江苏省泰州2022-2023学年高三上学期第一次月度检测数学试题(解析版)

2022-2023学年秋学期高三年级第一次月度检测试卷

数学学科试卷

一、单项选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分)

1.已知集合4={1,2,3},8=―40,xez},则478=()

A.{1.2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.(0,1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

化简集合B,利用并集概念及运算即可得到结果.

【详解】

由题意可得：8={x|140,xez}={l,2}

又4={1,2,3}

A^JB={1,2,3}

故选:C

2.已知复数z的共挽复数彳=211,则复数z在复平面内对应的点位于()

3-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【丁农】D

【解析】

【分析】由复数的运算法则计算后根据共挽复数概念得z,再由几何意义得对应点坐标，从

而得结论.

2+i(2+i)(3+i)5+5i11.11

【详解】♦]＜幺«=-^=丁+；】，故2=L-上〃在复平面内对应的点

3-1(3-i)(3+i)102222

为位于第四象限.

故选：D.

3.某圆锥体枳为1,用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到•个圆台，若网台上底面和

下底面半径之比为:，则该圆台体积为（）

A.-B.-C.jD.—

8422

【：一】A

【解析】

【分析】设小锥体的底面半径为『，大锥体的底面半径为2,•，小锥体的高为6,大锥体的

高为为2〃，通过表示大网锥和小圆锥体积，作差可得圆台体积.

【详解】设小锥体的底面半径为『，大锥体的底面半径为2r,小锥体的高为〃，大锥体的

高为为2〃，

则大圆锥的体积即为1万（2r）2lh=1,整理得1万八•/»=,，

338

即小圆锥的体积为4

8

17

所以该园台体积为1一-=±

88

故选：A.

4.埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他城出名的工作是计算了地球（大

圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进

该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天

顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.

埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度

算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）

亚历山大城

41200千米D.42192千米

[1B

【解析】

【分析】由题意可将赛伊尼和非历山大城之间的距离看作圆心角为7.2的扇形的弧长，由

此可计算地球半径，进而求得地球周长.

【详解】由题意可知，赛伊尼和亚历山大城之间的距离可看作圆心角为7.2的扇形的弧长,

72

设地球半径为r,则5000x157.5=上兀-八

180

1on

地球周长为2^=2x5000x157.5x——=39375000（米）=39375（千米），

7.2

故选：B.

5.已知等比数列｛““｝的前”项和为S"，若S=4,$6=12,则用=

A.32B.28C.48D.60

答案D

6.在三梭锥P-48C中，A/IBC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC,E,尸分别是4，

/1B的中点，且CELE/L则三棱锥P-48c外接球的表面积为（）

A.6冗B.12”C.24乃D.36”

【答案】A

【分析】

取/JC中点。，连接也、80,根据线面垂宜的判定定理，可证，CJ.平面以过，即可得

P8J-/C,结合题意，根据线面垂直的判定及性质定理，可证同理P3J.PC,

将尸-亚补成一个正方体,根据条件，求得正方体边长，根据正方体体对角线为外接球直

径，即可求得外接球半径r,即可得答案.

【详解】

取4C中点。，连接P0、BQ,如图所示

因为我=PC,0为/C中点,

所以FQL/C,

又A/8C是正三角形,

所以801./1C,

又户。080=。，PQ,8Qu平面8PQ,

所以4CJ.平面BPQ,乂P8u平面BPQ,

所以尸81/C,

因为E,尸分别是4,48的中点

所以EF为AP48'11位线，所以EF//PB

又因为EF_LCE,所以P8_LCE,且CECMC=C,AC,CEu平面P/1C

所以户8_L平面PAC,

所以PBJ.PH,同，PS1PC.

则R4,PB,PC两两垂克

如图将尸-3C补成一个正方体,如图所示,

由题意得：AB=AC=BC=2,则P，=PB=PC=e，

又正方体的体对角线为外接球的直径，

所以外接球半径〃=匝y+g2+曲?=旦,

22

所以S=4/rr2=6万，

故选：A.

【点睛】

解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定、性质定理，并灵活应用，对于侧楂两两垂宜的三棱

锥，外接球即为所在正方体的外接球，考杳空间想象能力，属中档题.

