五一特训突破概率课件

概率一．解答题（共40小题）1．（2022秋•浙江月考）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会．每答对一道题得10粒小豆．已知甲每题答对的概率均为p，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为．若乙有机会答题的概率为．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求甲，乙共同拿到小豆数量X的分布列及期望．2．（2022秋•丽水月考）自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节．自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：年份数学物理化学总计201847617201958518202069520202187621202298623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系．记x为年份与2017的差，y为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立y关于x的线性回归方程，并以此预测2023年的数学、物理和化学的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检．此次抽检从这20名学生中随机选取3位学生进行评审．记选取到数学专业的学生人数为X，求随机变量X的数学期望E（X）；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占76%，五年毕业的占16%，六年毕业的占8%．现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率．附：为回归方程，，．3．（2022秋•绍兴月考）下表为从某患者动态心电图中获取的二十四小时的心率数据（单位：次/分钟）123456789101112131415161718192021222324最慢心率x657068727072626171787272736065656562646262657267最快心率y981029310091991061231321461461389489859091838887889010594平均心率73797979758280869410010293827472747168696667718776（1）求最快心率y与最慢心率x的线性经验回归方程（保留小数点后一位）；（2）依据已有数据估计该病患后续的心率变化．（i）设该病患后续48小时中平均心率大于等于100次/分的小时数为随机变量X，估计X的期望；（ii）若该病患在后续48小时中共测出10小时平均心率大于等于100次/分，请运用统计学中的3σ原理分析该结果．参考公式：．参考数据：4．（2022秋•浙江月考）某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为．（1）在一场比赛中，求甲以3：1获胜的概率；（2）设一场比赛的总局数为X，求X的分布列与数学期望．5．（2022秋•杭州期中）某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（Ⅰ）分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，P（M）＞0，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．6．（2022秋•温州月考）2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势．电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装．某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统．（1）动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响．已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，，．（ⅰ）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；（ⅱ）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率．（2）随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平．现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访．统计了100名用户的数据，如下表：对续航能能力是否满意产品批次合计技术革新之前技术革新之后满意285785不满意12315合计4060100试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？参考公式：，n＝a+b+c+dP（χ2≥xa）＝α0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.8287．（2022秋•嘉兴月考）某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主持的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1﹣6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．月份123456不“礼让行人”333640394553（1）请利用所给的数据求不“礼让行人”人数y与月份x之间的经验回归方程＝x（1≤x≤12，x∈N），并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；（2）交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：不“礼让行人”礼让行人驾龄不超过3年1842驾龄3年以上436依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关？并说明理由．附：参考公式：，其中n＝a+b+c+d．独立性检验临界值表：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8288．（2022秋•上城区校级月考）有3名志愿者在2022年10月1号至10月5号期间参加核酸检测工作．（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作的概率；（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加核酸检测工作的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．9．（2022•浙江开学）2022年8月28日“山水联盟”高三开学考试，据统计共有6000名学生参加了联考，其中男生共有3200名，女生共有2800名．为了解考试情况，对6000名学生采取分层抽样的方式抽取60名学生调查数学成绩，其中有29名男生数学成绩优秀，有21名女生数学成绩优秀．（1）是否有95%的把握认为“数学成绩是否优秀与性别有关”？（2）在本次考试抽样调查中从数学成绩没有达到优秀的10人中随机抽取两人做进一步追踪调查，设抽到的女生人数为X，求X的概率分布列．