江苏省泰州市2022-2023学年度第一学期期末调研测试高三数学试题答案

2022-2023学年度第一学期期末调研测试

高三数学试题

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1,已知集合/={00，8={2"力},若/仆8={1},则“+6=

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】/。6={1}，则"=1,/={0,1},8={2,1}，即8=1,.•.4—6=2，选B.

2.若1+i是实系数一元二次方程Y++q=0的一个根，则

A.p=2.q=2B.p=2,q=_2C.p=-2,q=2D.p=-2,q=-2

【答案】C

【解析】(1+i『+p(l+i)+夕=0,2i+p+pi+q=0,(2+p)i+/?+</=0,

2+/?=0[p=-2上

，选C.

p+q=0[q=2

2

3.若(x+y)'=q</6+《盯5+%》2,3+,贝！](/+/+a4+a6)-(«,+%+%产

的值为

A.0B.32C.64D.128

【答案】A

【解析】x=l,y=-1时，O=ao-al+a2-a3+a4-a5+a6

x-l,y=1时,64=%+a1+%+能+%+见+4

(旬+a2+a4+4)--(q+4+”5厂

-(a0--a,+a4-as+ab)(a0+q+”，+%+(+%+4)=()x64=(),选A.

4.在音乐理论中，若音M的频率为〃7,音N的频率为〃，则它们的音分差1200log?'.当

9256

音4与音8的频率比为1时，音分差为r,当音。与音。的频率比为系时，音分差为s,

则

A.2r+3s=600B.3r+2s=600

C.5r+2.s-=1200D.2r+5s=1200

【答案】C

9

【解析】r=1200log-=1200(log9-3)=2400log3-3600,

2822

5=1200log—=1200(8-5log,3)=9600-6000log3,5r+2.s=1200，选C.

224「2

5.在平面直角坐标系xOv中，直线/：x-2y+2=0与抛物线C:V=4x相交于4,6两点，

则火•砺的值为

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

x-2v+2=0,

【解析】,'，消K可得『-8»+8=0,

尸=4x

8

令4%,必),仇工2，为)，yty2=，中2=??=4,

44

OA()B=x]x2+y]y2=12，选C.

■TT———

6.在平面直角坐标系•中，已知点”(6,8),将CM绕点。顺时针旋转工后得。4',则H

4

的纵坐标为

A.V2B.V3C.2D.y/5

【答案】A

43

【解析】设Z(6,8)是a角终边上一点，则sine,cosa=—,

刀绕点。顺时针旋转5后得罚,则匕=10-sin1a-(卜立，选A.

7.已知函数/(x)=sin(0x+e)(e>O,O<e<i),若/gj=O,/(1)=1,y(x)的最

小正周期厂>2万,则8的值为

7U7T25

A.—B.—C.—71D.—7T

6336

【答案】D

【解析】/[?)=(),/(1)=一1,则万一?=+,

3

2乃2

T=—>2]，，笈=0,即T=31=—,co=—,

1,A.co3

42

/(x)=sin[,x+e],/(乃)=sin]：;r+ej=-l,夕=*乃，选D.

8.若实数出仇°满足6"=12"=3,3b-ab=5a-ab,则a,仇c的大小关系是

A.a>b>cB.b>oaC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】方法一：6"=3,.-.a=log63,12"<=3,.\ac=logl23,c==log126,

1叫3

,1-1

,:.6'-a=5h,

-1=log,6-=(1-a)logs6=log/log.,6=log,2

,-.-=log10,.-.6=log5,

bs10

i6iiih1210ln2

.•--logbrl-log62.1--"=bg/=I咻2=1一同,

12In2111

c=log万=1一*2=1----<------<-----

hiT2In6In10lnl2

:.a<b<c，选D.

方法二：由6"=12"c=3=>«=log3,c==log］，6

61O§63

而logiQ,l-a=log62,l-c=log122,l-6=log］02,

log62>logl02>log122=>l-i7>l-/?>l-c,:.a<b<c，选D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知一组数据为:4,1,2,5,5,3,3,2,3,2,则

Q

A.标准差为《B.众数为2和3

7

C.70分位数为5D.平均数为3

【答案】BCD

【解析】x=3,DM52=—(4+lx3+0x3+lxl+4x2)=-,方差为§,A错.

1055

众数为2和3,B对.

7

10x70%=7,按大小顺序排为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,第7,8位数的平均数为］,C对.

