人教版理科2015届高考数学一轮细讲精练第十篇计数原理

第十 计数原理第1 分类加法计数原理与分步乘法计数原[考纲会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题

N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．(5)(习题改编)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢510(6)2,32,31．是完成这个步骤的法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完二是分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取，如(6)中2,3可重复但至少各出现一次.学学 第172考点一【例1】(2013·福建卷改编)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( 解 由于a＝0

＝－2

b＝－1,0,1,24a≠0a＝－1时，满足(*)b＝－1,0,1,24a＝1时，b＝－1,0,13a＝2时，b＝－1,02∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)4＋4＋3＋2＝13(个答 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关1234本给4位朋友，每位朋友1本，则不同的方法共有()．A．4 B．10 C．18种D．204 有C1种方法．442本画册，2422人送邮册，C2种方法．4 答 考点二每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()．A．12 B．18 C．24 D．3633解析A3种不同排法．再排1A3·2·1＝12(种)不同的排列方法．33答 规律方法(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按发生的过程合理分步，即【训练2】将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共 A．1 B．3 C．6种D．9 颜色．故有3×2×1＝6种涂色方案．答 考点三【例3】(2014·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜 14523审题路 由于区域1,2,3与区域4相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区13解 按区域1与3是否同色分类3(1)131342,4,5(3种颜色)A3种方法．33134A3＝2434(2)1313A2224色方法，第三步涂区域4只有法，第四步涂区域5有3种方法4A2×2×1×3＝724答 (1)解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂位数为凸数(120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()． 解 2×3＝6a2＝4，满足条件的“凸数”3×4＝12个，…a2＝9，＋72＝240(个答 一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互学学 第173破破【典例】(2012·卷)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．90则：(1)4位回文数 个 个结合(**)2位回文数，3位回文数，4位回文数探索求解方法，从特殊到解 (1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；109×10＝90(种)490个．9×10n种填空．答 1．(2014·扬州调研)从8名4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 8 从男生中抽取1人有4种方法．从中抽取两人，有C2＝28种方法．828×4＝112答 位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答 对应学生(建议用时：40分钟某市汽车牌照号码可以上网自编但规定从左到右第二个号码只能从字母D中选择其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )．A．180 B．360 C．720 D．960解 法，其余三位号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种答 2．(2012·新课标卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、案共有()．A．12 B．10 C．9种D．82解 24C2＝6种选派方法．2×6＝12(种)．4答 3．6位选手依次，其中选手甲不在第一个也不在最后一个，则不同的 A．240 B．360 C．480 D．720解 答 以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；442(2＋1＋1)＝8(个答 集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上 B．14C．15 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)．当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x3,4,5,6,7,8,977＋7＝14(个答 解 13433×4×3＝36(种答 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32个；第二类，有两条公共边的三角形共有8个．32＋8＝40(个答案8．8名世界网球顶级选手在大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有 44 法计数原理共有2C2＋4＝16(场)比赛．44答 解(1)幸运在甲箱中抽，选定幸运，再在两箱内各抽一名幸运观众30×29×20＝17400(2)幸运在乙箱中抽取，有20×19×30＝11400种．17400＋11400＝28800(种)．12××10．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从 小到大的顺序排列，求第3012××134×解6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)．134×13135×4个．21＋5＋4＝30(个)．301(建议用时：25分钟A，B，C，D4要求在每块里种1种花且相邻的2块种不同的花则不同的种法总数为 A．96B．84C．60 可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．答 4个数字的一个排列(数字允许重复)010110个对应位置上的数字相同的信息个数为 信息个数为C3；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C2. 答 今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1、4都通，2和3至少有一个通时线路才通共有3种可能．故不通的情况有24－3＝13(种)可能． 用n种不同颜色为下列两块牌(如图所示)，要求在A，B，C，D四(2)若为②时共有120种不同的方法，求 (1)分四步：第1步涂A有6种不同的方法，第2步涂B有5种不同的方法，第3步涂C有4种不同的方法，第4步涂D有4种不同的方法．6×5×4×4＝480学学 第173第2 排列与组能利用计数原理推导排列数、组合数能解决简单的实际问题

nnm(m≤n)n个不m个元素的排列数．nm(m≤n)n个不同m个元素的组合数．排列数、组合数的及性 n＝n (n，m∈Nm≤n) mnCm＝Cn－m；Cm

nnCx＝Cmx＝mnn5245A5－A2A4＝725244(5)(习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中有重复数字的四位数共3×43－A3＝168(个)．(×)4(6)(2013·卷改编)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每44[感悟·提升一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后学学 第174考点 排列应用1】4个男同学，3335 视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A5种排法．3535A3A5＝7203545(2)A445个空档中插入3个有A3种方法．4545A4A3＝144045425A2种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原4A2种排法．425425A4A2A2＝960425(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析1(1)(2014·济南质检)93个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()． D．9!共可得到lga－lgb的不同值的个数是( 解 (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种(2)由于lga－lgb＝ ∴ lgb有多少个不同的值，只需看b

lga－lgb中任取两个作为b55

答

考点 组合应用【例2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，5人，并且男、各5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？58 58211C2·C3＝165(种2＝825(种)或采用排除法：C5－C5＝825(种

