江苏省南京2022-2023学年高二上学期10月月考数学试卷(解析版)

南师大附中2022-2023学年度第一学期高二10月月考

数学试卷2022.10

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设直线44的斜率和倾斜角分别为占，％2和%,%，则“占＞〃2”是的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当倾斜角均为锐角或均为钝角时，若“Ai＞Jb”则“包＞。2为若“0|＞。2"则“A1＞A2”,

当倾斜角一个为锐角一个为饨角时，不能确定，

故"一＞一”是“♦＞一”的既不充分也不必要条件.

2.已知直线ox+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行，且ar+by+l=0在y轴上的截距为

则a+b的值为

3

A.-1B.-7C.1D.7

【捽案】B

【解析】av+"+l=0与11线4.什3）+5=0平行，，4b=3a,

又宜线以+6/1=0在y轴上的被距为4■,.•冬+1=0,解得6=-3,."=-4,U|Ia+b=-7.

oJ

3./r，2是分别经过4（1，1）3（0,一1）两点的两条平行直线，当小，2间的距离最大时，直线

/1的方程为

A.x+2y—3=0B.x—2y—3=0C.2x—y—l=0D.2x—y—3=0

【答案】A

【解析】由题析杼,h,，2间的距离最大时，力8和这两条立线都理立.

IllAB斜率为•空=2得百线/i的斜率为-g故方程是尸1=（X-1），化简为x+2v-3=0.

1-022

4.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88,94,96,98,

98,99,100,101,101,116.这组数据的60百分位数是

A.98B.99C.99.5D.100

【答案】C

【解析】10X60%=6,故这组数据的60%分位数是1x（99+100）=99.5.

5.已知圆G：（X—3）2+0+2）2=1与圆C2：（X—7）2+8—1）2=50—4,若圆G与圆G有且仅

高二数学试卷第1页（共13页）

有一个公共点，则实数”的值为

A.14B.34C.14或45D.34或14

【答案】D

【肝析】两圆圆心距d=J(3-7，+(-2-l)2=5,贝“同二£-1|=5或|病二£+1|=5,舸得。=34或14.

6.已知点”(2,—3),8(—3,-2).若直线/：mx-\—机-1=0与线段相交，实数机的取

值范围是

3333

A.(-co,--]U[4,+oo)B.4]C.(-00,-4]U+oo)D.[-4,-]

4444

【答案】A

[解析】直线/：m.v+j-m-1=0化简得m(^-1)+j-1=0»故该直线恒过定点P(1»1).

故kAP=-4,kPB=—,立纹在PA和PB之间时，满足一切22或-冽V-4,即mw(-co,--]U[4,+00)

7.已知4为直线/：3x—4y+m=0上一点，点仅4,0),若||48『+依。『=16(。为坐标原点),

则实数机的取值范围是

A.[-4,16]B.[-16,4]C.(-4,16)D.(-16,4)

【答案】B

【佛折】设4(X,y),则»8|2+MO|2=16,B(4,0),:.(x-4)2+>2+?+>-2=16,即(x-2)2+^=4,

又X在直线/上，即宜纹/与阴(x-2)2+,=4有公共点，.16；"；/,解得阳e|-i6,4].

8.设点/(I,0),8(4,0),动点「满足2网|=/8|,设点P的轨迹为G，圆

。2：(x+S)斗。-3尸=4,G与G交于点M,N,0为直线0。2上一点(°为坐标原点)，则

MNMQ=

A.4B.C.2D.S

【答案】C

高二数学试卷第2页(共13页)

【解析】设p(x,J，)，rtl2\PA\=\PB\n2V(x-1)2+y2=V(x-4)2+y2»

整理得『+『=4,即Ci为F+J2=4；

又一。2：(“+石)2+()'-3)2=4,

联立Cl与Cl得MN：瓜-3y+6=O.

：.O点到直线MV的距离d=—坦==V3.

V379

|AW|=2sM2-/=2斥I=2,

:.MN-MQ=MN-(^O+OQ)=MN-MO=^\MN\1=^22=2.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图为某市某年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对

这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是

A.日成交量的中位数是16

B.日成交量超过平均成交量的只有1天

C.10月7日认购量的增长率大于10月7日成交量的增长率

D.日认购量的方差大于日成交量的方差

'•一,91一，2.」叱一-TS/

00

50

10月旧10月2日10月汨10月，日10月5日10月6曰10月7日日期

・—一■■认购~~•~~成交

高二数学试卷第3页（共13页）

【答案】BD

【解析】对于/,日成交量从小到大排列为：8,13,16,26,32,38,166,所以中位数是26,选项4钳误:

对于8,日成交量的平均数为《X（8+13+16+26+32+38+166）=2盥243,

77

所以日成交Wt超过平均值的只有10月7日I天，选项8正确：

对于C.10月7日认购房的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，

计算认购量增长率为里=1.464,成交量增长率为喑％3368,所以选项C错误；

对于0,因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，

所以日认购量:的方差大于日成交量的方差，选项D正确.

