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文档简介
2022-2023学年度第一学期期末调研测试
高三数学试题
一、选择题.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1,已知集合/={00,8={2"力},若/仆8={1},则“+6=
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】/。6={1},则"=1,/={0,1},8={2,1},即8=1,.•.4—6=2,选B.
2.若1+i是实系数一元二次方程Y++q=0的一个根,则
A.p=2.q=2B.p=2,q=_2C.p=-2,q=2D.p=-2,q=-2
【答案】C
【解析】(1+i『+p(l+i)+夕=0,2i+p+pi+q=0,(2+p)i+/?+</=0,
2+/?=0[p=-2上
,选C.
p+q=0[q=2
2
3.若(x+y)'=q</6+《盯5+%》2,3+,贝!](/+/+a4+a6)-(«,+%+%产
的值为
A.0B.32C.64D.128
【答案】A
【解析】x=l,y=-1时,O=ao-al+a2-a3+a4-a5+a6
x-l,y=1时,64=%+a1+%+能+%+见+4
(旬+a2+a4+4)--(q+4+”5厂
-(a0--a,+a4-as+ab)(a0+q+”,+%+(+%+4)=()x64=(),选A.
4.在音乐理论中,若音M的频率为〃7,音N的频率为〃,则它们的音分差1200log?'.当
9256
音4与音8的频率比为1时,音分差为r,当音。与音。的频率比为系时,音分差为s,
则
A.2r+3s=600B.3r+2s=600
C.5r+2.s-=1200D.2r+5s=1200
【答案】C
9
【解析】r=1200log-=1200(log9-3)=2400log3-3600,
2822
5=1200log—=1200(8-5log,3)=9600-6000log3,5r+2.s=1200,选C.
224「2
5.在平面直角坐标系xOv中,直线/:x-2y+2=0与抛物线C:V=4x相交于4,6两点,
则火•砺的值为
A.4B.8C.12D.16
【答案】C
x-2v+2=0,
【解析】,',消K可得『-8»+8=0,
尸=4x
8
令4%,必),仇工2,为),yty2=,中2=??=4,
44
OA()B=x]x2+y]y2=12,选C.
■TT———
6.在平面直角坐标系•中,已知点”(6,8),将CM绕点。顺时针旋转工后得。4',则H
4
的纵坐标为
A.V2B.V3C.2D.y/5
【答案】A
43
【解析】设Z(6,8)是a角终边上一点,则sine,cosa=—,
刀绕点。顺时针旋转5后得罚,则匕=10-sin1a-(卜立,选A.
7.已知函数/(x)=sin(0x+e)(e>O,O<e<i),若/gj=O,/(1)=1,y(x)的最
小正周期厂>2万,则8的值为
7U7T25
A.—B.—C.—71D.—7T
6336
【答案】D
【解析】/[?)=(),/(1)=一1,则万一?=+,
3
2乃2
T=—>2],,笈=0,即T=31=—,co=—,
1,A.co3
42
/(x)=sin[,x+e],/(乃)=sin]:;r+ej=-l,夕=*乃,选D.
8.若实数出仇°满足6"=12"=3,3b-ab=5a-ab,则a,仇c的大小关系是
A.a>b>cB.b>oaC.c>a>bD.c>b>a
【答案】D
【解析】方法一:6"=3,.-.a=log63,12"<=3,.\ac=logl23,c==log126,
1叫3
,1-1
,:.6'-a=5h,
-1=log,6-=(1-a)logs6=log/log.,6=log,2
,-.-=log10,.-.6=log5,
bs10
i6iiih1210ln2
.•--logbrl-log62.1--"=bg/=I咻2=1一同,
12In2111
c=log万=1一*2=1----<------<-----
hiT2In6In10lnl2
:.a<b<c,选D.
方法二:由6"=12"c=3=>«=log3,c==log],6
61O§63
而logiQ,l-a=log62,l-c=log122,l-6=log]02,
log62>logl02>log122=>l-i7>l-/?>l-c,:.a<b<c,选D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知一组数据为:4,1,2,5,5,3,3,2,3,2,则
Q
A.标准差为《B.众数为2和3
7
C.70分位数为5D.平均数为3
【答案】BCD
【解析】x=3,DM52=—(4+lx3+0x3+lxl+4x2)=-,方差为§,A错.
1055
众数为2和3,B对.
7
10x70%=7,按大小顺序排为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,第7,8位数的平均数为],C对.
10.用一个平面截正方体,则截面的形状不可能是
A.锐角三角形B.直角梯形C.正五边形D.边长不相等的六边形
【答案】BC
【解析】如图(1)截面为锐角三角形,A不选.
当截面为四边形时可能出现矩形,平行四边形,等腰梯形,但不可能出现直角梯形,B选.
当截面为五边形时,不可能出现正五边形,C选.
如图(2)可以是边长不全相等的六边形,D不选,选BC.
11.已知定义域为R的函数/(xhU—Y+at+i,则
A.存在位于的实数a,使函数/(x)的图象是轴对称图形
B.存在实数。,使函数/(x)为单调函数
c.对任意实数。,函数/(x)都存在最小值
D.对任意实数。,函数/(x)都存在两条过原点的切线
【答案】ACD
对于A,可利用一个结论.
若/(.r)=/+av'+fer2+ex+d为轴对称图形,
则de=-力)且关于X=-L对^f-r+av+l为轴期暄形,
84
:,a=0fA正确
对于B,f'(x)=4,v-2.r+a,当x->-«时,/'(x)->-<»,x->+8时,/'(x)-»+®,
对VwR至少有一个变号零点,.,J(x)不可能为单调函数,B错.
对于C,当KT-X以及KT+X时,〃K)均T+00,由/(K)在R上连续,
..中间/(、)必存在最小值,c正确.
对于D,设切点P(.%,x:-4+5+1),f'(x)=4x'-2x+a,k=4x()-2x0+(/,
/(x)在P处切线方程为,v=(4x(,-2.%+a心-.%)+x:-x;+av0+1
♦它过原点,,-4x:+2x;-a%+xj-.t"+av0+1=0
/.3x:-x;-1=0有两解,存在两条切线,二D正确.
选:ACD.
12.过圆。:/+/=8内一点p(1,6)作两条互相垂直的弦」反8,得到四边形,
则
A.»8|的最小值为4B.当»8|=26时,|CD|=2V7
c.四边形.408(.面积的最大值为16D.ACBD为定值
【答案】ABD
【解析】方法一:当P为,48中点时最小,OP=2,|/同而=2jn=4,A对.
。到,48,CD的距离分别为4,出,/5=278-4=2非,:&=陋,
":+片=14,.•.4=1,CD=2y^\=2币,B对.
5叱=/。=»而不2尸
=2,64-8(常+/)+4%;=2加4-32+d讨
=2*2+d;d;<2J32+4=12,C错.
就•丽=(万+斤)(即+丽)=布丽+衲丽+京.丽+京•丽
^PAPB+PCPD.
分别取/&C。的中点M,N,
ACBD=-(MA-+PM}-(NC-PN)(ND+PN)
=PM2-MA2+PN2-NC2=d]+d\-(8-""-(8-d\)
=2(d;+4)—16=—8为定值,D对,选ABD.
方法二:当OP,时,|/目最小,此时|/可““,=2>/8^4=4,A正确.
过。分别作于点E,OFLCD于点F,
设OE=x,OF=y,/.x~+y~,
当|,4回=2石时,x=y/3,此时y=l,|CO|=2j7,B正确.
对于C,SmADBC=^\AB\\CD\=1.2VT7.2而了
二27(8-X2)(8-/)<2-16-(;5=12,C错.
对于D,ACBD=(PC-PA)(PD-PB)=PC-PD+PA^PB
=FP--DF2+PE2-BE2=x2-(8-y2)+y2-(8-x2)
=2(x2+/)-16=-8为定值,D正确,选ABD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
22
13.若椭圆心的焦点在y轴上,且与椭圆q:1+三=1的离心率相同,则椭圆G的一个标
-42-
准方程为.
2
【答案】J+X?=l
2
222
【解析】椭圆6:二+二=1的离心率为e=*,椭圆C,可取:二+/=1.
4222
14.某公司决定从甲、乙两名员工中选一人去完成一项任务,两人被选中的概率都是0.5.据以
往经验,若选员工甲,按时完成任务的概率为0.8;若选员工乙,按时完成任务的概率为0.9.
则选派一名员工,任务被按时完成的概率为.
【答案】0.85
【解析】P=0.5x0.8+0.5x0.9=0.85.
15.设正项等比数列{4}的前〃项和为S“,若S,=1052,则3的值为.
【答案】91
【解析】方法一:等比数列{4}中,邑,54-52,邑-5,成等比数列,邑,9邑,811成等比数
列,;.S6=8§,:.Sh=9\S2,.'.^=91.
