第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类

第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.知识点1空间向量的有关概念1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2.表示法：（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.3．几类特殊的空间向量名称定义表示法零向量规定长度为0的向量叫做零向量记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥aa∥b或eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量a＝b或eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)向量不能比较大小．(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．易错辨析：（1）空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．（2）单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定（3）共线的单位向量都相等?答：共线的单位向量是相等向量或相反向量（4）若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球（5）任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．（6）若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反？答：|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定（7）若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，则eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))？答：向量不能比较大小（8）空间中，a∥b，b∥c，则a∥c？答：平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行（9）若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p？答：向量的相等满足传递性（10）若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同知识点2空间向量的线性运算（一）空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意点：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；（二）空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．(3)向量λa与向量a一定是共线向量．非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(4)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立．(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无法运算．知识点3共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有用途共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。l的方向向量如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λa.定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)).(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)).(3)若O为空间中任意一点，则①点P是线段AB中点的充要条件是eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))；②若G为△ABC的重心，则eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))．易错辨析：（1）若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量?答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面在平面内共线的向量在空间不一定共线？答：在平面内共线的向量在空间一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线？答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线1、空间向量有关概念问题的解题策略(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．2、解决空间向量线性运算问题的方法进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．3、空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．4、利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．5、空间向量线性运算中的三个关键点6、判定空间图形中的两向量共线技巧要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．7、证明空间三点P，A，B共线的方法(1)eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))(λ∈R)．(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)．(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．8、解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．9、证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．10、证明三点共线和空间四点共面的方法比较考点一：空间向量的概念辨析例1．（2023春·高二课时练习）下列命题中，正确的是（

）.A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.【详解】对于A;比如,不相等，但，故A错误；对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；对于D；若，，但不相等，故D错误；故选：C变式1．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）下列说法正确的是（

）A．空间向量与的长度相等B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底【答案】AB【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.【详解】对于A，向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度相等，故A正确；对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确；对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.故选：AB.变式2．（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（

）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果，则D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【答案】A【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C，如果，则，C正确；对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.变式3．（2023·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（

）A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若，则､的长度相等且方向相同C．若向量､满足，且与同向，则D．若两个非零向量与满足，则.【答案】D【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；若，则､的长度相等但方向不确定，B错误；向量不能比较大小，C错误；由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.故选：D.变式4．（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确；对于④，由向量相等关系可知，④正确．故选：C.例2．（2023春·高二课时练习）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若，求向量的模．【答案】(1)；(2)；(3)3.【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答.（3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答.【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个.（2）的相反向量是.（3）在长方体中，连接，如图，，所以向量的模.变式1．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与相等的向量；

（2）与相反的向量；

（3）与平行的向量．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，（1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；（2）连接，因为，所以是平行四边形，所以，这样就可以写出与相反的向量；（3）连接，用类似（2）的方法可写出与平行的向量．【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，∴与相等的向量为；（2）连接，由平行六面体的性质可得，∴是平行四边形，∴，与相反的向量为．（3）连接，由平行六面体的性质可得，∴是平行四边形，∴，与平行的向量为．变式2．（2023·江苏·高二专题练习）在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.【详解】对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量；对于③与，易知是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．故选：B.变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中①+与1+1是一对相反向量；②-1与-1是一对相反向量；③1+1+1+1与+++是一对相反向量；④-与1-1是一对相反向量．正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点，①+与+不是一对相反向量，错误；②-与-不是一对相反向量，错误；③1+1+1+是一对相反向量,正确；④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个故选：A考点二：空间向量的线性运算例3．（2023·全国·高三对口高考）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】.故选：C变式1．（2023秋·高二课时练习）已知是三个不共面向量，已知向量则_________.【答案】【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】，，故答案为：例4．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体中，等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【详解】如图，可得，，所以.故选：B变式1．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的是（

）.①；②；③；④.A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理逐项分析运算.【详解】对①：，①正确；对②：，②正确；对③：以为基底向量，则，，根据空间向量基本定理可知：，③错误；对④：，④错误.故选：A.变式2．（2023秋·高二课时练习）根据如图的平行六面体，化简下列各式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，，及相反向量的定义即可求解；（2）由向量减法法则及即可求解.【详解】（1）在平行六面体中，因为，，所以；（2）在平行六面体中，因为，所以.变式3．（2023秋·高二课时练习）已知平行六面体，则下列四式中：①；②；③；④．正确的是__________．【答案】①②③【分析】由平行六面体的性质，结合空间向量的线性运算可得.【详解】，①正确；，②正确；由平行六面体性质可知，③正确；记的中点为E，则，④错误.故答案为：①②③

例5．（2023春·河南信阳·高二统考期中）在斜三棱柱中，的中点为，，则可用表示为_______________．【答案】【分析】利用空间向量的线性运算可求.【详解】.故答案为：.变式1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．【详解】如图，连接，