综上所述，故选BD.

10.下列叙述中，正确的是

A.某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学

号为04的学生被抽到的可能性为40%

B.某大学为了了解在校本科生对参加某想社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该

校四个年级的本科生中抽取一个容量为500的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级

本科生人数之比为8：5：4：k,若从四年级中抽取75名学生，则％=3

C.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8（其中xW7）,若该组数据的中位数

是众数的工倍，则该组数据的平均数是6

4

D.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的

平均数为2,方差为2.4,则这组数据一定没有出现6

【答案】BD

【解析】Ax；学号为04的学生被抽到的可能性为冬=10%,错误,

40

B：；抽样比为意.♦.A=3,...8正确,

5008+5+4+k

C：；数据I,4,4,x,7,8（其中xH7）的中位数为等，众数为4,

二生区=4x5,；.X=6,即该组数据的平均数是1+4+4+6+7+8=5,二C错误.

246

D-.若这组数据有6,则方差s2d（61,2=孕＞2.4,二。正确,

55

综上所述，故选80.

11.已知圆C：x2+J-%+3=0,一条光线从点P（2,1）射出经x轴反射，下列结论正确的

是

高二数学试卷第4页（共13页）

A.圆C关于x轴的对称圆的方程为f+/+4y+3=0

B.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x—2y—4=0

C.若反射光线与圆C相切于Z,与x轴相交于点8,则|P8|+|R1|=2

D.若反射光线与圆C交于“，N两点，则ZCNM面积的最大值为1

2

[答案】ABD

【卿析】对于“：由于1MIC的方程为：/-4卢3=0,转换为标准式为『+（y2）2=],则阅C关于x轴对称的

硼的方程为『+（尹2）2=|,E|jX2+/+4>H-3=0.故4正确；

对于8：反射光线平分阅C的周长，故该反射光线经过阴心（0,2）.故入射光线的斜率%=上133,

2-02

所以入射光线的方程为y-l[（x-2），整理得3x-2j，-4=O,故8正确：

对于C：由十反射光线经过点P（2,】）的关于x轴的对称点P'（2.-1）.

则|PB|+|B川=俨'A\^\BA\=\P'A\.如图所示：

所以|/”|=J|pzC|2-1=。(2-0)2+(-/2)2=W^,所以|P8|+|B川=]2遮，故C错误:

对于。：设NCMV=0,eC（0,-y-）.则留心C（0.2）到且线（X-2）的距离d=sin0：

|叔Y|=2cos8,所以S^CUK.*d*|UN|=sin8cos9=ysin29•

jri

当8#时，面枳的鼓大值为士，故。正确.

42

综上所述，故选/BD.

12.在平面直角坐标系xOy中，圆O：，+y2=],若曲线y=%|x—1|+2上存在四个点

2,3,4）,过动点R作圆。的两条切线，4,8为切点，满足PM,尸,8=京则人的值可能为

A.-7B.一5C.-2D.—1

【答案】ABC

=

【辑析】设产‘（"，，n）.连接PQ,设N/tPQ=NBPQ=6,则|尸,。|=痛力，cosG|p^Q|2'

高二数学试卷第5页（共13页）

2

AcosZ.APtB=cos29=I-2sin~9=1

m+n

V|PJ|=|P,5|=Vm2+n2.1(

二亘7"77=|PM"，8|COS4HB=WK+f-l)2(1「2)=卑，

11m"+n"2

令”P+，，=，，则(r-1)(1-2)=与，解得，=4或/=5，

t22

VP,(m.n)在单位冏外，...s!舍去，即尸，5,«)在以原点为例心，半转为2的网上,

•.•曲线产砧-1|+2上存在四个点户，"=1,2.3.4).

即)=米-1|+2与例f+)2=4有4个点P,(,'=1,2,3,4),即y=Ajx-1|+2与㈱;P+)2=4Tf4个交点,

结合图象可知，“<0几只需要原点到直线)，=”(x-1)+2的距离小于半径2即可，

综上所述，故选XBC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.9月19日，航天科技集团五院发布消息称，近日在法国巴黎召开的第73届国际宇航大

会上，找国而饮火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖，为

科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7,6,8,9,

8,7,10,m.若去掉机，该组数据的下四分位数保持不变，则整数用(IW/MWIO)的值可以

是(写出一个满足条件的m值即可).

【答案】7或8或9或10

【削析】因为八个数字，下四分位数就是第二个数和第三个数的平均值，

而七个数的下四分位数就是第二位的数

去掉"，后，从小往大排列分别是6,7,7……也就是说，笫2个数和第3个数都是七

所以只要加27,就是排在第四个数往后，不管是8,9,10都不会影响.

14.若直线x—y+"?=0(,">0)与圆(x—if+G，-19=3相交所得的弦长为"?，则m

高二数学试卷第6页(共13页)

【答案】2

【航'析】阅心C(1,1)到K线x-j+，”=0(/n>0)的距离1=力^",

.______2

又点线与圆相交所得的弦长为附，即w=2Vr2-d2，m2=4(3-Y).解得”，=2.

15.已知平面直角坐标系中，A[~\,0),B(l,-1),若4B,C是等边三角形的顶点，且

依次按逆时针方向排列，则点C的坐标是.

【答案】(亭,JJ-；)

【解析】设C(X,y),

等边三用形/8C中C/=/8,HM(x+l)2+y2=4(-l-l)2+i2,整理得(*+|)^=5,①，

设48的中点A/(0,-1■),直线48的斜率为-1,所以宜线CA/的斜率为2,

22

y或1c

即一乙=2,整理得y=2x-々，②

x2

①②联立，解得/=w,

4

因为4,B,C依次按逆时针方向排列，所以x>0,故C(正,G-工).

22

16.已知/(x)是定义在R上的奇函数,其图象关于点(20)对称，当xW[0,2]时,/仁)=不石二i7,

若方程式x)—%(x—2)=0的所有根的和为6,则实数k的取值范围是.

【答案】{-g}UC^，+8)

【解析】方程/(x)-k(X-2)=0的根转化为)，=/(x)和y=«(x-2)的图象的公共点的横坐标，

因为两个图象均关于点(2,0)对称，要使所布•根的和为6,则两个图象tffl只ff3个公共点.

作出y=/(x)和)，=A(x-2)的图象如图所示.

当A>0时，只需立线y=A(x-2)与例(x-7)2+)2=1相高，可得噂：

当4<0时，只需直线y=A(x-2)与圆(x-5)2+)2=i相切，可得％=-返.

4

故A的取伤范围是{-#}U(杏，+8).

高二数学试卷第7页(共13页)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

求满足下列条件的圆的方程：

(I)经过点(2,—1)且和直线工一丁=1相切，同时圆心在直线y=-2x上的圆：

⑵经过点出一2,-4),且与直线/：*+3夕-26=0相切于点8(8,6)的圆.

【解析】

(1)设圆心A/(a,-2a),圆方程为心+(y+2a>=R?

(2—4+(-1+2。)2=代以=]以=9

,|a+2a-l|或

R=1_/~~1[R2=2]R2=338

即所求圆方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9尸+(y+18)2=338.

6+4

(2)长.出=?二=1=线段48的中垂线方程为y-l=-(x-3),即y=-x+4

8+2

过B点n与;垂立的立线为--6=3(x_8),即y=3x-18

圆心(5'-斜，半径为尸=(-2-?)2+(-4+$2=与

y=3x-1822222

11112s

即所求同方程为。-止尸+()，+期2=子.

18.(本小题满分12分)

已知点4(0,1),，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为己知条件补

充在横线处，并作答.

(1)求直线乙的方程；

(2)求直线七x—2y+2=0关于直线/1的对称直线的方程.

条件①：点/关于直线4的对称点8的坐标为(2,-1)；

条件②：点8的坐标为(2,-1),直线。过点(2,1)且与直线48垂直;

高二数学试卷第8页(共13页)

条件③：点C的坐标为(2,3),直线/1过点(2,1)且与直线4c平行.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】

I选择条件①，

(1)因为点A关于直线/)的对称点B的坐标为(2,-1),所以h是线段AB的垂直平分线，

因为-I.所以直线/1的斜率为1,

2-0

又线段的中点坐标为(1,0),所以直线人的方程为y=x-1,即x-)，-l=O.

(2)/i：x-y-l=OV/2；x-2八2=0的交点坐标为(4,3),

因为/(0,1)在立线〃：x-2)+2=0上，A(0,I)关于/i对称的点为8(2,-1),

立线/2关于直线八对称的直线经过点(2.-I),(4,3),

代入两点式方程得丫+1-'-2,即1r-)，-5=0,

3+14-2

所以/2：X-2)+2=0关于苴线/1的对称直线的方程为2x-y-5=0.