*
方法二:设{%}公比为4,5支出=10乌0二£2=4=3,
\-q\-q
q(")
.2=j,=E=9L
S【q(lf)1-32
i-q
16.一名学生参加学校社团活动,利用3D技术打印一个几何模型.该模型由一个几何体M及
其外接球O组成,几何体M由一个内角都是120°的六边形ABCDEF绕边BC旋转一周得到
且满足.43=Zb=DC=DE,BC=EF,则球O与几何体M的体积之比为.
5677
【答案】
81
2/[、2a
【解析】方法一:设48=1,BC=a,—+3=-+-+-=OA2,.■々=4
4l22)4
.nr臼v47r328近
:.OF=yl/,V.=——r=----TC,
33
If3,311°c1311,54727乃
K,=——兀+3兀+一兀X—X2-2x—X—7FX-F31•4=---=---
23U2)234242
方法二:设AB=AF=DC=DE=2a,BC=EF=2b,
月民力歹旋转形成的几何体为Y圆台挖去T圆锥,
V,..=[[乃尸+n-(2y/ia)2+4兀•3a?•兀•T2a2]-ay/3a)2-a
33
=-7ra}=6兀
匕田划杵=7r(2y/3a)1・2b=241a2b,/.匕何体=12不/+24尸a2b
・・•几何体存在夕楔球,设8C中点为O一・.。为球心,由。1=8=/?
=(力+〃尸+3/J=62+12a2=>b=4a
L4L
・・.*=2&J,R=2。一.・%=3小28〃2・20,
Vst-12/rcr+96^a=108万〃',
.展。二56小
"y.8i
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)记△/8C的内角48,C的对边分别为4,6,C,已知理&+吧S=2cos8+1.
sinesinZ
(1)求证:b~=ac;
Ll,
(2)若「-,求cosB的值.
a~+c5
【解析】
,,,sin/sinC_.ac_a2+c2-b2,
(1),/------+-------=2cos8D+l,=2---------------+1,
sinCsin/calac
a2+c2=a2+c2-b2+ac=>b2=ac.
a2+c2-b2a2+c2-aca2+c21
(2)cos5二
lac2ac2ac2
lr2ac21513
由.、—-=>—-------..cos5n=----------
a2+c25a'+c52224
,八、2fl+1211„
18.(12分)已知数列{a,J满足-----=-----------,—।------=—,a,>0.
限«2a\a2«3
(1)求证:数列,是等差数列;
.an.
(2)求数列储,4川}的前〃项和5,.
【解析】
2”,,+111
3)噜=
。用a《,见In7
31q=l
±2+1
°J2211
令〃=1,2=><;,结合二+,一<解得,
fUi=
3._1]q%%-3
=-2+——
1
,工6+3J」=2,
4+1%an
—成首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(I)知,=1+2(〃-1)=2〃-1n。“=—!—
a“2nT
I111
2/7-12〃+12\2/7-12/74-1
11、1n
=H1-
3352/z-l2n+\J2、2/7+1~2/7+1
19.(12分)甲、乙两个学校进行球类运动比赛,比赛共设足球、篮球、排球三个项目,每个
项目胜方得100分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,
已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为040.6,0.5,各项目比赛互不影响.
(1)求乙获得冠军的概率;
(2)用》表示甲校的总得分,求X的分布列与期望.
【解析】
(1)乙校获得冠军的情形分为乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜
P=0.6x0.4x0.5+0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.4+0.6x0.4x0.5=0.5.
(2)X的所有可能取值为0,100,200,300
/>(y=0)=0.6x0.4x0.5=0.12,
尸(X=1()0)=0,4X0,4X0.5+0.6X0,6X0.5+0.5x0.6x0,4=0.38,
P(X=200)=0.4X0,6X0.5+0.4x0.5x0.4+0.6x0.5x0.6=0.38,
P(X=300)=0.4x0,6x0.5=0.12,
.•.X的分布列如下:
X0100200300
p0.120.380.380.12
X的期望4X)=38+76+36=150.
20.(12分)如图,在三棱台ABC-DEF中,已知平面ABED1平面BCFE,BALBC.
8c=3,BE=DE=DA=-AB=\.
2
(1)求证:期平面8CEE;
(2)求平面CO/与平面力火所成角的正弦值.