参考公式：独立性检验统计量，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（χ2≥x0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82810．（2022秋•建平县月考）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城．某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛．参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题．（1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？（2）求学生甲答对的题数X的分布列和数学期望．11．（2022•苏州模拟）甲、乙、丙三人进行围棋比赛，规则如下：甲、乙进行第一局比赛，丙旁观；每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，负者下一局旁观；直至有人累计胜两局，则比赛结束，且先累计胜两局者为本次比赛获胜者．已知甲乙对弈，每局双方获胜的概率均为0.5，甲丙对弈、乙丙对弈，每局丙获胜的概率均为0.4、对方获胜的概率均为0.6，各局比赛结果相互独立．（1）设本次比赛共进行了X局，求X的分布列与数学期望；（2）若比赛结束时共进行了4局对弈，求丙是本次比赛获胜者的概率．12．（2022•青岛开学）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联；（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练．已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为．若先由甲控制球，经过3次传球后，乙队员控制球的次数为X，求X的分布列与期望E（X）．附：α0.0100.0050.001χα6.6357.87910.82813．（2022春•丰城市校级期末）为服务文明城市创建工作，丰城九中校团委暑期计划招募志愿者，对前来报名者先后进行笔试和面试两个环节测试．笔试共有备选题6道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出4道题进行测试，答对3道或4道题者，直接录用为志愿者，否则进入面试环节；面试共有100分，面试分只有高于90分者录用为志愿者．已知高一、高二年级学生报名参加测试，在这6道笔试题中，高一年级学生能答对每道题的概率均为，高二年级学生能答对其中的4道；在面试环节，高一、高二学生面试成绩高于90分的概率均为．（1）分别求高一年级学生、高二年级学生录用为志愿者的概率；（2）现有3名高二年级学生参加志愿者选拔，记这3名学生录用为志愿者的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．14．（2021秋•东昌府区校级期末）2021年暑假国内部分地区出现新冠肺炎本土确诊病例等情况，为精准做好“外防输入、内防反弹”疫情防控工作，有效控制和降低疫情传播风险，某高校倡议“非必要，不外出”，科学规划假期实践活动，借助抖音平台举行了防疫知识宣讲和防疫用品（口罩和消毒液的套装组合）营销大赛，现统计了某个团队连续5天的售出量和收益情况，如表所示：售出量x/套76656收益y/元165148150125142（1）若x与y成线性相关，则某天售出9套防疫用品，预计收益为多少元？（2）营销大赛结束后，该团队决定将收益以奖学金的形式奖励给该校品学兼优的学生，规定：考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级第201～500名，获二等奖学金300元；年级第501名及以后的学生将不获得奖学金．假设甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的；（ⅰ）若甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，甲、乙两名学生不获得奖学金的概率均为，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列；（ⅱ）若甲获得一、二奖学金的概率分别为，，乙获得一、二奖学金的概率分别为，，甲、乙两名学生不获得奖学金的概率分别为，，你认为甲、乙两名学生获得奖学金金额的期望值哪个更高？并说明理由．（附：＝，＝﹣．）15．（2021秋•贵州月考）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．（1）赛前小明在某数独APP上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：x/天1234567y（秒/题）910800600440300240210现用y＝a+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（a，b用分数表示）．（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及期望．参考数据（其中ti＝）：tiyiti2﹣7×217500.370.55参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．16．（2022•景德镇模拟）某运动会中，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目，比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球，对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分．当有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，发球一方赢得此球的概率都是0.6，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求比赛出现比分2：2的概率；（2）已知现在比分3：3，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．17．（2021秋•潮州期末）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束），约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．（1）求甲校以3：1获胜的概率；（2）记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的分布列及期望．18．（2022•浙江开学）为调查某小学学生的视力情况，随机抽取了该校150名学生（男生100人，女生50人），统计了他们的视力情况，结果如下：男生中有60人视力正常，女生中有40人视力正常．（Ⅰ）是否有99%的把握认为视力正常与否与性别有关？（Ⅱ）如果用这150名学生中，男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人视力正常”的人数，试求X的分布列和数学期望．附：．P（χ2≥k）0.100.050.0250.010.005k2.7063.8415.0246.6357.87919．（2022秋•浙江月考）为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”．