10.用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是

A.锐角三角形B.直角梯形C.正五边形D.边长不相等的六边形

【答案】BC

【解析】如图(1)截面为锐角三角形，A不选.

当截面为四边形时可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形，B选.

当截面为五边形时，不可能出现正五边形，C选.

如图(2)可以是边长不全相等的六边形，D不选，选BC.

11.已知定义域为R的函数/(xhU—Y+at+i,则

A.存在位于的实数a,使函数/(x)的图象是轴对称图形

B.存在实数。，使函数/(x)为单调函数

c.对任意实数。,函数/(x)都存在最小值

D.对任意实数。，函数/(x)都存在两条过原点的切线

【答案】ACD

对于A,可利用一个结论.

若/(.r)=/+av'+fer2+ex+d为轴对称图形，

则de=-力)且关于X=-L对^f-r+av+l为轴期暄形,

84

：,a=0fA正确

对于B,f'(x)=4,v-2.r+a，当x->-«时，/'(x)->-<»,x->+8时，/'(x)-»+®,

对VwR至少有一个变号零点，.,J(x)不可能为单调函数，B错.

对于C,当KT-X以及KT+X时，〃K)均T+00,由/(K)在R上连续，

..中间/(、)必存在最小值，c正确.

对于D,设切点P(.%,x：-4+5+1),f'(x)=4x'-2x+a,k=4x()-2x0+(/,

/(x)在P处切线方程为,v=(4x(,-2.%+a心-.%)+x：-x；+av0+1

♦它过原点，,-4x：+2x；-a%+xj-.t"+av0+1=0

/.3x：-x；-1=0有两解，存在两条切线，二D正确.

选：ACD.

12.过圆。:/+/=8内一点p(1,6)作两条互相垂直的弦」反8,得到四边形，

则

A.»8|的最小值为4B.当»8|=26时，|CD|=2V7

c.四边形.408(.面积的最大值为16D.ACBD为定值

【答案】ABD

【解析】方法一：当P为,48中点时最小，OP=2,|/同而=2jn=4,A对.

。到,48,CD的距离分别为4,出,/5=278-4=2非，:&=陋,

"：+片=14,.•.4=1,CD=2y^\=2币,B对.

5叱=/。=»而不2尸

=2,64-8（常+/）+4%；=2加4-32+d讨

=2*2+d；d；<2J32+4=12,C错.

就•丽=（万+斤）（即+丽）=布丽+衲丽+京.丽+京•丽

^PAPB+PCPD.

分别取/&C。的中点M,N,

ACBD=-（MA-+PM}-（NC-PN）（ND+PN）

=PM2-MA2+PN2-NC2=d]+d\-（8-""-（8-d\）

=2（d；+4）—16=—8为定值，D对，选ABD.

方法二：当OP，时，|/目最小，此时|/可““,=2>/8^4=4,A正确.

过。分别作于点E，OFLCD于点F,

设OE=x,OF=y,/.x~+y~,

当|,4回=2石时，x=y/3,此时y=l,|CO|=2j7,B正确.

对于C,SmADBC=^\AB\\CD\=1.2VT7.2而了

二27（8-X2）（8-/）<2-16-（；5=12,C错.

对于D,ACBD=(PC-PA)(PD-PB)=PC-PD+PA^PB

=FP--DF2+PE2-BE2=x2-(8-y2)+y2-(8-x2)

=2(x2+/)-16=-8为定值，D正确，选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

22

13.若椭圆心的焦点在y轴上，且与椭圆q:1+三=1的离心率相同，则椭圆G的一个标

-42-

准方程为.

2

【答案】J+X?=l

2

222

【解析】椭圆6：二+二=1的离心率为e=*，椭圆C,可取：二+/=1.

4222

14.某公司决定从甲、乙两名员工中选一人去完成一项任务，两人被选中的概率都是0.5.据以

往经验，若选员工甲，按时完成任务的概率为0.8;若选员工乙，按时完成任务的概率为0.9.

则选派一名员工，任务被按时完成的概率为.

【答案】0.85

【解析】P=0.5x0.8+0.5x0.9=0.85.

15.设正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若S,=1052,则3的值为.

【答案】91

【解析】方法一：等比数列｛4｝中，邑,54-52，邑-5,成等比数列，邑,9邑,811成等比数

列，；.S6=8§,:.Sh=9\S2,.'.^=91.

