江苏省常州市2020-2021学年高三上学期第一次学情调研考试数学试题

江苏省常州市新桥高级中学2020-2021学年高三上学期第一

次学情调研考试数学试题

学校:姓名：___________班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=凶他(》一2)<1},集合8=卜,一2."3<0},则4U6等于().

A.(2,12)B.(-1,3)C.(-1,12)D.(2,3)

2

2.函数/(x)=lnx——+1的零点所在的大致区间是()

x

A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,-H»)

3.函数)fcosx+sia•在区间［-it,用的图象大致为()

4.大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鞋鱼的游速为v

(单位："7/S),鞋鱼的耗氧量的单位数为。.科学研究发现V与log；焉成正比.当

u=l/〃/s时，蛙鱼的耗氧量的单位数为900.当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为

()

A.1800B.2700C.7290D,8100

22

5.已知4=(；",/,=(；),C=log3,r,则a,b,C的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

6.已知定义在&上的函数y=f(x)的导函数为尸(x),满足/(x)>/'(x),且

/（0）=2,则不等式f（x）>2e，的解集为（)

A.(-00,0)B.(O、+8)C.(-00,2)D.(2,+oo)

7.已知函数“X)是定义在H上的奇函数，且/(x+4)=-/(x),当xe[-2,0)时,

F(x)=er,则/(2018)+〃2021)+/(2022)等于()

11

A.-B.C.—eD.©

ee

*i

2xY<0

8.已知函数〃x)=<,'一，若|"x)|Nar,则a的取值范围是()

ln(x+l),x>0

A.B.(□/]C.[-2,1]D.[-2,0]

二、多选题

9.己知函数=x+f]-:的定义域为口",〃]（“<〃），值域为一U

V3J4L24

则〃一〃?的值可能是（）

5兀17t3兀11乃

A.B.—C.—D.——

1212412

10.己知x>y>0,卜列不等式成立的是（)

Inx12B.：凸身23

A.—十—>4

3InxX+1

11

c.x+—>y+—八yy+4

y-Xxx+4

11.对于函数“xbiVtaeR）,下列判断正确的是（）

1+因

A./（-X+1）+/（X-1）=O

B.当〃"（0,1）时，方程/（x）=m有唯一实数解

C.函数/（X）的值域为（9，+°°）

D.V为RK,-v*<-<>0

%一工2

12.设定义在R上的函数/（x）满足/（一x）+/（x）=x。且当xMO时,f（x）<x.

己知存在且七为函数

g(x)=e'-JEx-a(。eRe为自然对数的底数)的一个零点，则实数a的取值可能是

()

A.—B.—C.-D.Je

222V

三、填空题

13.己知tana=2,贝i]cos(2a+/)=.

14.已知x>0,y>0,且x+3y=盯，若-+f<x+3y恒成立，则实数f的取值范

围是________.

15.函数y=e'—在区间(0,3]上有两个零点，则”的取值范围是________

f/(x)J(x)Ng(x)

16.已知函数/(刈=/—ax+1,g(x)=3x—2,若函数F(x)=《有三

[g(X)J(X)<g(X)

个零点，则实数a的取值范围是.

四、解答题

17.已知集合A={x|V-x-2>0},集合6={x|2x2+(2k+5)x+5k<o},&eR

(1)求集合8；

(2)若“xe5”是“xeA”的充分不必要条件，求实数k的取值范围.

:x+*)(a>0),且满足

18.已知函数/(x)=asiii[2x---|-2cos

I6)

(I)求函数f(x)的解析式及最小正周期；

(II)若关于x的方程f(x)=l在区间上有两个不同解，求实数，”的取值范闱.

从①〃x)的最大值为1，②/(x)的图象与直线)，=一3的两个相邻交点的距离等于右

③/(x)的图象过点(?,0).这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.

19.已知。，夕e(0,1)，且tan(a-0=g,tan/7=-y

求：(1)求tana的值.