某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：硫排放量X[2.55，5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5，175）[175，20.5）[20.5，23.5）频数56912864（1）假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得≈12.8，s≈5.2．试估计这320家企业中“超标”企业的家数；（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望．（参考数据：若X～X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．）20．（2022•浙江开学）某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分．某班派了甲、乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格．（Ⅰ）三题答完结束后，记X为乙同学的累计得分，求X的分布列和期望；（Ⅱ）求班级获得决赛资格的概率．21．（2022秋•拱墅区校级月考）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：单位：人购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计男性501060女性251540总计7525100（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．附：χ2＝，n＝a+b+c+d．a＝P（χ2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（2022秋•浙江月考）甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为p（0＜p＜1）．（1）若比赛采用五局三胜制，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若比赛采用三局两胜制，且p＝0.5，则比赛结束时，求甲获胜局数X的期望；（3）结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响．23．（2022秋•长沙月考）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中学习二十大精神竞赛，甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记﹣1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．（1）经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．24．（2022秋•岳麓区校级月考）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）依据α＝0.01的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求第n次传球后球在甲手中的概率．附：α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.82825．（2022秋•邵东市校级月考）2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占．（1）试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；（2）请将下面的列联表补充完整，并依据α＝0.05的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关．确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828，其中n＝a+b+c+d．26．（2022秋•潍坊月考）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物……中国制造为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了胜负）：球队负球队胜总计甲参加32932甲未参加71118总计104050（1）据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2，0.4，0.3，0.1，当出任边锋、中锋后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4、0.3、0.4、0.2．则：①当乙球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；②当乙球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担任边锋的概率；③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？附表及公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．27．（2022秋•新乡月考）乒乓球被称为中国的“国球”．甲、乙两位乒乓球爱好者决定进行一场友谊赛，制定如下比赛规则：比赛分两天进行，每天实行三局两胜制，即先赢两局者获得该天的胜利．若两天比赛中一方连续胜利，则该方获得胜利；若两天比赛中双方各胜一天，则第三天加赛一局，一局定胜负．设每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），各局比赛相互独立，没有平局．（1）当时，求第一天比赛甲获胜的概率；（2）记比赛结束时的总局数为Y，当时，求随机变量Y的分布列和数学期望．28．（2022秋•大祥区校级月考）奥密克戎BA.5变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表：潜伏期：（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数80210310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值．（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50）15050岁以下85总计300（3）为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为p（0＜p＜1）且相互独立，若当p＝p0时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求p0．附：，其中n＝a+b+c+dP（χ2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.87929．（2022秋•湖北月考）2022年9月28日晚，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以3：0的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；以3：2取胜的球队积2分，负队积1分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为．