7.如图，在矩形48CZ）中，AC,8。相交于点O,BFA.AC,DHLAC,AELBD,

CG1BD,BE^——BO^则丽=（）

2

B.士正B1+匕反而

210

C.与加察更D.土虫拓+正前

25

【；*案】D

【解析】

【分析】利用平面向盘的线性运算和平面向城基本定理即可求解.

【详解】解：：砺=叵1■方。，显然BE=DG,BO=OD=~BD,

,BF=BA+AF=BA+^Ad=BA+^(Bd-BA)=^^BA+^-Bd，

2222

，丽=泊"+立方6，

25

故选：D.

8.设。二e。02-1，力=2(e°"-1),c=sin().01+tan0.01,则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【详解】

因为〃一6=6。°2—26°°1+1=卜°3—1)2>0,所以。>6.

设/(x)=2(ex-l)-sinx-tanx,

则/'(x)=2ex-cosx------,

cosx

A/\\ntl〃、、r2sinA；

令g(x)=/(x),则g(x)=2ec+smx-----厂.

COS"X

山(八兀\一八2sinx2sin68G

当xe0,丁卜忖，2cx>2,sinv>o,----—<-------=-7--<2,

k6Jcos'cos3n9

6

所以g'(x)>o,所以当T。总时，/'(x)>/'(0)=0,

所以/(x)在xw(o*)上单调递增，

从而/(x)>/(0)=0,

因此〃0・01)>。即6>c.

综上可得"6>c.

故选：A

二、多项选择题(共4小题，每题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，共

20分）

9.设更数ZI=v/5+i,z2=x+yi(x,yeR),4名对应的向量分别为OZ；,QZ；(。为坐标原

点)，则()

A.IZ||=2B.若0Z；〃QZ；,则Gx+y=O

C.若0Z；J_OZ；,则ZR=OD.若匕+zpG，则|z「2i|的最大值为3后

【答案】AD

I解析】

【分析】

对A，根据模长公式求解即可：

对B,根据向量平行的坐标公式求解即可：

对C,根据向量垂直的坐标公式求解x，>的关系，再求解ZR即可；

对D,根据复数的几何意义数形结合求解即可

10.已知函数/(x)=2sin(0x+?[(0>O),则下列说法正确的是()

A.若函数/(x)的最小正周期为万，则其图象关于直线x=；对称

O

C.若函数/(X)在区间(0,小上单调递增，则0的最大值为2

D.若函数/(x)在[0、2司有且仅有5个零点，则。的取值范围是好(年

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据最小正周期可以计算出0,便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项：根据正弦型

函数的单调性可以推出。的值，可判断C选项：根据零点情况可以求出。的取值范围，可

判断D选项.

【详解】

A选项：./(x)的最小正周期为万

Csin（2-*+q）=及sing=及，故A正确：

B选项：•・•/（、）的最小正周期为期

.­./W=V2sin^2.^+^=V2sin|=x/2^0,故B错误；

「>u.5r；八KK7t7tJT

C侬项1：0<x<一/.一<ox+—<—。+—

84484

又函数/（X）在（（）,*）上单调递增

nn,汽

:,—0+—W—

842

:.a）<2t故C正确；

D选项：'.ex€[0,2n\O）X+—G—,2^tw+—

4L44

又/（x）在[0,2句有且仅有5个零点，则54«29+£<6耳.・.：4切<勺，故D正确.

