝f(|x|)C.y＝f(－|x|)B.y＝|f(x)|D.y＝－f(|x|)解析

由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的，故选C.答案

C5.(2015·长沙模拟)已知函数f(x)＝log2x（x＞0），2x（x≤0），且关于x

的方程f(x)－a＝0

有两个实根，则实数a

的取值范围是

.解析

当

x≤0

时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程

f(x)－a＝0

有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.答案

(0，1]考点一

函数图象的作法【例1】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.解(1)首先作出y＝lg

x

的图象C1，然后将C1

向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2

在x

轴下方的图象作关于x

轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1

所示(实线部分).(2)y＝2x＋1－1

的图象可由y＝2x

的图象向左平移1

个单位，得y＝2x＋1

的图象，再向下平移一个单位得到，如图2

所示.(3)y＝x2－|x|－2＝x2－x－2（x≥0），2x

＋x－2（x＜0），其图象如图所3

所示.规律方法

画函数图象的一般方法：直接法，当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出.图象变换法，若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.描点法，当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.【训练1】分别画出下列函数的图象：x＋1

；(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1

(3)y＝10|lg

x|.解

(1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图1.2x＋12（x＋1）－1＝

x＋1

＝

x＋1

1

(2)y

＝2－x＋1.1可由函数y＝－向左平移1

个单位，再向上平x移2

个单位得到，如图2.x，x≥1，(3)y＝10|lg

x|＝1x，0＜x＜1，如图3.考点二 函数图象的辨识

1【例

2】

(1)(2015·浙江卷)函数

f(x)＝x－xcos

x(－π≤x≤π且

x≠0)的图象可能为(

)(2)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()1

1解析

(1)因为

f(－x)＝－x＋xcos(－x)＝－x－xcos

x＝

－f(x)，－π≤x≤π且x≠0，所以函数f(x)为奇函数，排除

1A，B.当x＝π

时，f(x)＝π－πcos

π＜0，排除C，故选D.(2)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.答案(1)D

(2)C规律方法辨识函数图象常用方法：(1)定性分析法，通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题；(2)定量计算法，通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题；(3)函数模型法，由所提供的图象特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题.【训练2】

(1)函数f(x)＝(1－cos

x)sin

x在[－π，π]的图象大致为(

)(2)(2016·杭州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则

f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)＝x2－2ln

|x|C.f(x)＝|x|－2ln

|x|B.f(x)＝x2－ln

|x|D.f(x)＝|x|－ln

|x|解析(1)因为f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos

x)·sin

x＝－f(x)，且－π≤x≤π，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B；当x∈(0，π)时，

1－cos

x＞0，sin

x＞0，所以f(x)＞0，排除A；又函数f(x)的导函数f′(x)＝sin2x－cos2x＋cos

x，所以f′(0)＝0，排除D，故选C.(2)由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x＞0

时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函2数等于0

的正根，可分别得1，2，2，1，由此可得仅函数f(x)＝x2－ln

|x|符合条件.答案

(1)C

(2)B考点三

函数图象的应用[微题型1]求解不可解方程根的个数问题【例3－1】已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg

x|的图象的交点共有(

)A.10个

B.9个

C.8个D.7个解析

根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；当x＞10时，|lg

x|＞1.因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lg

x|的图象交点共有10个.答案

A规律方法

当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.[微题型

2]

求解参数的取值范围问题【例3－2】已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，211)时，均有

f(x)＜，则实数

a

的取值范围是

.解析

由题知，当

x∈(－1，1)时，f(x)＝x2－ax1

12

x函数y＝x211＜2，即x

－2＜a

.在同一坐标系中分别作出二次－2，指数函数y＝ax

的图象，如图，当x∈(－1，1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需2≤a≤2

且a≠1.故实数a的1

2取值范围是

，1∪(1，2].1

2答案

，1∪(1，2]规律方法

对于含有参数的函数求参数范围时，一般是将含参数部分分离出来，转化为一个已知函数和一个含有参数的

函数的问题，再借助图象处理.[微题型3]

求不等式的解集【例3－3】已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是

.解析由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)＞－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，2].答案(－1，0)∪(1，2]规律方法

对于形如f(x)＞g(x)或可化为f(x)＞g(x)的不等式，可以分别作出函数f(x)，g(x)的图象，找到f(x)的图象位于g(x)的图象上方部分所对应的x的取值范围，即为不等式f(x)＞g(x)的解集.【训练

3】(1)函数

f(x)＝2ln

x

的图象与函数

g(x)＝x2－4x＋5

的图象的交点个数为(

)A.3

B.2

C.1

D.0|x2－1|(2)已知函数y＝

x－1

的图象与函数y＝kx－2

的图象恰有两个交点，则实数

k

的取值范围是

.解析

(1)在同一直角坐标系下画出函数

f(x)＝2ln

x

与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1

的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln