江苏省淮安市高中校协作体2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题含解析

淮安市高中校协作体2021〜2022学年度高二第二学期期中考试

数学试卷

考试时间：120分钟总分：150分

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)

1.已知空间向量”=(一1，2,3),则向量。在坐标平面x°z上的投影向量是()

A.(0,-1,2)B.(-1,2,0)C,(0,2,3)D.(-1,0,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.

【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，

空间中点4=(-1,2,3)在坐标平面xOz上的投影坐标，

纵坐标为0,横坐标与竖坐标不变.

所以空间向量a=(-1,2,3)在坐标平面xOz上的投影向量是：(-1,0,3),

故选：D.

irr]

2.已知向量加，〃分别是直线/和平面a的方向向量和法向量，若cos<〃?,〃>=一],则/与a所成的

角为()

A.30°B.60°C.120°D,150°

【答案】A

【解析】

irr1

【分析】由cos<m,〃>=—-知直线/和平面a的法向量所夹锐角为60。，根据直线/和平面a的位置关

2

系，即可得出答案.

【详解】由已知得直线/和平面a的法向量所夹锐角为60。，因此/与a所成的角为30。.

故选：A.

【点睛】本题考查线面角.属于基础题.找到向量加，〃的夹角与/与a所成角的关系是解本题的关键.

3.已知两平面的法向量分别为加=((),1,0),〃=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()

A.45°B.135°

C.45°或135°D,90°

【答案】c

【解析】

【分析】直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可.

,.mn1V2

【详解】c°s〈九应=时利=1万=三，即〈加，4=45°.

•••两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.

故选：C.

4.11+^}1+2%)4展开式中工2的系数为()

A.10B.24C.32D.56

【答案】D

【解析】

【分析】

先将式子(1+:}1+2X)4化成l-(l+2x)4+g(l+2x)4,再分别求两项各自的炉的系数，再相加，即可

得答案.

【详解】H(1+£)(1+2x)4=1.(1+2%)4+1.(1+2》)4,

□(1+2x)4展开式中含炉的项为1•c：(2x>=24/,

--(1+2x)4展开式中含炉的项L《(2x)3=32x2,

XX

故/的系数为24+32=56.

故选：D.

【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

5.某班级从4B,C,D,E,尸六名学生中选四人参加4x100m接力比赛，其中第一棒只能在/,8中

选一人，第四棒只能在4C中选一人，则不同的选派方法共有()

A.24种B.36种C.48种D.72种

【答案】B

【解析】

【分析】分第一棒选/或选8,两类求解.

【详解】解：当第一棒选N时，第四棒只能选C,则有A：种选派方法；

当第一棒选8时，则有2A：种选派方法.

由分类计数原理得，共有A：+2A：=3A：=36种选派方法.

故选：B

6.如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A地出发，送货到。地，且途经B地,

()种不同的走法.

B.80C.60D.40

【答案】D

【解析】

【分析】考虑小矩形的横边和直边，例如从8到。的最短距离就是从2个横边加3个直边共5条线段，

不同的方法就是什么时候走直边什么时候走横边，由组合知识可得不同的方法数，根据分步乘法计数原

理可得.

【详解】分两步，第一步从A到8的最短距离的走法有C：C；=4,第二步从8到C的最短距离走法有

C；C；=1(),由分步乘法计数原理得，总方法数为4x10=40.

故选：D.

7.已知向量"=(2,0,1)为平面a的法向量，点4-1,2,1)在a内，则点P(l,2,2)到平面a的距离为

()

A.立B.75C.2小D.叵

510

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可

【详解】因为4一1,2,1),尸(1,2,2)

所以PA=(-2,0,—1),

因为平面a的法向量”=(2,0,1),

1411

所以点P到平面a的距离d=।一川=--=V5.

1«16

故选：B

【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题

8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设。，b,机。〃>0)为整数，若“

和人被根除得的余数相同，则称。和b对模机同余，记为。三伙modm).如9和21除以6所得的余数都

是3,则记为9三21(mod6),若〃=点+邑・2+++C^.222,。三伏modlO),则b的值可

以是()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】A

【解析】

【分析】利用二项式定理化简。=02+。；2・2+。；2-22++。；】222为(10一1)”,展开可得到a被10

除余9,由此可得答案.