488

故选：ACD

11.如图，在三棱锥力-8C0中，48JL平面8C。,8cl.cD,B£JLXC,E为垂足点，F为BD

中点，则下列结论正确的是（）

A.若4c的长为定值，则该三楂锥内切球的半径也为定值

B.若/。的长为定值，则该二棱锥外接球的半径也为定值

C.若8。的长为定值，则£尸的长也为定值

D.若CO的长为定值，则前.C力的值也为定值

【答案】BCD

【解析】

I分析】

对于A,将三楂锥补形成长方体，易知该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，为外接

球的直径，即可判断；对于B,假设内切球的球心为。，通过图形特征假设两种情况，保持/C

的长样，求出各自情况的内切球的半径即可判断；对于C和D,建立空间直角坐标系进

行向量的坐标运算，即可判断

【详解】

解：对于A.将三棱锥补形成长方体，易知该三极锥的外接球即为长方体的外接球，

所以为外接球的直径2&,所以该三极锥外接球的半径也为定值，故正确；

对于B.因为461.平面BCD,CD,BDu平面BCD,所以ZB_LCD,AB±BD,

因为8C_LCD,BCc48=43C,48u平面ABC,所以8_L平面，/C,

因为，Cu平面,48C,所以CO_L/C,

假设内切球的球心为O,第一种情况不妨假设4C=5,AB=3、BC=4,CD=4,8。=4及，此时

内切球的半径为不根据/Ie=^O-MC+^O-ABD++K）-BCU>

即3*S.BCOxAB=xr\+S",。xz；+5x5,48xr\+§*S*acax（>

—x4x4x3=ix3x4x/j+^-x3x4'72xz;+^x5x4x^+yx4x4x/^,

解得a=上箸；

第二种情况不妨假设力C=5/8=3,BC=4,CD=3,BD=5,此时内切球的半径为々,根据

^A-HCD=ABC+%-.他）+匕）-心）+^O-BCD>

即JXS*BCDX4B=—XS'ABCX弓+5xSAABDX&+5XS“CD'G+§*SABCDX弓,

—x4x3x3=-x3x4xn+—x3x5xr,+—x5x3x>\+--x4x3xn

222222222

2

解得4=(,综上所述，当/C的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故错误;

对于C和D,以C点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

假设"=2c,8c=2b,CD=2a,则忸。|=《⑻+(2”=2V7+F,

C(0,0,0)M(0,242c),B(0,2b,0),D(2a,0,0),尸(。4,0),则B=(0,2b,2c),

因为E在XC上，所以设E((),£-2b,h2c),则布=(O,(0l)3,h2c)

因为8E14C,所以

所以豆瓦5j=(A_l)(%y+M2c)2=0,解得

b~+/

所以的,羔高

一(b(c2-/>2)乃21一/

所以"a,4_，CD=2^0,0),

b~+cb+c

\/

则府卜卜+笔察彳-晶［="彳号|到，EFCD=2a^

所以当8。的长为定值时，EF的长也为定值：当C。的长为定值，则前.函的值也为定值,

故C,D正确，

故选：BCD

12.设“eV,正项数列区｝满足&e(0,l),.qX,“-x/nx,=l,下列说法正确的有()

A.A为上｝中的最小项

B.4为卜,｝中的最大项

C.存在w“OJ),使得如2,三成等差数列

D.存在占e(0.1),"eN,，使得％x““,x,“2成等差数列

【答案】AB

【解析】

【分析】

由=1可得当“=’+lnx,,，故构造/(x)=L+lnx,利用导数求其单调性，

XnX

不难发现巧是最小的项；在构造g(*)=/(x)-x=g+lnx-x,为了比较4之后每一项与前

一项的关系，发现演是最大的项，易得BCD选项的对与错

【详解】

解：由毛鹏“一玉/乙=1可得%.产一+lnx”

Xn

令/(x)=-+Inx,f\x)=—r-*—=—5-

xx~XX

当x・.l/(x)>0,/(幻递增：

当XV1J(X)VO,/(X)递减

且/(I)=l+lnl=/(x).J

「Xiw(0,1),.•.,=/(』)>1,勺=/(电)>1,L二芭是最小的项:

所以A正确

令g(x)=/(JV)-X=—+lnx-x,x.J

X

，,、11i—12+工—1

g(x)=--r+-1=------2—<0，

XXX

在区间内递减，即即&<.

•••g(N)g(x1,0,.,.X.-x2<0.q<x2；xA-x3<0

所以，综上所述，々是最大的项，所以B正确，

由于王是最小的项，%是最大的项，则不可能使得芭,与小3成等差数列，故C错误；

由C知，阳户2肉不成等差数列，当〃？2时,

因为所以g(x“+J>g(x“)，则」一一ln/一怎,

Xn

Xf-xQ.y,所以不存在*x“.i，5.2成等差数列，故D错误

故选：AB

三、填空题

13.过点(1,2)作直线3x+4歹-25二0的垂线，则垂线方程为.