是的中点，，，，．故选：．变式2．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为，所以，因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：C.变式3．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P是的中点，所以，又因为点Q在上，且，所以，所以，故选：C.例6．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________.【答案】0【分析】利用空间向量加减法法则，把用表示出来，即可求出结果.【详解】如图所示，因为是棱的中点，所以，则，所以，故答案为：0.变式1．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：A.变式2．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，点E是上底面的中心，若，求的值．【答案】【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】因为点是上底面的中心，所以,又因为,所以，所以，考点三：空间向量共线问题空间向量共线的判断例7．（2023·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号）①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量；②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量；③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．【答案】①【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.【详解】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量，故①正确；对于②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故②不正确；对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故③不正确；对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上，但是与是共线向量，故④不正确；故答案为：①变式1．（2023春·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线．【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答.【详解】在正方体中，令，，BD与AC交于点M，即点M是的中点，于是，，因此，即，而直线与直线有公共点，所以三点共线.变式2．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．【答案】证明见解析．【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明.【详解】，，，，，因为、无公共点，故.例8．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平面向量共线定理分别判断，，，四组向量是否共线，即可得解.【详解】若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，，若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，，所以，又点为两向量的公共端点，所以三点共线.故选：D.变式1．（2023春·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.【答案】证明见解析.【分析】由空间向量的共线定理证明，【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心，所以M在BE上，N在AE上，设，，，因为M为BCD的重心，所以因为，所以，所以，同理得，∴.又，∴B，G，N三点共线由空间向量共线求参数值例9．（2023春·高二课时练习）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解．【详解】显然能推出，但包括向量，同向共线和反向共线两种情况，即当时，得或，因此推不出，故“”是“”的必要不充分条件．故选：B．变式1．（2023春·高二课时练习）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为________．【答案】/【分析】由题存在实数λ使得，解相应方程可得答案.【详解】由题意知，存在实数λ使得，即,解得.故答案为：变式2．（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【答案】.【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.【详解】因为，，则有，又A，B，D三点共线，于是，即，而不共线，因此，解得，所以实数k的值是.变式3．（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______.【答案】【分析】由向量加法得，由A，C，D三点共线得，即可求【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∴，∴.故答案为：.空间共线向量定理的推论及其应用例10．（2023春·高二课时练习）已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值．【答案】【分析】分析可知存在使得，利用空间向量共线的基本定理可求得的值.【详解】因为、、共线，则存在使得，即，所以，，又因为，则.变式1．（2023·江苏·高二专题练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．【答案】/【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得.【详解】因为正方体中，，设，又，所以，即，因为A、E、F三点共线，所以，解得，即.故答案为：.变式2．【多选】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【详解】当时，，所以，则，即P在棱上，故A错误；同理当时，则，故P在棱上，故B正确；当时，，所以，即，故点P在线段上，故C正确；当时，，故点在线段上，故D正确．故选：BCD．考点四：空间向量共面问题空间向量共面的判断例11．【多选】（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（

）A．空间的任意三个向量都不共面B．空间的任意两个向量都共面C．三个向量共面，即它们所在的直线共面D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；【详解】A.如图所示：，三个向量共面，故错误；B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；D.如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；故选：ACD变式1．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（

）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面【答案】BD【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立.【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.若与不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误；对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确.故选：BD.变式2．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（

）A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定【答案】A【分析】利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，所以与共面.故选：A.变式3．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．【答案】共面【分析】根据空间向量的运算法则化简得到，即可得到是共面向量.【详解】由空间向量的运算法则，可得，又由，可得，所以是共面向量.故答案为：共面.例12．（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.【答案】证明见解析【分析】由空间向量基本定理可得答案.【详解】由是不共面向量，得与不共线，设，则，所以，解得，所以，所以这三个向量共面.变式1．（2023春·高二课时练习）已知向量分别在两条异面直线上，分别为线段的中点，求证：向量共面．【答案】证明见解析【分析】由向量的运算法则得到，结合和，得到，即可得证.【详解】证明：由向量的运算法则，可得，两式相加，可得,因为分别为线段的中点，可得，所以，即，所以是共面向量.变式2．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面【答案】D【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；对于B，，，，又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；对于C、D，若，，，四点共面，则有，，即，故，故，，，四点共面，C错误，D正确.故选：D.变式3．（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？【答案】共面【分析】由已知得，由此利用空间向量共面定理能证明，，，四点共面．【详解】解：，，，四点共面．理由如下：，，，即，由，，三点不共线，可知和不共线，由共面定理可知向量，，共面，，，，四点共面．空间向量共面求参数例13．（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为__________．【答案】【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对，使得,即，所以，故答案为：变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.【答案】4【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值.【详解】以为空间一组基底，由于三个向量共面，所以存在，使得，即，整理得，所以，解得.故答案为：变式2．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则_____________．【答案】【分析】根据题意和空间向量的基本定理列方程，解之即可求解.【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线，，所以，解得.故答案为：-4.变式3．（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得，由，则，解得，故选：A.变式4．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理，进而得出方程，解之即可.【详解】因为，所以，即．因为M是平面ABC上一点，所以，所以．故选：B.变式5．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得【详解】因为，所以由得，即，因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，所以，故.故选：A.变式6．（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.【详解】由题知，四点共面,根据平面向量基本定理,不妨设,，则,，,.故选:B变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】因为，点在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值2．故选：D变式8．（2023·江苏·高二专题练习）已知点不共线，是空间任意一点，点在平面内，且，则（