5858858588分两类：第一类女队长当选：C4474747447474744747474C4＋C1·C3＋C2·C2＋C3·C1＋C4＝790(种4747474规律方法则不同的取法共有()．A．60 B．63 C．65 D．66解 满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在5个奇数1,3,5,7,9中5542,4,6,82C2·C2＝60(种)4 15＋60＋1＝66(种答 学学 第175考点三3(1)(2013·浙江卷)A，B，C，D，E，F均在C的同侧，则不同的排法共 种(用数字作答某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(

12

6

6 进行排列；(2)可将4名同学分成两组(每组2人)，再分配到两个班级．解 62233A336223C3A2C1·A3＝4806223(2)法一4人平均分成两组有

26266

12

法 先从6个班级中选2个班级有C2种不同方法，然后安排学生有C2C2种

41264＝2A6C4答案(1)480规律方法(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行(2)【训练3】从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三 解 根据所选偶数为0和2分类讨论求解3201,3,52个数字排在个位与百位．∴排成的三位数C2A2＝6个．32321,3,52C232322C2A1A2＝1232218答 n！；(2)组合 ＝ ＝9——1 4[错解 43443444344C1·C2C1C1＝1924344C1C1C1＝6444192＋64＝256[答案 [错因 错解的原因是没有理解“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认“取出的三种颜色不同4[正解 第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C1C2＝264(种44C3－3C3＝220－12＝208(种4 (1)准确理解题意，抓住关键的含义，“3张卡片不能是同一种1．(2013·大纲卷改编)有5人排成一行参观英模事迹展览，其中甲、乙两人 34 先把除甲、乙外的3人全排列，有A3种，再把甲、乙两人插入这3人形成的四个空位中的两个，共A2种不同的方法．34 答 131,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共 个解 第一类：恰有三个相同的数字为2,3,4C1·A1 “好数”9第二类：相同的三个数字为2,3,4中的一个，这样的四位好数2221,3331,44413由分类加法计数原理，共有“好数”9＋3＝12答 对应学生(建议用时：40分钟844个点最多确定的圆的个数为 4484 448444484 44484解 从8个点中任选3个点有选法C3种，因为有4点共圆所以减去C3种再 1C3－C3＋1 答 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞“伞数”有()．A．120 B．80 C．40 D．2054解析6A2＝205544A2＝63A2＝2 40答 43解 四名学生中有两名学生恰好分在一个班，共有C2A3种分法，而甲、乙433答

4 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( A．16 B．36 C．42 D．604解 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A3种434434C2A2A3＋C2A2＝60(种)方法．34434答 解 223答 6．(2013·大纲卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3 解 依题意，所有的决赛结果有

1＝60(种答

65

×2 4解 4 436(种答 在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶 解 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字 答 又数字“9”可作“6”322C2A2＝12321,2,3,44 (1)每个盒子放一球，共有A4＝24种不同的放法4法一44种选法；C2种选法；433434×C2A3＝14443法 先分组后排列，看作分配问题44 2,1,1C4(即421)A2A233C3C2A3＝14444(建议用时：25分钟BC在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()．A．34 B．48C．96 D．1442解析程序A有A1＝2种结果，将程序B和C看作元素与除A外的元素排A2A4＝482×48＝9622答 2．(2014·济南调研)A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 33 (1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为C1A3.3333B1C13323 2答 3．(2013·重庆卷)3名骨科、455 (用数字作答解 按选派的骨科医生的人数分类34545451C1(C1C3＋C2C2＋C3C1)＝360(种3454545345452C2(C1C2＋C2C1)＝210(种345453453C3C1C1＝20(种3451答 x＝1，y＝xx2＋y2＝4A，B，C，D54 法 第1步，涂A区域有C1种方法；第2步，涂B区域有C1种方法；543CDCAD4种涂C区域涂A、B3C1DC1 5433C1·C1·(4＋C1·C1)＝2605433法 共可分为三类521C2A25253222C3C1C1A25322543C4A4545253225452532254学学 第176第3 二项式定[考纲会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

的通项Tr1＝Cran－rbrr＋1 nnnn0≤k≤n时，CkCn－knnnn当

2

2

2n

2nnnnnnnn

nCran－rbr是(a＋b)nrn在(1－x)956

(4)(a＋b)na，b (6)(2013·卷改编)

n5x47a＝1[感悟·提升nnnn二项式定理(a＋b)n＝C0an＋C1an－1b＋…＋Cran－rbr＋…＋Cnbn(n∈N*)nnnn展开式的规律，一定牢记通项Tr1＝Cran－rbr是展开式的第r＋1项，不是 r项，如＋nnTr1＝Cran－rbr中，Cr(字母)＋nnnCrnr有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如(2)就是两个概念的区别．n的二项式系数最大，如(6)n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同考点 通 及其应x－11(1)(2013·浙江卷)设二项式