2222222

详解】a=C°2+C^-2+C^2-2++C^-2=(l+2)=3=9"

=(10-1)"=0"+C：J0|0(-1)'+09(-1)2++C：；10(-1严+C；；(-1)",

所以。被10除余9,

2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019,

故选：A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂

在答题卡相应位置上

9.下列选项正确的是()

A,M,

A.C；=dB.A：=mA*

ml

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求解.

【详解】A.根据排列和组合数公式，可知A显然成立；

B.A；=(n-m+1),A；二;=(〃一1)(〃一2)(«-m+1),

所以=故B不成立;

n\n\

C.c;+c；7--------------------1---------------------------------

ml(n-m)!(/%-1)!(〃+1—m)!

n\11n\5+1)(n+l)!

----------------------------------F-----------------------------------------=-------------

(m-l)!(n-m)!|_mn+i-m(〃z-l)!(“一〃?)！m(n+i-m)m!(n+1-m)!

(〃+l)!

，故C成立;

根！(〃+1一机)！

d(〃+1)!n+\n\〃+1八,“

D.C,+]=--~~~-7=-C“，故D成立.

(m+l)l(n-m)lm+1ml(n-m)'.m+1

故选：ACD

10.如图所示，在正方体ABC。-44GA中，下列结论正确的是()

A.a0〃平面CgA

B.AC,±BD

UUU

C.向量AO与的夹角为60°

D.AC|_L平面。旦。1.

【答案】ABD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法依次判断各选项的对错.

【详解】解以《为坐标原点，AB,AD,4小所在直线分别为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为1,

【分析】

根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知A正确，8不正确，C正确，根据项的系数的符号可知

。不正确.

【详解】（a—与”的展开式中的二项式系数之和为2"=2048,所以A正确；

因为“=11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所

以B不正确，C正确；

展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以。不正确.

故选：AC

【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于

基础题.

12.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到4B,C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医

生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）

A.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C.若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到工企业，则所有不同分派方案共12种

D,所有不同分派方案共43种

【答案】ABC

【解析】

【分析】选项A,B,C均可用分类加法计数原理求解；选项D可用分步乘法计数原理求解.

【详解】选项A：若C企业最多派1名医生，则有以下两种情况：

①派1名医生去C企业，剩余3名医生派到企业力或企业8中，有C：23=32种；

②4名医生全部派到企业/或企业B中，有24=16种.

故共有32+16=48种不同分派方案，故选项A正确；

选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有以下三种情况：

①派2名医生去/企业，剩余2名医生一人去8企业，一人去C企业，有C：C；=12种；

②派2名医生去8企业，剩余2名医生一人去4企业，一人去C企业，有C：C；=12种；

③派2名医生去C企业，剩余2名医生一人去Z企业，一人去8企业，有C：C；=12种.

故共有12+12+12=36种不同分派方案，故选项B正确；

选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到4企业，则有以下三种情况：

①派医生甲去/企业，再派一名医生去月企业，剩余2名医生一人去8企业，一人去C企业，有

C；C；=6种不同分派方案；

②派医生甲去Z企业，派2名医生去8企业，剩余1名医生去C企业，有C；=3种；

③派医生甲去/企业，派2名医生去C企业，剩余1名医生去8企业，有C；=3种.

共有6+3+3=12种不同分派方案，故选项C正确；

选项D：第一步：派医生甲去3个企业中的任何一个，有3种；

第二步：派医生乙去3个企业中的任何一个，有3种；

第三步：派医生丙去3个企业中的任何一个，有3种；

第四步：派医生丁去3个企业中的任何一个，有3种；

由分步乘法计数原理知，所有不同分派方案共34=81种，故选项D错误；

故选：ABC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第16题共有2空，第一个空

2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上）

13.从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成个没

有重复数字的四位数.（用数字作答）

【答案】1260.

【解析】

【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.

详解：若不取零，则排列数为C；C；A：,若取零，则排列数为C；C；A；A：,

因此一共有C；C；A：+C；C；A；A”1260个没有重复数字的四位数.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

⑴元素相邻的排列问题——“捆邦法”口⑵元素相间的排列问题——"插空法”口⑶元素有顺序限制的排列问

题——“除序法”口（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

14.如图，在空间四边形ABCO中，AC和3。为对角线，G为AABC的重心E是5。上一点，

BE=3ED,以|AB,AC,AD\为基底,则GE=.

113

【答案】一一AB——AC+-AD

1234

【解析】

32

【详解】由题意，连接4E,则GE=AE—AG=A8+二8。一一AM

43

3___2I

^AB+-^AD-AB)——x-CAB+AC).

432

113

^--AB--AC+-AD.