*

方法二：设｛%｝公比为4,5支出=10乌0二£2=4=3,

\-q\-q

q(")

.2=j,=E=9L

S【q(lf)1-32

i-q

16.一名学生参加学校社团活动，利用3D技术打印一个几何模型.该模型由一个几何体M及

其外接球O组成，几何体M由一个内角都是120°的六边形ABCDEF绕边BC旋转一周得到

且满足.43=Zb=DC=DE,BC=EF，则球O与几何体M的体积之比为.

5677

【答案】

81

2/[、2a

【解析】方法一：设48=1,BC=a,—+3=-+-+-=OA2,.■々=4

4l22)4

.nr臼v47r328近

：.OF=yl/,V.=——r=----TC,

33

If3,311°c1311,54727乃

K,=——兀+3兀+一兀X—X2-2x—X—7FX-F31•4=---=---

23U2)234242

方法二：设AB=AF=DC=DE=2a,BC=EF=2b,

月民力歹旋转形成的几何体为Y圆台挖去T圆锥，

V,..=[[乃尸+n-(2y/ia)2+4兀•3a?•兀•T2a2]-ay/3a)2-a

33

=-7ra}=6兀

匕田划杵=7r(2y/3a)1・2b=241a2b,/.匕何体=12不/+24尸a2b

・・•几何体存在夕楔球，设8C中点为O一・.。为球心，由。1=8=/?

=(力+〃尸+3/J=62+12a2=>b=4a

L4L

・・.*=2&J,R=2。一.・%=3小28〃2・20，

Vst-12/rcr+96^a=108万〃',

.展。二56小

"y.8i

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)记△/8C的内角48,C的对边分别为4,6,C，已知理&+吧S=2cos8+1.

sinesinZ

(1)求证:b~=ac；

Ll,

(2)若「-,求cosB的值.

a~+c5

【解析】

,,,sin/sinC_.ac_a2+c2-b2,

(1),/------+-------=2cos8D+l,=2---------------+1,

sinCsin/calac

a2+c2=a2+c2-b2+ac=>b2=ac.

a2+c2-b2a2+c2-aca2+c21

(2)cos5二

lac2ac2ac2

lr2ac21513

由.、—-=>—-------..cos5n=----------

a2+c25a'+c52224

,八、2fl+1211„

18.(12分)已知数列｛a,J满足-----=-----------,—।------=—,a,>0.

限«2a\a2«3

(1)求证：数列,是等差数列；

.an.

(2)求数列储,4川｝的前〃项和5,.

【解析】

2”,,+111

3)噜=

。用a《,见In7

31q=l

±2+1

°J2211

令〃=1,2=><;，结合二+,一＜解得，

fUi=­

3._1]q%%-3

=-2+——

1

，工6+3J」=2,

4+1%an

—成首项为1,公差为2的等差数列.

(2)由(I)知,=1+2(〃-1)=2〃-1n。“=—!—

a“2nT

I111

2/7-12〃+12\2/7-12/74-1

11、1n

=H1-

3352/z-l2n+\J2、2/7+1~2/7+1

19.(12分)甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个项目，每个

项目胜方得100分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，

已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为040.6,0.5,各项目比赛互不影响.

(1)求乙获得冠军的概率；

(2)用》表示甲校的总得分，求X的分布列与期望.

【解析】

(1)乙校获得冠军的情形分为乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜

P=0.6x0.4x0.5+0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.4+0.6x0.4x0.5=0.5.

(2)X的所有可能取值为0,100,200,300

/>(y=0)=0.6x0.4x0.5=0.12,

尸(X=1()0)=0,4X0,4X0.5+0.6X0,6X0.5+0.5x0.6x0,4=0.38,

P(X=200)=0.4X0,6X0.5+0.4x0.5x0.4+0.6x0.5x0.6=0.38,

P(X=300)=0.4x0,6x0.5=0.12,

.•.X的分布列如下：

X0100200300

p0.120.380.380.12

X的期望4X)=38+76+36=150.

20.(12分)如图，在三棱台ABC-DEF中，已知平面ABED1平面BCFE,BALBC.

8c=3,BE=DE=DA=-AB=\.

2

(1)求证：期平面8CEE;

(2)求平面CO/与平面力火所成角的正弦值.

【解析】

(1)证明：在等腰梯形力8£。中，过£作EG1于点G,

BG^-，:.NBEG=30。且EG=也,AG^-,ZAEG=60°,

222

:.乙4EB=90°,AEVBE,

平面ABED1平面BCFE,平面ABEDA平面BCFE=BE,4Eu平面ABED,

AELBE,：.AELW^BCFE.