(2)求的角2a-/7

20.设函数/(.即=。/+(/?-2)x+3

14

(1)若f(l)=3,且a>0,〃>0,求一+7的最小值；

ab

(2)若/'(1)=2,且/(x)>2在(—1,1)上恒成立，求实数”的取值范围.

21.设。，beR.函数/(x)=lnx-ar,g(x)=-.

X

(I)若/(x)=lnx—ar与8(*)=彳有公共点P(l,/〃)，且在P点处切线相同，求该

切线方程；

(II)若函数/(X)有极值但无零点，求实数。的取值范围；

(III)当a>0,b=l时,求尸(x)=/(x)—g(x)在区间口,2]的最小值.

22.已知函数/(xXx'-Bx'Q-Ox,/'(x)为/(x)的导函数，其中feR.

(1)当/=2时，求函数“X)的单调区间：

(2)若方程〃x)=0有三个互不相同的根0,a,夕，其中。<夕.

①是否存在实数f,使得工乎=/侬成立？若存在，求出r的值：若不存在，说明

理由.

②若对任意的xe[a，切，不等式〃x)K16-，恒成立，求f的取值范围.

参考答案

1.c

【分析】

解不等式化简集合A5,再进行并集运算，即可得答案；

【详解】

A={x1g(x-2)<1}={x[2<x<12},8={4二-2x-3<o}={x|-l<x<3},

/.AU5=(T,12),

故选：C.

【点睛】

本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.

2.A

【分析】

由函数零点存在性定理结合/(1)<0、/(2)>0,即可得解.

【详解】

2

因为函数/(x)=lnx-7+l在(0,+a)上单调递增，

22

且/(l)=lnl-[+l=-l<0,/(2)=lii2--+l=lii2>0,

所以函数〃刈的零点所在的大致区间为(1,2).

故选：A.

【点睛】

本即考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础期.

3.A

【分析】

首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x=/r处的函数值排除错误选项即可确定函数的图

象.

【详解】

因为/(x)=ACOSx+sinx,则f(―A)=—xcosx—sinx=—/(x),

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称,

据此可知选项。错误;

且x=;r时，y=^cos^+sin^=-^<0,据此可知选项B错误.

故选：A.

【点睛】

函数图象的识辨可从以卜方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函数的

值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶

性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、

筛选选项.

4.D

【分析】

没丫=女匕目3-^,利用当v=l/〃/s时，鞋鱼的耗氧量的单位数为900求出k后可计算

3100

v=2m/s时鞋鱼耗氧量的单位数.

【详解】

设丫=女1。83^^，因为v=b〃/s时，。=900,Hil=klog3=2k,

所以k=L,故v=2m/s时，2=Log、2即0=8100.

225100

故选：D.

【点睛】

本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.

5.D

【分析】

容易得出《户,从而得出。，b.C的大小关系.

【详解】

,»*»

由题得（1）3<（；户<（g）°=lJog/>1吗3=1；

..c>b>a■

故选：O.

【点睛】

本期主要考查幕函数、指数函数和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平，属于基础题.

6.A

【解析】

分析：先构造函数g(x)=绰，再根据函数单调性解不等式.

e

详解：令g(x)=4»,因为g'(x)=/(""')<0,g(0)=2

ee

所以/(x)>2e'=g(x)>g(0)=>x<0

因此解集为(一8,0),

选A.

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究时应函数单调性，而时应函数需要

构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如r(x)</(X)构造g(x)=/段，

e

_f(x)+/(x)<0构造g(x)=e了(x),xf\x)<f(x)构造g(x)=区2.W)+/(x)<0

X

构造g(x)=xf{x}等

7.A

【分析】

根据函数满足f(x+4)=-〃x),得到函数/(x)的周期是8,再由x4-2,0)时，

f(x)=ex,且函数/(x)是定义在R上的奇函数，将/(2018)+/(2021)+/(2022)转

化求解.