19.(本小题满分12分)

某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160,180),[180,200),[200,220),

[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.

(1)求直方图中x的值：

(2)求月平均用电量的60百分位数和平均数(同组数据用该组区间的中点值作代表)：

(3)在月平均用电量为1240,260),[260,280),[280,300]的三组用户中，用分层抽样的方

法抽取6户居民并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自相同

组的概率.

【解析】

高二数学试卷第9页(共13页)

1(1)llj(0.002+0.0095+0.01l+0,0125+x+0.005+0,0025)X20=l得x=0.0075,所以宜方图中x的值是0.0075.

(2)100x60%=60,0.002x20x100=4,0.0025x20x100=5,0.005x20x100=10,

0.0075x20x100=15,0.0095x20x100=19,0.011x20x100=22,0.0125x20x100=25.

4x170+5x290+10x270+15x250+19x190+22x210+25x230…，

=225.6.

100

(3)月平均用电最在［240,260)的用户有0.0075X20X100=15户

月平均用电量在［260,280)的用户有0.005X20X100=10户

月平均川电量在［280,300)的用户有0.0025X20X100=5户

所以在［240,260),［260,280),［280,300)中分别抽取3户,2户和1户.

设参加节目的2户米自相同组为事件基本事件总数〃=15,

事件/中包含的基本事件个数";=3+1=4,

4

参加节目的2户来自相同组的概率户(力)=行.

20.(本小题满分12分)

已知圆C：(x-2)2+y2=25.

(1)设点M-1，|).过点M作直线/与圆C交于48两点，若/8=8,求直线/的方程；

(2)设P是直线x+y+6=0上的点，过尸点作圆C的切线必1,PB,切点、为A,B,求证：经

过4P,C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

【解析】

(1)根据题感，圆C的方程为(x-2)2+/=25,其圆心C为(2,0),半径r=5,

若直线/的斜率不存在，即x=-l,代入圆方程得，y=±4,即卜8|=8,成立；

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-畀*(x+l).即2Ax-2)+3+2A=0,

若4B=8,则圆心C到£［纹/的即陷d=V25-16=3,则〃=洛丝季吐=3,解得

V4+4k24

即宜线/的方程为y-沪总(x+l),化简得3*-侪9=0.

综上所述，直线/的方程为、=-I或3x-4j+9=0.

.2)由于尸是宜线x+尸上的点，设P(m,-m-6),由切线的性质得47_LA1,

经过4P,C,的三点的圆，即为以PC为直径的圆，则方程为(x-2)(x-m)+y(j-+m+6)=0,

整理得(j-x+2)=0,

高二数学试卷第10页(共13页)

户42x+6y=0,x=-2

令'或

y-x+2=Qy=0y=-4

则经过儿P,C三点的网必过定点，所有定点的坐标为(2,0).(-2,-4).

21.(本小题满分12分)

已知圆E：(XT)2+/=4与x轴交于4,8两点，尸是该圆上任意一点，AP,尸5的延

长线分别交直线/：x=4于M,N两点、.

(1)若弦/户长为2,求直线P8的方程：

(2)以线段A/N为直径作圆C,当圆C面积最小时，求此时圆C的方程.

【解析】

(1)在阴E：(x-I)2+)2=4中，令y=o,解得x=-l或x=3,

•:AP.?8的延长线分别交直线/：x=4于A/,N两点，

：.A(-1,0),B(3,0),阴心(1,0)在x轴上,：.PALPB,

•.•弦”长为2,

PA1TT

\AB\—^f即sinNP8/l=—=—,・\NPBA=■,

AB26

当户在X轴上方时，立绞尸8的斜率为tan(n-=)=-返，

63

:.直线PB的方程为y=-率(X-3),.•.缶+3y-3弧=0,

O

当P在x轴下方时，直线尸8的斜率为：tanP=号，

63

:.立线PB的方程为夕=卑G-3),.,.V3.r-3y-3V3=0,

V

综上所述，直线PB的方程为心+3)，-3愿=0或北x-3)，-3百=0：

(2)由(I)知/(-I,0),B(3,0),PAA.PB,

设总线PA的斜率为k,因此直线PB的斜率为-X

于是直线小的方程为j，=A(x+l),令x=4,y^5k.即A/(4,5k),

直线尸8的方程为夕=-工＜x-3),令x=4,7=-▲,即N(4,-工)，

kkk

|MV|=|54+'^|=|5A|+|(]22^15k|°|=2V^，当旦仅当k=时取等号,

于是有以线段"