（1）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；（2）如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率．30．（2022秋•雨花区校级月考）某新型智能家电在网上销售，由于安装和使用等原因，必须有售后服务人员上门安装和现场教学示范操作，所以每个销售地区需配备若干售后服务店．A地区通过几个月的网上销售，发现每月利润（万元）与该地区的售后服务店个数有相关性．如表中x表示该地区的售后服务店个数，y表示在有x个售后服务店情况下的月利润额．x（个）23456y（万元）1934465769（1）求y关于x的线性回归方程；（2）假设x个售后服务店每月需消耗资金t＝3.8+0.5x2（单位：万元），请结合（1）中的线性回归方程，估算A地区开设多少个售后服务店时，才能使A地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．参考数据：．31．（2022秋•湖北月考）为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求．为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车购买时补贴大于1.5万6535购买时补贴不大于1.5万4555（1）能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？（2）若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记X表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求X的分布列与数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82832．（2022秋•禹州市校级月考）2022年2月4日﹣2月20日北京冬奥会如期举行，各国媒体争相报道运动会盛况，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻．某机构将每天关注冬奥时间在1小时以上的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：非冬奥迷冬奥迷合计50岁及以下406010050岁以上8020100合计12080200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关？（2）现从抽取的50岁及以下的人中，按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后，再从这5人中随机选出2人，其中“冬奥迷”的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63533．（2022秋•河南月考）3月30日，由中国教育国际交流协会主办的2022联合国国际教育日﹣中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前调查组对甲、乙两地区妇女受教育情况进行了调查，获得了一个容量为300的样本，调查表如下．完成了义务教育未完成义务教育合计甲地100乙地4070合计300（1）完成上面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为受教育程度与地区有关；（2）调查组从该样本的完成义务教育中根据地区按分层抽样抽取出7人，参加一次交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位妇女都是来自甲地的概率．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82834．（2022秋•安阳月考）产品开发是企业改进老产品、开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程．某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲、乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响．（1）若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案．（i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率．（2）若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数．35．（2022•济宁三模）某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响．（1）求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；（2）设小李所得总奖金为X，求随机变量X的分布列及其数学期望．36．（2022春•天河区校级月考）在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．成绩X[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125]人数Y62442208（1）已知本次质检中的数学测试成绩X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数，σ2近似为样本方差s2，若该市有5万考生，试估计数学成绩介于90～120分的人数；（以各组的区间的中点值代表该组的取值）（2）现按分层抽样的方法从成绩在[75，85）以及[115，125]之间的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行试卷分析，记被抽取的3人中成绩在[75，85）之间的人数为X，求X的分布列以及期望E（X）．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．37．（2022•河南模拟）相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了，毕竟手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式．现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到如下列联表：男性女性总计刷脸支付2570非刷脸支付10总计100（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关；（2）根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取9名，为进一步了解情况，再从抽取的9人中随机抽取4人，求抽到使用刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82838．（2022•襄城区校级四模）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联表：年长者年轻人总计喜欢阅读电子书1620喜欢阅读纸质书8总计40（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取4人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.87939．