）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值1 D．有最大值1【答案】A【分析】因为四点共面，则，即，从而得出答案．【详解】因为四点共面，则，即，所以当时，有最小值．故选：A．变式9．（2023春·高一课时练习）在正方体中，E为中点，，使得，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】正方体中存在三条互相垂直的直线，故我们可以建立空间直角坐标系进行计算.【详解】如图建系，设棱长为6，则，解之：故选：C变式10．（2023秋·浙江温州·高二校考期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.(1)若，求的值；(2)设，，，求的值.【答案】(1)0(2)6【分析】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值；（2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值.【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心，∴，∴，，，∴.（2）因为，且，，，所以，即，因为，，，共面，所以，即.空间共面向量定理的推论及其应用例14．（2023·高二校考课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（

）A．四点必共面 B．四点必共面C．四点必共面 D．五点必共面【答案】B【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.而，其中，所以四点共面.故选：B.变式1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（

）A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面【答案】B【分析】根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案.【详解】由，得，即，故共面.又因为三个向量有同一公共点P，所以共面.故选：B变式2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面【答案】A【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案.【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.变式3．【多选】（2023春·高二课时练习）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以可以得出，，，四点共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，，则，，为共面向量，所以与,，一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：AC．变式4．【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确；对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确；对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误；对D：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确；故选：ABD.1．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量共线判断三点共线即可．【详解】解：，又与过同一点B，∴A、B、D三点共线．故选：C．3．如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.【详解】（1）连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.（2）过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以，在中，，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱锥的高为，因为，所以，所以，又，所以.一、单选题1．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．空间任意两个向量共面B．向量、、共面即它们所在直线共面C．若，，则与所在直线平行D．若，则存在唯一的实数，使【答案】A【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；若，当时，不存在唯一的实数，使，D错．故选：A．2．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）下列四个命题中为真命题的是（

）A．已知，，，，是空间任意五点，则B．若两个非零向量与满足，则四边形是菱形C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D．对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面【答案】C【分析】根据空间向量的运算，即可判断A项；根据已知可推得，且，即可判断B项；根据空间向量可以平移，即可得出C项；当且仅当时，，，，四点共面，可知D项错误.【详解】对于A，因为，故A项错误；对于B，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，不一定是菱形，故B项错误；对于C，因为空间向量可以平移，将空间任意两个向量平移到同一起点时，则这两个向量可以是共面向量，故C项正确；对于D，对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，当且仅当时，，，，四点共面，故D项错误.故选：C.3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在中，点分别是棱的中点，则化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以.故选：C.4．（2023秋·天津·高二校联考期末）在四面体中，，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可【详解】因为，所以，因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：D5．（2022秋·高二单元测试）在平行六面体中，设，，，则以为基底表示（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的加法法则可得，再将已知条件代入即可得答案.【详解】因为.故选：A.6．（2023秋·广西防城港·高二统考期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出，结合条件即可得出答案.【详解】为的中点，，四边形为平行四边形，，.，，，，故选：B.7．（2023春·高二课时练习）平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，，则x＋3y等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且共面，则其充要条件是；由点A，B，C，D共面得①又由点B，C，D，E共面得②联立①②，解得所以故选：B8．（2023秋·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：，即，因为，所以，，，所以，，，所以.故选：B.9．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】D【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由，当“A、B、C、D四点在同一条直线上时，

A,B,C,D四点不共圆，若A、B、C、D四点共圆，当ABCD是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足，而当ABCD不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时.故选:D10．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先证明四点共面的条件，再根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以不能得到，，，四点不共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，由条件可得，则，，为共面向量，所以与,一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：C．二、多选题11．（2021秋·广东佛山·高二校考阶段练习）在平行六面体中，与向量相等的向量有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由平行六面体和向量相等的定义判断【详解】解：如图，在平行六面体中，与向量相等的向量有，，，故选：BC12．（2022·高二课时练习）（多选题）下列命题中不正确的是（

）A．若与共线，与共线，则与共线B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．若两个非零空间向量，，满足，则∥D．若∥，