【解析】
(1)证明:在等腰梯形力8£。中,过£作EG1于点G,
BG^-,:.NBEG=30。且EG=也,AG^-,ZAEG=60°,
222
:.乙4EB=90°,AEVBE,
平面ABED1平面BCFE,平面ABEDA平面BCFE=BE,4Eu平面ABED,
AELBE,:.AELW^BCFE.
(2)•.•AELW^BCFE,/.AE1BC,又:BC1BA,•/AE[yBA=A
:.BCABED,•••5Cu平面N8C,,平面/8C_L平面N8ED,
(■>.(\
如图建系,则。(3,0,0),。0,不一,E0,-,^-,40,2,0)
2222
\7\
,而=(|,0,0
设平面CO"与平面,4EE的一个法向量分别为〃I=(网,乂,马),〃2=(x2,y2,z2)
,3V3_
-3x.H—y,H---z,=0
.<322=>4=(2,3,V3)
--y2+—z,=0
2''2=心(0,1,两,
—x,=0
2
设平面CD尸与平面/E/所成角为。,
2=3,sin”也
/.|cos0|=“•巧
同可4.244
22
21.(12分)在平面直角坐标系X。,中,过点P(-2,0)的直线/与曲线C::-2=1的左支
ab」
交于48两点,直线。力与双曲线C的右支交于点。.已知双曲线。的离心率为0,当直线/
与.v轴垂直时,忸。|=拒»卸.
(1)求双曲线。的标准方程;
(2)证明:直线8。与圆。:/+/=2相切.
【解析】
(1)当/_Lx轴时,A(-2,y0),B(-2-y0),D(2,-y0)
此时,忸。|=4,卜5|=2闻,S\BD\=y[2\AB\=>4=272|y0|=>|y0|=72,
,/e—V2,=V2,c=y/2a,b—a,
a
•.7在双曲线三一4=1上n=—-,=lna°=2,a=6,
a'b-a-a-
.•.双曲线。的标准方程为:三-三=1.
22
,2
(2)方法一:•・,4。关于原点对称,二LF=1
设48方程:X=my-2,4(演,乂).8(%,%),kBD=
x=mv—2
«,=>(m~—1)v2—4my+2=0,A=8/n~+8
x2-y2=2
8。方程:y=m(x-x,)+y2,。到3。距离d=也胃岗,不妨设为<。,
yjm2+1
-m(my2-2)||(1—/n~)j/2+2/??|
J〃广+1\m~+1
_4m+\/Sm2+82m+,2〃广+2
而%=---3-------=-------;--------
2(〃/一1)nr-1
.・.d=0=/・,.・.8。与。。相切.
方法二:设直线48的方程为x=〃9一2,方苍,必),例生为),。(一4一乂),
x=my-2八,Ic,c
<-1)广一4〃9+2=0,△=16〃厂一8(〃广-1)=8〃7~+8
厂—=2•
,y+y.工口二y1+y>/、乂+歹,X|JS-x)凹
kpD=…7,,台。方程为y~」(x—,)+%=」~」x+」^——
X2+X]X]+X2~X]+x2x}+x2
4〃7
而止匕=一5—=—广」—=也」〃,
X1+X2my{-l+my2-l64/〃<4
nr-I
(〃*—)乂一。叫一)凹
而任二支L22
一+》2tnyx-2+my2-2
20J〃/+1
2-
1+nr4亚/〃/+1
2(必一外)=y/ly/nr+1
〃?(乂+先)一4Am.-4/7/2-4(1一〃?2)
m•门-4
.•.o到直,线8Q的距离d=吟"〃一+1,
71+»r
.•.髅8。圆0:*2+/=2相切.
22.(12分)已知函数/"(x)=e-Lx3(。为非零常数),记,M(X)=/;;(x)(n€N),
6
X)(x)=/(x).
(1)当x>0时,/(x)20恒成立,求实数。的最大值;
(2)当。=1时,设g”(x)=£〃x),对任意的〃23,当x=f“时,y=g,,(x)取得最小值,
i=2
证明:8,&,)〉0且所有点区苗,,(。))在一条定直线上;
(3)若函数工(x)J(x),/;(x)都存在极小值,求实数”的取值范围.
【解析】
1(、
(1)由/(x)20,x>0=>e'——ax'>0^>a<--
6\XJmin
企//,6ei,ev-x3-3x2-eveA(x-3)
令〃(x)=F,h(x)=6-------------=6----4-,
XXX
6232e32e3
在(0,3)上';(3,+00)上/,h(x)min=h(3)=—=^―,
3
即"的最大值为《2e•・
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