（2022•湖南三模）唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，且优质品的检验异常严格．优质品的检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件进行检验，记这3件唐三彩中优质品的件数为n，如果n＝2，再从这批唐三彩中任取3件进行检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果n＝3，再从这批唐三彩中任取1件进行检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验，假设这批唐三彩的优质品率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩进行检验所需的总费用记为X元，求X的分布列及数学期望．40．（2022秋•沈阳月考）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，n，其中0＜n＜1．（Ⅰ）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；（Ⅱ）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求n的范围．

参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2022秋•浙江月考）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会．每答对一道题得10粒小豆．已知甲每题答对的概率均为p，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为．若乙有机会答题的概率为．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求甲，乙共同拿到小豆数量X的分布列及期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）X的分布列为：X010203040PE（X）＝．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题，所以乙有机会答题的概率，解得；（Ⅱ）X的可能取值为0，10，20，30，40，，，，，，所以X的分布列为：X010203040P．2．（2022秋•丽水月考）自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节．自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：年份数学物理化学总计201847617201958518202069520202187621202298623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系．记x为年份与2017的差，y为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立y关于x的线性回归方程，并以此预测2023年的数学、物理和化学的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检．此次抽检从这20名学生中随机选取3位学生进行评审．记选取到数学专业的学生人数为X，求随机变量X的数学期望E（X）；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占76%，五年毕业的占16%，六年毕业的占8%．现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率．附：为回归方程，，．【答案】（1），24；（2）；（3）．【解答】解：（1）由题意，x的取值集合为{1，2，3，4，5}，y的取值集合为{17，18，20，21，23}，，，则，，故回归方程为，当x＝6时，则，故预测2023年的招生总人数为24人；（2）由已知条件可知，X可取0，1，2，3，，，，，故E（X）＝＝；（3）因为2025年毕业，则入学年份可能为2021年，2020年，2019年，由条件概率公式可知，该生被数学系录取的条件下，其在第k年入学的概率为：，故，，，故．3．（2022秋•绍兴月考）下表为从某患者动态心电图中获取的二十四小时的心率数据（单位：次/分钟）123456789101112131415161718192021222324最慢心率x657068727072626171787272736065656562646262657267最快心率y981029310091991061231321461461389489859091838887889010594平均心率73797979758280869410010293827472747168696667718776（1）求最快心率y与最慢心率x的线性经验回归方程（保留小数点后一位）；（2）依据已有数据估计该病患后续的心率变化．（i）设该病患后续48小时中平均心率大于等于100次/分的小时数为随机变量X，估计X的期望；（ii）若该病患在后续48小时中共测出10小时平均心率大于等于100次/分，请运用统计学中的3σ原理分析该结果．参考公式：．参考数据：【答案】（1）；（2）（i）4；（ii）答案见解析．【解答】解：（1），，故；（2）（i）由已知数据可得每小时平均心率大于等于100次的概率约为，故X的分布列近似二项分布X～B（48，），故E（X）＝；（ii）由（i）可得，故，由10＞E（x）+3σ得，“48小时中共测出10小时平均心率大于等于100次/分”几平不可能发生，故病患极有可能发生病情突变．4．（2022秋•浙江月考）某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为．（1）在一场比赛中，求甲以3：1获胜的概率；（2）设一场比赛的总局数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）X的分布列为：X345P（X）．【解答】解：（1）令事件Ai为甲在第i局获胜，i＝1，2，3，甲连胜两局的概率，解得，故在一场比赛中，甲以3：1获胜的概率为；（2）由题意可知，X可能的值为3，4，5，，，，故X的分布列为：X345P（X）故．5．（2022秋•杭州期中）某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（Ⅰ）分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，P（M）＞0，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．【答案】（Ⅰ）0.3；0.4；（Ⅱ）X的分布列为：X12P0.10.9E（X）＝1.9；（Ⅱ）证明过程见解析．【解答】解：（Ⅰ）设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件D为“乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，所以，．（Ⅱ）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，所以P（X＝1）＝0.3×0.2+0.1×0.4＝0.1，P（X＝2）＝1﹣P（X＝1）＝0.9，所以X的分布列为：X12P0.10.9所以X的数学期望E（X）＝1×0.1+2×0.9＝1.9．