5AA＝ (2)(2013·新课标Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等 1

5解 ＝Cr(

5＝0 55

3

，令55又(1＋x)5xx255 答 规律方法(1)二项式定理的是通项，求解此类问题可以分两步完成：第【训练1】(1)(2013·大纲卷改编)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数 a6 ——

x(a>0)

a的值 84解 84 a6

8 8r —x—x

Tr＋1＝(－a)6666由B＝4A，得(－a)4C4＝4(－a)2C2， a>0答 学学 第177考点 二项式系数的性质与各项系数2(1)(2014·青岛模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn

33系数 (1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性 1 令x＝0，得a0＝1.又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，66 8－r 当8－2r＝－2时 1

答

，∴x2的系数为 nn(1)第(1)a0n的值；第(2)小题在求解过程中，把n的等量关系表示为C3＝C7，而求错n的值．nn1，－1.2(1)二项式

开式中常数项是 2

值

2 r

55解

令 5＝0，则r＝2，从而T3＝4C2 令

∴2答 考点三【例3】(2012·卷)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则 解 22

·522

2222222

·522

22512012＋a222∴C2012·(－1)2012＋a＝1＋a13整除．a2答 (1)512012变形为(52－1)201213a＝cr＋bb∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理【训练3】1－90C1＋902C2－903C3＋…＋(－1)k90kCk＋…＋9010C10除以的余数是

解析1－90C1＋902C2＋…＋(－1)k90kCk＋1)10＝8810＋C1889＋…＋C988＋1，∵前10能被88整除，∴余数是 答 ＋nTk1＝Ckan－kbkk＋1＋n理有关问题的基础在利用通项求指定项或指定项的系数要根据通项讨k的限制．的特点和式子间的联系 10——

a

展开式中含x 乘；②x与 解

x＝1

展开式的通项 555－2r＝12r＝4

2 因此

展开式中x的系数为 ·(－1)5－2r＝－12r＝6

3 因此

·(－1)

答 [感悟]对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数 解析(1＋2x)3(1－x)4x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个 答

对应学生

(建议用时：40分钟1．(2014·西安调研)若(1＋3)4＝a＋b3(a，b为有理数)，则 解 (1＋3)4＝1＋C1·3＋C2·(3)2＋C3(3)3＋(3)4＝28＋163，由题设 28，b＝16答 1n ＋2．(2013·辽宁卷)使＋

xx(n∈N)的展开式中含有常数项的最小的n n－r1 r 解 xx xn－2r，当Tr＋1是常数项时，n－2r＝0， r＝2，n＝5答 3．已知

1120a系数的和是 C．1或 D．1或8 由题意知C4·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.8答 已知(＋1)10＝a＋a2x＋a3x＋…＋a1x0.若数列aa2a3…a(1≤≤1，k∈)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )． 解 6∴a6＝C5k答 若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的 A．1或 D．1 又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.答 6．(2013·卷)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是 ＋5＝解 Tr1＝Crx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，依题意＋5＝

答 ＋44解 ＋44答 1n—x—x

MN＝240，则展开式中含x的项 解 1r r4－r — —

x＝(－1)

令 2＝1答 9．已知二项式

＋x) r＋1r 8－r

2令 ＝0，得r＝2，此时，常数项为2

10．若(2＋x＋x

a，求(3x

3 1 2

∴(2＋x＋x

因此

(建议用时：25分钟

则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( 解 当x>0时，f(x)＝－x1－x所以f[f(x)]＝f(－ Tr

6

r－3＝066答 a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝( 解 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5r 答 令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝

x＝0答

16 15x已知(ax

展开式中的各项系数之和等于5x

而(a2＋1)n54a16

1

25－r1

r5x x5x

Tr＋1＝C55x

·x＝5

20－5r＝0，得r＝4，故常数项 5×54∴(a2＋1)4T3C2(a2)2＝54a＝4 (对应学生P363)(建议用时：60分钟) A．24 B．60 C．90 D．12055 可先排C，D，E三人，共A3种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A3＝60种．55答 2．(2014·重庆质检)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于( 解 (1＋3x)n的展开式中含x5的项为C5(3x)5＝C535x5，展开式中含x6的项 nn 答 A．6 B．9 C．18个D．36解 有32个数放在四位数余下的223×3×2＝18个不同的四位数．答 nnnnn nnnnn 解 x＝－2答

若

为 1 1

CC

1

解 由题意知 1答 A．3 B．6 C．9种D．1233解 339－3＝6(种答 8解 888答

8．(2014·长沙模拟)x，y满足

(x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3