【详解】

因为函数满足/(x+4)=-〃x),

所以/(x+8)=-f(x+4)=/(x),

所以函数/(x)的周期是8,

又当xe[-2,0)时，f(x)=ex,且函数〃x)是定义在R上的奇函数，

所以〃2018)+/(2021)+/(2022),

=/(2)+/(5)+/(6),

=/(2)-/(1)-/(2),

=/(-!)---

e

故选：A

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.

8.D

【分析】

作出函数y=|/(x)|的图像，和函数y=M的图像，结合图像可知直线＞'=⑪介于/与x轴

之间，利用导数求出直线/的斜率，数形结合即可求解.

【详解】

由题意可作出函数y=/(x)|的图像，和函数y=⑪的图像.

由图像可知：函数)'=依的图像是过原点的直线，

当直线介于/与工轴之间符合题意，

直线/为曲线的切线，且此时函数y=|/(x)|在第二象限的部分的解析式为

y=x2-2x,

求其导数可得y'=2x-2,因为XWO,故y'4-2,

故直线/的斜率为-2，

故只需直线y=4*的斜率。c[-2,O].

故选：D

【点睛】

本眶考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.

9.AB

【分析】

把函数化为一个角的一个三角函数形式，由正弦函数性质确定机,〃的可能值.

【详解】

f(x)=sinx•sin(x+g)一:=sinx(sinxcosy+cosxsiny)-

1-2V3.1G「1,1c巴

=—sinx+——sinxcosx——=——sinlx——cos2x=—sm(2x)，

224442'6，

由一』wLsm(2x-2)K」得一1Wsm(2x-2)，

226462

由周期性，在一个周期内有2〃----=—,H=—,--------<2m——<-----,<m<----,

66666226

7Z24

••一K〃-"7V---,

33

只有A、8满足.

故选：AB.

【点睛】

本题考查三角函数的值域问题，解题方法是把函数化为y=4sin(ox+e)形式，然后结合正

弦函数性质求解.

10.BCD

【分析】

举反例判断A选项错误：分离常数并利用基本不等式判断B选项正确：利用不等式的性质

判断C、D选项正确.

【详解】

[1]G12r7

A选项，令X=-，得————=--<4,故A不成立；

e3-Ine3

B选项，因为x+l>0.

C-...xz+3x+3(x+ir+(x+l)+lIIIcT

所以-----：————~：——'—=(x+l)+——+l>2J(x+l)——+1=3-B正

x+1x+1x+1Vx+1

确；

c1111

C选项，因为x>y>。，则一>一,所以x*i—>>>■<•—,C正确；

yxyx

D选项，因为x>y>0,所以4.x+w>4y+xy即x(y+4)>y(x+4),

,、x(y+4)y(x+4)vv+4

因为(x+4)x>0,所以/,八/>9~~~片■即上——，D正确.

''(x+4)x(x+4)xxx+4

故选：BCD

【点睛】

本题考查不等式的性质、基本不等式，属于中档题.

11.ABD

【分析】

先根据奇函数的定义证得函数为奇函数，然后根据复合函数的单调性求得单调性及值域，逐

项判断即可.

【详解】

解：+=+=0,故/(X)为奇函数，对于A,令f=x-l,即

/H)+/(O=o,正确，故A正确：

X1

当x>0时，/(*)=----=1-------->

1+x1+x

.•・/(X)在(0,+8)上单调递增，

又"0)=0，=且/(x)是奇函数，

••.“X)的值域为(一1,1).

.•J(X)的单调增区间为(YO,y).

故B正确，C错误，

♦••/(X)的单调增区间为(-00,田)，故Vxrx,,/(*)+'(三)〉0正确D正确；

占一公

故选：ABD.

【点睛】

本^考查了函数奇偶性、单调性值域等性质，属于中档题.