（Ⅲ）证明：由题知，即，即P（NM）＞P（N）⋅P（M），即P（NM）﹣P（N）P（NM）＞P（N）⋅P（M）﹣P（N）P（NM），即，即，即．6．（2022秋•温州月考）2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势．电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装．某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统．（1）动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响．已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，，．（ⅰ）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；（ⅱ）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率．（2）随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平．现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访．统计了100名用户的数据，如下表：对续航能能力是否满意产品批次合计技术革新之前技术革新之后满意285785不满意12315合计4060100试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？参考公式：，n＝a+b+c+dP（χ2≥xa）＝α0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（i）；（ii）；（2）有99.9%的把握认为两事件有关联．【解答】解：（1）（i）动力总成系统产生次品的概率；（ii）记自动化检测为合格品为事件A，人工检测为合格品为事件，∴；（2），故有99.9%的把握认为两事件有关联．7．（2022秋•嘉兴月考）某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主持的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1﹣6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．月份123456不“礼让行人”333640394553（1）请利用所给的数据求不“礼让行人”人数y与月份x之间的经验回归方程＝x（1≤x≤12，x∈N），并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；（2）交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：不“礼让行人”礼让行人驾龄不超过3年1842驾龄3年以上436依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关？并说明理由．附：参考公式：，其中n＝a+b+c+d．独立性检验临界值表：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数为68人；（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关．【解答】解：（1），，＝＝＝3.6，，∴线性回归方程为．当x＝11时，．即预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数为68人；（2）≈5.594大于3.841．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关．8．（2022秋•上城区校级月考）有3名志愿者在2022年10月1号至10月5号期间参加核酸检测工作．（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作的概率；（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加核酸检测工作的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列为：ξ0123P期望为．【解答】解：（Ⅰ）3名志愿者每人任选一天参加核酸检测，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等．设“3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作”为事件A，则该事件共包括不同的结果．所以．（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3，，，ξ的分布列为：ξ0123P．9．（2022•浙江开学）2022年8月28日“山水联盟”高三开学考试，据统计共有6000名学生参加了联考，其中男生共有3200名，女生共有2800名．为了解考试情况，对6000名学生采取分层抽样的方式抽取60名学生调查数学成绩，其中有29名男生数学成绩优秀，有21名女生数学成绩优秀．（1）是否有95%的把握认为“数学成绩是否优秀与性别有关”？（2）在本次考试抽样调查中从数学成绩没有达到优秀的10人中随机抽取两人做进一步追踪调查，设抽到的女生人数为X，求X的概率分布列．参考公式：独立性检验统计量，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（χ2≥x0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）抽取男生数为，女生数为，根据列联表：优秀不优秀合计男生29332女生21728合计501060可以求出，P（χ2≥3.841）＝0.05，而2.625＜3.841，∴没有95%的把握认为数学成绩是否优秀与性别有关系．（2）由题意可知：10名成绩末达到优秀的人中男生有3人，女生有7人，故X可取的值为0，1，2，故，分布列为：X012P10．（2022秋•建平县月考）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城．某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛．参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题．（1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？（2）求学生甲答对的题数X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：．【解答】解：（1）学生甲恰好答对两题的概率P＝（）2×+2×××＝．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，所以P（X＝0）＝（）2×＝，P（X＝1）＝×××+（）2×＝，由（1）知P（X＝2）＝，又P（X＝3）＝（）2×＝，所以X的分布列为：X0123PE（X）＝1×+2×+3×＝．11．（2022•苏州模拟）甲、乙、丙三人进行围棋比赛，规则如下：甲、乙进行第一局比赛，丙旁观；每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，负者下一局旁观；直至有人累计胜两局，则比赛结束，且先累计胜两局者为本次比赛获胜者．已知甲乙对弈，每局双方获胜的概率均为0.5，甲丙对弈、乙丙对弈，每局丙获胜的概率均为0.4、对方获胜的概率均为0.6，各局比赛结果相互独立．