1234

113

故答案为一一AB一一AC+-AD.

1234

15.空间直角坐标系。一肛z中，经过点P(x0,y0,z0)且法向量为机=(A,8,C)的平面方程为A(x-%)+

-y0)+C(z-z0)=Q,经过点POo，%/。)且一个方向向量为n=(〃,v,⑼(〃Wy丰0)的直线/的方

x-x.y-yz-z(、

程为——(=」也n=——阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面。的方程为

/LlVCD

x-y+y/2z-l=0,经过(0,0,0)的直线/的方程为：=三=展，则直线/与平面戊所成角大小为

3-5—72

71

【答案】-##30°

6

【解析】

【分析】依题意可得平面a法向量为机=(1,-1,夜)，直线方向向量〃=(3,-5,-a)，

根据空间向量法求出线面角的大小；

【详解】解：由平面a的方程为x—y+夜z—7=0得平面a法向量为机壶),

经过（0,0,0）直线/的方程为三=5=不得直线方向向量〃=（3,—5,—近卜

设直线/与平面a所成角是。，

m-n1X3+（-1）X（-5）+V2X（-V2）1

则rircos<m,n>=--------=-------.~~/~~-=-,

\m\\n\Jl+l+2xj9+25+22

71jl

又v九[0,4],所以<根,〃>=一,所以6=一；

36

故答案为：—

6

16.若（X—2）'=%（九-1）'+&4（X-1），+〃3（尤—1）3+&2（X—1）~+（尤—1）1+，则

4+。2+〃3+%+。5=，。3=；（用数字作答）

【答案】□.1□.10

【解析】

【分析】利用赋值法求得4+%+%+。4+。5，由二项式展开式的通项公式求得“3・

【详解】由（尢-2）5=。5（工-1）'+。式工一I）'+的（X—I?+—1）~+6（尢-I7+。（）,

令x=1得。0=T，

令％=2得。0+4+。2+%+。4+。5=0,4+%+。3+。4+。5=1.

（X—2）5=[（x-l）-l]5,所以q=C1（T）2=10.

故答案为：1；10

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

17.已知在J/1丫

的展开式中,第9项为常数项.

12

求：（1）n值;

（2）展开式中/的系数.

【答案】（1）n=10

105

（2）—

8

【解析】

、

【详解】分析：口1）根据1X2__L的展开式中，第9项为常数项，即可求解”的值;

5飞7

□2）由（1）可得展开式的通项公式，令x的指数基为5,求得r的值，即可得到展开式中项的系数.

、

详解：ni）在根据的展开式中，第9项为常数项,

yfx

则第9项的通项公式为7；=-x2"T6jY=C8，28-r,%2„-20口

所以2〃-20=0,解得〃=10.

r20rrrr-l2t

」2「由（1）可得展开式的通项公式工1=（j^.2~'°x~-（-l）-x^=（-l）-2°-C^}-x'~,令

20--=5,解得r=6口

2

则得到展开式中/项的系数（.小=竽.

点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式定理的通项是解答的关键，关于二项

式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式

rnrr

Tr+l=Cna-b■,（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数

和；（3）二项式定理的应用.

18.用1，2，3,4，5,6,7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？

（1）偶数不相邻；

（2）1和2之间恰有一个奇数，没有偶数；

（3）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.

【答案】（1）1440

（2）720（3）840

【解析】

【分析】（1）不相邻问题插空法

（2）先考虑1*2和2*1的情况，再将它们看作一个整体，与其它元素全排列

（3）先选3个位置排偶数，再在剩下的位置排奇数.

【小问1详解】

根据题意，分2步进行分析：

□先将4个奇数排好，有A：种排法，

口排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排3个偶数，有用种排法,

则有A：6=1440个符合题意的七位数；

【小问2详解】

根据题意，分2步进行分析：

□在1和2之间安排一个奇数，考虑1*2和2*1的情况，有3A；种安排方法，

□将三个数字看成一个整体，与其他4个数字全排列，有耳=120种排法，

则有=720个符合题意的七位数；

【小问3详解】

根据题意，分2步进行分析：

口在7个数位中任选3个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列，有G种排法,

□剩下4个数字安排在剩下的4个数位上，有A：种排法,

则有=84（）个符合题意的七位数.