12.BCD

【分析】

构造函数函数7(x)=f(x)-g.p,利用定义可知，T(x)为奇函数，根据导数可知T(X),T(x)

在R上单调递减.结合己知可得利用导数可知，函数g(x)在时单调递减，根

据函数g(x)=e*—JZx-a在(-s,有一个零点求出手，+s，根据四个选项可得答

案.

【详解】

令函数,因为/(-X)+f(X)=%2,

..T(x)+T(-x)=/(x)-1x2+/(-x)-：(-x)2=f(x)+f(-x)-x2=O,

22

T(x)为奇函数,

当x40时，r(x)=r(x)-x<0,

.T(x)在(y,0］上单调递减，

.T(x)在R上单调递减.

；存在％e{x17(x)》7(l-x)},

,7(x)))》7(l—x°)，x0Wl-X。，即x()W~，

vg(x)=e'-yfex-a；(x《!),

为函数y=g(x)的一个零点；

当xW；时，g'(x)=e'-无40,

.1•函数g(x)在xW1时单调递减，

由选项知。>0,取x=-=<?,

又Tg=e丁>0,

要使g(x)在xW9时有一个零点,

2

只需使g(；)=&-g五-"W0,

解得碎立，

2

。的取值范围为

2

故选：BCD.

【点睛】

本意考查了由定义判断函数的奇偶性，由导数判断函数的单调性，考查了函数单调性的应用,

考查了由函数有零点求参数的取值范围，属于中档题.

4

13.——

5

【分析】

利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及齐次式即可求解.

【详解】

cos2a+—i=-sin2a=-2sinacosa=-2sinacosa

I2SHI2a+cos2a

一2tana-2x24

tan2a+122+15

4

故答案为：-2

5

【点睛】

本题考查了诱导公式、二倍角的正弦公式以及齐次式求三角函数值，需熟记公式，属于基础

题.

14.(-4,3).

【分析】

在等式x+3y=孙两边同时除以“，得到将代数式x+3)，和相乘'展开

后利用基本不等式求出x+3y的最小值12,由题意得出产+/<(x+3y)1nm=12,解出该

不等式即可得出实数，的取值范围.

【详解】

31

vx>0,y>0,且x+3y=Ay,在等式*+3丫=孙两边同时除以得一+—=1,

Xy

由基本不等式得x+3y=(x+3y)(2+_L]=6+

12

(xy)

当且仅当x=3y时，等号成立，所以，x+3y的最小值为12,

由于不等式/+f<x+3y恒成立，则产+f<(x+3yL=12,即/+，一12<0，

解得-4<f<3,因此，实数，的取值范围是(-4,3),故答案为(T,3).

【点睛】

本题考查基本不等式处理不等式恒成立问即，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用

基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，

属于中等题.

(eJl

15.C,—

<3_

【解析】

试题分析：由题意得y=e"-mx=0,得”?=乙，设

/(x)=—=>f'(x)=•可得〃x)在区间(1,3)上单调递增：在区

XX"X"

间(0,1)上单调递减，所以当X=1时，函数/(X)取得极小值，同时也是最小值/(l)=e,

因为当XT0时，/(x)->+8,当x=3时，/(3)=y,所以要使得函数)，=-一〃优在

3

区间(0,3］上有两个零点，所以实数川的取值范闱是e<〃?<e

3

考点：利用导数研究函数的单调性及极值(最值).

【分析】

当凶)时，函数人刈在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意.当”>0时，根据图

像可知：当贝J|jNO时，所以F(x)至多两个零点；当K栏)VO,即0>时,

列式八|)<0或者，

可解得结果.

【详解】

易得/Xx)=3.F—a.

当吧)时，f\x)>0,函数Kx)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意.