（1）设本次比赛共进行了X局，求X的分布列与数学期望；（2）若比赛结束时共进行了4局对弈，求丙是本次比赛获胜者的概率．【答案】（1）分布列见解析，E（X）＝2.64；（2）0【解答】解：（1）由题可知的可能取值为2，3，4，设A1表示“甲胜乙”，A2表示“乙胜甲”，B1表示“甲胜丙”，B2表示“丙胜甲”，C1表示“乙胜丙”，C2表示“丙胜乙”．X＝2包含“A1B1甲胜，A2C1乙胜”，∴P（X＝2）＝0.5×0.6+0.5×0.6＝0.6，X＝3包含“A1B2C2丙胜，A2C2B2丙胜”，∴P（X＝3）＝0.5×0.4×0.4+0.5×0.4×0.4＝0.16，P（X＝4）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）＝0.24，X的分布列为：X234P0.60.160.24X的数学期望为E（X）＝2×0.6+3×0.16+4×0.24＝2.64；（2）若比赛结束时共进行了4局对弈，由（1）知，可能的情况有：A1B2C1A1甲胜，A1B2C1A2乙胜，A2C2B1A1甲胜，A2C2B1A2乙胜，所以对弈4局比赛结束，丙是本次比赛获胜者的概率为0．12．（2022•青岛开学）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联；（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练．已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为．若先由甲控制球，经过3次传球后，乙队员控制球的次数为X，求X的分布列与期望E（X）．附：α0.0100.0050.001χα6.6357.87910.828【答案】（1）认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：．【解答】解：（1）零假设为H0：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关联，根据列联表中的数据，经计算得到X2＝≈9.524＞7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．（2）用A表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B表示事件“选到男生”，则P（B|A）＝＝＝．（3）由题知X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝+++＝，P（X＝2）＝+＝；所以X的分布列为：X012PE（X）＝0×+1×+2×＝．13．（2022春•丰城市校级期末）为服务文明城市创建工作，丰城九中校团委暑期计划招募志愿者，对前来报名者先后进行笔试和面试两个环节测试．笔试共有备选题6道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出4道题进行测试，答对3道或4道题者，直接录用为志愿者，否则进入面试环节；面试共有100分，面试分只有高于90分者录用为志愿者．已知高一、高二年级学生报名参加测试，在这6道笔试题中，高一年级学生能答对每道题的概率均为，高二年级学生能答对其中的4道；在面试环节，高一、高二学生面试成绩高于90分的概率均为．（1）分别求高一年级学生、高二年级学生录用为志愿者的概率；（2）现有3名高二年级学生参加志愿者选拔，记这3名学生录用为志愿者的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）；；（2）ξ的分布列为：ξ0123PE（ξ）＝．【解答】解：（1）设事件A为高一年级学生录用为志愿者，事件B为高二年级学生录用为志愿者，依题意可得P（A）＝×（）3×+（）4+[1﹣×（）3×﹣（）4]×＝，P（B）＝++×＝．（2）依题意可得ξ～B（3，），则ξ的可能取值为0、1、2、3，所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，故ξ的分布列为：ξ0123P所以E（ξ）＝3×＝．14．（2021秋•东昌府区校级期末）2021年暑假国内部分地区出现新冠肺炎本土确诊病例等情况，为精准做好“外防输入、内防反弹”疫情防控工作，有效控制和降低疫情传播风险，某高校倡议“非必要，不外出”，科学规划假期实践活动，借助抖音平台举行了防疫知识宣讲和防疫用品（口罩和消毒液的套装组合）营销大赛，现统计了某个团队连续5天的售出量和收益情况，如表所示：售出量x/套76656收益y/元165148150125142（1）若x与y成线性相关，则某天售出9套防疫用品，预计收益为多少元？（2）营销大赛结束后，该团队决定将收益以奖学金的形式奖励给该校品学兼优的学生，规定：考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级第201～500名，获二等奖学金300元；年级第501名及以后的学生将不获得奖学金．假设甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的；（ⅰ）若甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，甲、乙两名学生不获得奖学金的概率均为，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列；（ⅱ）若甲获得一、二奖学金的概率分别为，，乙获得一、二奖学金的概率分别为，，甲、乙两名学生不获得奖学金的概率分别为，，你认为甲、乙两名学生获得奖学金金额的期望值哪个更高？并说明理由．（附：＝，＝﹣．）【答案】（1）206．（2）（i）X的分布列为：X10008006005003000P（ii）甲的期望值更高，理由详见解析．【解答】解：（1）由题意可得，，，售出量x/套76656收益y/元165148150125142100﹣101924﹣21﹣4则，，所以，当x＝9时，预测值为20×9+26＝206．（2）（ⅰ）X的所有可能取值为1000，800，600，500，300，0，，，，，，，所以X的分布列为：X10008006005003000P（ⅱ）设甲获得奖学金为Y，则Y的分布列为：Y5003000P所以．设乙获得奖学金为Z，则Z的分布列为：Z5003000P所以．E（Y）＞E（Z），所以甲的期望值更高．15．（2021秋•贵州月考）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．（1）赛前小明在某数独APP上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：x/天1234567y（秒/题）910800600440300240210现用y＝a+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（a，b用分数表示）．（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及期望．参考数据（其中ti＝）：tiyiti2﹣7×217500.370.55参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）．（2）分布列详见解析，．【解答】解：（1）∵y＝a+，，∴y＝a+bt，∵＝．＝，∴＝，∴，故所求方程为．（2）由题意可得，随机变量X的可能取值为3，4，5，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝×，故X的分布列为：X345P故E（X）＝．