19.在二项式（」-+6）"的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所

2x

有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上

面的横线上，并且完成下列问题：

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中的常数项.（备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分）

63,63--

【答案】（1）T=—X2

1668

⑵红

2

【解析】

【分析】（1）选择①由端+。：+第=46求解；选择②：由C：+C；+C：+…=256求解；选择③：由

3—2〃3厂—2〃

通项公式为=C：2i'xk，令―1=0求解；由〃=9,得到展开式中二项式系数最大的项为

第5和第6项求解；

3r-18.3r-18八

（2）由展开式通项为（।=c>2ixk，令一亍一=0求解.

【小问1详解】

解：选择①：因为展开式前三项的二项式系数和等于46,

所以C：+C；,+C；=46,即)+〃+1=46,

即川+〃-90=0，即(〃+10)(〃—9)=0,

解得"=9或〃=—1()(舍去)

选择②：因为所有奇数项的二项式系数和为256,

所以+C：+…=256,即2"T=256，

解得"=9.

/1「r3r-2〃

选择③：通项公式为忖J

r-3r-2〃，、一，3

则有-------=0,所以〃=彳厂

因为展开式中第7项为常数项，即/*=6,

所以"=9.

所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，

【小问2详解】

/］、9-rr3r-18

(9r)r9

展开式通项为：7；+1=C；-x--^=C；-2-x~

k2J

展开式中常数项为第7项，常数项为7；=C；X2-3=5.

s23561

20.设(3x-l)=%+qx+a2x+a3x+qx4+a5x+a6x+a-jX+.

(1)求4+4+%+4+/的值；

⑵求5=4+喝+《7++瑞+点除以9的余数;

(3)求q+2%+3%+44++8火的值.

【答案】(1)27+215

(2)7(3)3072

【解析】

【分析】(1)分别令x=l和4一1,两式相加即可得结果;

(2)根据二项式系数和公式可得S=(9-1)9-1,再按照二项式定理展开即可得结果;

(3)先对函进行求导，再令x=l即可得结果.

【小问1详解】

(1)对于(3x-l)8=4+%*+生*2+

令X=1,得：2®=4+q+a,+%++4①

令x=-1，得：4'=%—q+%—/++必②

①+(§)得：2(a0+a,+“4+a$+1)=2*+4s

a。+a,+%+4+必=2，+2”.

【小问2详解】

S=C；7+C；7+C；7++C^+C^=227-1=89-1=(9-1)9-1

=C^99+C；98(-1)+C；97(-1)2++C,92(-1)7+C|9(-1)8+C^(-1)9-1

=9[C^98+C*97(-1)+C^96(-1)2++C；9(—1)7+C^(-l)8]-2

显然，上面括号内的数为正整数，故求S被9除的余数为7.

【小问3详解】

(3x-l)8=。0+4%+%/+々313+…+4炉

两边求导数得：24(3元—1)7=〃1+2a)M+3。3无~++8%X7，

令1=1,则有24x2,=6+2%+3/++8必，

即4+2。)+3%+...+=3072.

21.如图，在棱长是2的正方体ABC。—AqGA中，E为CD的中点.

G

Ai

当

尸

C

(1)求证：EB,±AD,；

（2）求异面直线。E与A4所成角的余弦值；

（3）求点用到平面ARE的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

10

（3）76

【解析】

【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【小问1详解】

解：因为正方体ABC。—A3C2棱长为2，

故以。为坐标原点，所在直线分别为x轴，N轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则有。(0,0,0),力(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),£>,(0,0,2),

A(2,0,2),瓦(2,2,2),C,(0,2,2).

因为E为。。的中点，所以E(0,l,0),

Eg=(2,1,2)，加=(一2,0,2)，

所以£»「的=2x(—2)+lx0+2x2=(),

所以七4,A4,即EqLA。；

【小问2详解】

解:因为AE=(O,1,O)-(0,0,2)=(0,1,—2),AB.=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),

DRAB、_2—4_V10

所以cos2Ag>=

田E||A即一右x强-10

因为异面直线D}E与AB1所成角是锐角,

所以异面直线DyE与ABy所成角的余弦值是典.

10

【小问3详解】

解：设平面ARE的法向量是根=（%,y,z）,则mJ_A。1J_AE，

m-AD=0

即《}

m•AE=0

又AD*=(0,0,2)-(2,0,0)=(-2,0,2),AE=(0,1,0)-(2,0,0)=(-2,1,0),

—2x+2z—0

所以＜令1=1,则y=2,z=l，

-2x+y=0

所以加=(1,2,1),又EB[=(2,1,2)，

所以点B,到平面ARE的距离d=­〃?!=12t尸=