当。>0时，令/(x)=3x2—。=0,解得x=±J；

由f'(x)>0,得x<或x〉C，由/(x)<0,得_仁-<福

所以函数在(-8,—,+8)上单调递增，在(一)上单调递减,

在同一坐标系中，分别作出函数/(X),g(X)的图像，根据图像可知:

当人)2。时，所以尸(x)至多两个零点;

22即a>至或士<aW土4

即(§)，一针+1<0或《解得

18318

又,〉逑且逑>匕所以八逑.

2232

故答案为:

本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的

零点，属于中档题.

17.(1)当人>?时，8=(-*，-：)：当&=：时，5=0：当时，B=；

(2)k>l.

【分析】

(1)分类讨论解不等式可得集合8：

(2)求解集合A,根据充分不必要条件与集合包含之间的关系可求解.

【详解】

(1)2x2+(2k+5)x+5k<0,则(2x+5)(x+k)<0,

:・k>—时，一k<x<—,火=二时，不等式无实解，当&<二时，一二<x<—k.

22222

•时，5=(—k,—/)：当k=j时，6=0：当后</时，8=(—5，—女)：

(2)由已知A={x|x<-1或x>2}

若“xw6”是“xeA”的充分不必要条件，则

kN*时，显然满足&时，-kW-l，：.—k〈).

222

综上

【点睛】

本题考查解一元二次不等式，考查由充分不必要条件与集合包含之间的关系求参数范围.属

于基础题.解含参数的一元二次不等式时注意分类讨论.

、兀4乃7兀、

18.满足①或②或③；(I)/(x)=2sm2x-----1，最小正周期为产；(II)

6

【分析】

(I)利用三角恒等变换思想化简函数y=f(x)的解析式，根据①或②或③中的条件求得

可得出；

a=lf(x)=2sii2x/-1,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正

周期；

川)令/(x)=l,得sm(2x-3)=1,解得x=：+k/r,k&Z,可得出方程〃x)=l

在区间［0*6］上的实数根，进而可得出实数加的取值范围.

【详解】

(I)函数/(x)=asin(2x-?卜2cos二1+')

n

=asin2x--+sin2x---1

66)

=m+i)sm2f1,

若满足①〃x)的最大值为1,则。+1=2,解得a=l.

所以〃x)=2sin；2x-3卜1，则函数〃x)的最小正周期为了二年

(II)令f(x)=l,得sin(2x-3

=1,

解得2x-2=2+2女万，keZ,即》=2+*乃，keZ：

623

若关于x的方程〃x)=l在区间[0,问上有两个不同解，则x=g或f:

4万上］

所以实数，”的取值范围是T'Tj

若满足②，f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于兀,

且/(x)的最小正周期为T=g=”，所以一(。+1)-1=-3,解得。=1：

以卜解法均相同.

若满足③，〃x)的图象过点(，)，则dV=(a+l)sm/l=0,解得《=1：

以卜,解法均相同.

【点睛】

本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根

的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.

19.(1)—；(2)2a—(3=---.

34

【分析】

(1)tana=tan[(a—夕)+〃],利用两角和的正切公式展开即可求解.

(2)根据tana的值先求tan2a值，再求tan(2a-/7)的值，再利用2a一尸的范围即可求

解.

【详解】

tan(a-77)+tan夕

(1)taila=taii[(a-P)^P\-

1-tan(a-/?)-taii>0

-2”tana2x-?3

(2)tanzct=-----；­=-------

laira呢、-4

一3+一1

tan(2atan(2a)-tan夕_47

Ma-)-i+tan2ata"一,(3]1一1

•；tana=；e（0,1）且ae（0,幻二ae10,?卜.2ae[0,/j

Vtan/7=-3€（-1,0）且Z?e（0,乃）（彳，不）/.~Pe（-%,一~—

2a一0e1一乃,一工la-p——

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的正切公式，以及正切的二倍角公式，考查了给值求值、给值求

角题型，属于中档题.

9

20.（1）-I（2）[-1,1].