16．（2022•景德镇模拟）某运动会中，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目，比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球，对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分．当有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，发球一方赢得此球的概率都是0.6，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求比赛出现比分2：2的概率；（2）已知现在比分3：3，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）0.304；（2）X的分布列为：X234P0.240.6160.144；E（X）＝2.904．【解答】解：（1）比赛出现比分2：2的事件A是甲发三球，前两球甲赢，第三球乙赢的事件A1与甲发球乙赢、乙发球甲赢的事件A2的和，A1，A2互斥，P（A）＝P（A1+A2）＝P（A1）+P（A2）＝0.6×0.6×0.4+0.4×0.4＝0.304，故比赛出现比分2：2的概率为0.304．（2）X所有可能取值为2，3，4，因比分已是3：3，接下来由甲发球，有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，P（X＝2）＝0.4×0.6＝0.24，P（X＝3）＝0.63+0.6×0.4×1+0.4×0.4×1＝0.616，P（X＝4）＝0.62×0.4×1＝0.144，故X的分布列为：X234P0.240.6160.144故E（X）＝2×0.24+3×0.616+4×0.144＝2.904．17．（2021秋•潮州期末）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束），约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．（1）求甲校以3：1获胜的概率；（2）记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的分布列及期望．【答案】（1）．（2）分布列详见解析，．【解答】解：（1）甲校以3：1获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛中甲负，第四局比赛甲胜，故概率P1＝，②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛中甲胜，第四局比赛甲胜，故概率P2＝×，故甲校以3：1获胜的概率P＝P1+P2＝．（2）比赛结束时女生比赛的局数为ξ，则ξ所有可能取值为1，2，3，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝1﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ123P故E（ξ）＝＝．18．（2022•浙江开学）为调查某小学学生的视力情况，随机抽取了该校150名学生（男生100人，女生50人），统计了他们的视力情况，结果如下：男生中有60人视力正常，女生中有40人视力正常．（Ⅰ）是否有99%的把握认为视力正常与否与性别有关？（Ⅱ）如果用这150名学生中，男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人视力正常”的人数，试求X的分布列和数学期望．附：．P（χ2≥k）0.100.050.0250.010.005k2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（Ⅰ）没有99%的把握认为视力正常与性别有关；（Ⅱ）分布列答案见解析，数学期望：2．【解答】解：（Ⅰ）由已知得150名学生男女、视力正常与否的2×2列联表为：视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计10050150所以，所以没有99%的把握认为视力正常与性别有关．（Ⅱ）由已知得该小学男、女生视力正常的概率分别为．X的取值有0，1，2，3，且，，即X的分布列为：X0123P从而X的均值．19．（2022秋•浙江月考）为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”．某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：硫排放量X[2.55，5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5，175）[175，20.5）[20.5，23.5）频数56912864（1）假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得≈12.8，s≈5.2．试估计这320家企业中“超标”企业的家数；（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望．（参考数据：若X～X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．）【答案】（1）320家企业中“超标”企业的家数约为51．（2）Y的分布列为Y1234P期望：2.5．【解答】解：（1）由已知正态分布N（μ，σ2），≈12.8，s≈5.2，得μ≈12.8，σ≈5.2，所以，因为320×0.15865＝50.768≈51，所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51．（2）由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且，，，，所以Y的分布列为Y1234P所以．20．（2022•浙江开学）某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分．某班派了甲、乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格．（Ⅰ）三题答完结束后，记X为乙同学的累计得分，求X的分布列和期望；（Ⅱ）求班级获得决赛资格的概率．【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：X的可能取值为：0，10，20，30．P（X＝0）＝××＝；P（X＝10）＝××+××+××＝；P（X＝20）＝××+×+××＝；P（X＝30）＝××＝；所以分布列为：X0102030PE（X）＝0×+10×+20×+30×＝分．（Ⅱ）记Y为甲同学的累计得分，P（X+Y≥50）＝P（X+Y＝50）+P（X+Y＝60），而P（X+Y＝50）＝P（X＝30，Y＝20）+P（X＝20，Y＝30）＝×+×＝；P（X+Y＝60）＝P（X＝Y＝30）＝×＝；所以班级获得决赛资格的概率：P＝+＝．21．（2022秋•拱墅区校级月考）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：单位：人购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计男性501060女性251540总计7525100（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