(2)•.•AELW^BCFE,/.AE1BC,又：BC1BA,•/AE[yBA=A

:.BCABED,•••5Cu平面N8C，，平面/8C_L平面N8ED,

(■>.(\

如图建系，则。(3,0,0),。0,不一,E0,-,^-,40,2,0)

2222

\7\

,而=(|,0,0

设平面CO"与平面,4EE的一个法向量分别为〃I=(网,乂,马),〃2=(x2,y2,z2)

,3V3_

-3x.H—y,H---z,=0

.<322=>4=(2,3,V3)

--y2+—z,=0

2''2=心(0,1,两，

—x,=0

2

设平面CD尸与平面/E/所成角为。,

2=3,sin”也

/.|cos0|=“•巧

同可4.244

22

21.(12分)在平面直角坐标系X。，中，过点P(-2,0)的直线/与曲线C:：-2=1的左支

ab」

交于48两点，直线。力与双曲线C的右支交于点。.已知双曲线。的离心率为0，当直线/

与.v轴垂直时，忸。|=拒»卸.

(1)求双曲线。的标准方程；

(2)证明：直线8。与圆。:/+/=2相切.

【解析】

(1)当/_Lx轴时,A(-2,y0),B(-2-y0),D(2,-y0)

此时,忸。|=4,卜5|=2闻,S\BD\=y[2\AB\=>4=272|y0|=>|y0|=72,

,/e—V2,=V2,c=y/2a,b—a,

a

•.7在双曲线三一4=1上n=—-,=lna°=2,a=6,

a'b-a-a-

.•.双曲线。的标准方程为：三-三=1.

22

,2

(2)方法一：•・,4。关于原点对称，二LF=1

设48方程：X=my-2,4(演,乂).8(%,％),kBD=

x=mv—2

«,=>(m~—1)v2—4my+2=0,A=8/n~+8

x2-y2=2

8。方程：y=m（x-x,）+y2,。到3。距离d=也胃岗,不妨设为＜。，

yjm2+1

-m（my2-2）||（1—/n~）j/2+2/??|

J〃广+1\m~+1

_4m+\/Sm2+82m+,2〃广+2

而％=---3-------=-------；--------

2（〃/一1）nr-1

.・.d=0=/・，.・.8。与。。相切.

方法二：设直线48的方程为x=〃9一2,方苍,必）,例生为），。（一4一乂），

x=my-2八,Ic,c

<-1）广一4〃9+2=0,△=16〃厂一8（〃广-1）=8〃7~+8

厂—=2•

,y+y.工口二y1+y>/、乂+歹，X|JS-x）凹

kpD=…7,，台。方程为y~」（x—，）+%=」~」x+」^——

X2+X]X]+X2~X]+x2x}+x2

4〃7

而止匕=一5—=—广」—=也」〃,

X1+X2my{-l+my2-l64/〃<4

nr-I

（〃*—）乂一。叫一）凹

而任二支L22

一+》2tnyx-2+my2-2

20J〃/+1

2-

1+nr4亚/〃/+1

2（必一外）=y/ly/nr+1

〃?（乂+先）一4Am.-4/7/2-4（1一〃?2）

m•门-4

.•.o到直，线8Q的距离d=吟"〃一+1，

71+»r

.•.髅8。圆0:*2+/=2相切.

22.(12分)已知函数/"(x)=e-Lx3(。为非零常数)，记，M(X)=/；；(x)(n€N),

6

X)(x)=/(x).

(1)当x>0时，/(x)20恒成立，求实数。的最大值;

(2)当。=1时，设g”(x)=£〃x)，对任意的〃23,当x=f“时，y=g,,(x)取得最小值，

i=2

证明：8,&,)〉0且所有点区苗,,(。))在一条定直线上；

(3)若函数工(x)J(x),/；(x)都存在极小值，求实数”的取值范围.

【解析】

1(、

(1)由/(x)20,x>0=>e'——ax'>0^>a<--

6\XJmin

企//,6ei,ev-x3-3x2-eveA(x-3)

令〃(x)=F,h(x)=6-------------=6----4-，

XXX

6232e32e3

在(0,3)上'；(3,+00)上/,h(x)min=h(3)=—=^―,

3

即"的最大值为《2e•・