【分析】

（1）由/（1）=3可得a+b=2,再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得：

（2）依题意可得。+占=1,即。/一（。+1〉+1>0在（-1,1）上恒成立，等价于是不

等式8（》）=（依一1）（》-1）>0解集的子集，再对参数〃分类讨论，分别计算可得；

【详解】

解：（1）函数/（乃=公^+侬一？）*+?,由/（1）=。+6-2+3=3,可得a+〃=2,所

h4a24

当巳=；时等号成立，因为a+b=2，a>0,b>0,解得“=士，力=工时等号成立,

ab33

149

此时一+的最小值是一.

ab2

(2)由/(I)=a+b-2+3=2,即a+Z?=l,

又由ar2+(b-2)x+3>2在(-1,1)上恒成立，即ax,-(a+l)x+1>0在(-1,1)上恒成立,

等价于(-1,1)是不等式g(x)=(ax-l)(x-l)>0解集的子集，

①当a=0时，不等式的解集为(《』)，满足题意；

②当a<0时，不等式的解集为(5.1),则1,解得故有一lWa<0：

③当0<aKl时，即时，不等式的解集为(-8,1)=(+8),满足题意；

④当。>1时，即：<1时，不等式的解集为(口,^)11(1,+8)，不满足题意，(舍去)，

综上所述，实数。的取值范围是[-L1].

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题.

-a-lj0<«<1112+—|

21.(1)x-2y-2=0(2)a>-(3)F(x)=｛,..

e1(1A

1112--a>ln2+yI

【详解】

试题分析：(1)利用切线的几何意义求切线的斜率；(2)利用导数分析函数的单调性，结合

极值，只需极小值大于0或极大值小于。即可求出：(3)利用导数判断新函数的单调性及极

值，再结合定义域分析函数再区间上的最小值.

r(l)=g'(l)\-a=-b

试题解析：(【)由｛,,；，,得｛.

/(l)=g(l)-a=b

1

U----

・・・{21;

b=--

2

(i\1i

在点PL-彳的切线方程为y+-=—(x-1).即x-2y-2=0.

k2/22

(11)当a40时，由r(x)=9—a>0恒成立，可知函数〃x)在定义域(O,+8)单调递

X

增，此时无极值.

当々>0时，由/'(工)=!一4=0得x=1>0：由/'(x)=L-a>0得xw[

xax\aJ

<0得x£(：,一).

于是，X=—为极大值点，且/max(x)=/]7)=—Inn—1.

由于函数〃X)无零点，因此鼠(工)=/(5)=-11工一1<0,解得a〉;

(III)不妨设/(x)=ll以一—1得尸'(X)=L-4+1T=G1).

XXX-X-

设人(x)=cur-x-1,•/a>0,.・.△=1+4a>0

设〃(x)=0的两根为用,x,：且由/.乂=一一＜0得玉＜0,占＞0且

a

1+Jl+4a

居=:

2a

・•・尸(x)=—-----可-----」

X'

当尸'(x)=0时x=&：

当尸'(》)>0时，x2>x>0；

当尸'(x)<0时，x>x2.

・•/(x)在(0,毛］递增，［毛,+8)递减.

_L<i

①当0<&«1时，即｛2a解得心2时，［1,2仁值,”)，尸(x)在［1,2］递减；

A(l)>0

.•.尸(工)3=尸(2)=必2—；一2a.

②当占22时，即6(2)40解得0<。4：时，［1,2］=0,可，尸(x)在［1,2］递增：

•••尸("nun=/(1)=-。-「

③当1<七<2时，即［〈avZ时，尸(x)在［16］递增，卜,2］递减；

.".F(2)-F(l)=ln2-；-2a+a+l=ln2+；-a.

(i)当1112+^4“<2时，F(2)<F(1),

.-.F(x)mn=F(2)=hi2-1-2«.

(ii)当(<a<ln2+1■时，尸(2)>/⑴，

•■-F(xL=F(1)=-«-i-

综合①、②