答案：y=-x+-

33

41

14.已知a+2力=1(a,6>0)»则----+；的最小值为

a+bb

【答案】9

【解析】

【分析】

根据a+2b=l,利用"V的代换，将，47+:1转化为

a+bb

---7+7=+/(Q+6+6)=5+--I---»利用基本不等式求解.

a+bh\a+bb)a+bb

【详解】

因为a+2b=l,

所以a+b+6=1,

LUI、I4I(41Y,-4ba+b__/4ba+b.

所以---+—=----+—(a+b+6)=5+----+----25+2J----------=9,

a+bb(a+bb)a+bbNa+bb

当且仅当々=坐，即a="=!时，取等号.

a+bh33

所以一4二+；I的最小值为9.

a+hb

故答案为：9

15.将函数y=3sin(2x+J)的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的

46

对称轴的方程是▲.

c7t7t...7、7兀k,7T..7、

2x.......——卜k兀(kGZ)x—------1------(kwZ)

122242

当％=-1时x=一把.

24

故答案为：x=———

24

16.已知〃x)是定义域为R的函数，/。-2)为奇函数，/(2%-1)为偶函数，则

16

£/(n=—.

[?；-«]0

【解析】

【分析】依题意可得/(X)关于直线x=-l对称、关于点(-2,0)时称且时周期为4的周期

函数，再求出/。)+/(3)=0、/(2)+/(4)=0,即可得解.

【详解】解：因为/(2x-l)为偶函数，所以/(-2x-l)=/(2x-l),所以

/(-x-l)=/(x-l),ap/(-x-2)=/(x),则/(x)关于直线X=-1对称，

因为/(x-2)为奇函数，所以/(x-2)=-/(-x-2),所以/(x)的图象关于点(-2,0)对

称，

所以/(x-2)=-/(-x-2)=-/(x),则/(x-4)=-/(x-2)=/(x),所以/(x)是

周期为4的周期函数，

由/(x-2)=_/(-x_2)=_/(4-x-2)=-/(2-x),即=,所以/(x)

为奇函数，

又/(X)是定义域为R的函数，所以/(o)=o，

在/(x-2)=-/(x)中，令x=-l,所以/(-3)=-/(-1)=."1)=-〃3),

所以/0)+/(3)=0，

在〃x-2)=/(-x)中，令x=-2,所以/(-4)=/(2)=-/(4),

所以/(2)+/(4)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,

16

所以Z/⑺=/(°)+4[/⑴+/(2)+〃3)+/(4)]=0.

/=0

故答案为：0

17.(本题满分10分)

已知直线(l-a)x+(l+")N+3a-3=0(aeR).

(1)求证；直线经过定点，并求出定点P：

(2)经过点P有一条直线/，它夹在两条直线4：2x-y-2=O与/2：x+y+3=O之间的线段恰

被P平分，求直线/的方程.

17.(1)证明：将直线/的方程改写为(-x+y+3”+(x+j-3)=0,

令-x+y+3=0,且x+y-3=0,

两式联立，解得x=3,N=0,

所以直线过定点尸(3,0).

(2)设直线/夹在直线4,右之间的部分是且被尸(3,0)平分，

设点X,B的坐标分别是(公,yj,(x2,yj,

则有为+3=6,必+必=0，

又8两点分别在直线总％上，

所以2为一必-2=0,电+必+3=0,

由以上四个式子解得X,*,M=与，

所以直线48的方程为8x-y-24=o.

18.(本题满分12分)

已知向ift«=,h=(sinx,cosx)>f(x)=a•b.

2cos2-sin/7-1

2

若求的值;

（1）/（e）=o,V^sin(e+

⑵当xw[O/]时，求函数/*）的值域.

18、(1)因为4=(1,—6),b=(sinx,cos.r)>

所以/(.r)=«-^=sinx-V3cosx♦因为/⑻=。，

所以sin。一百cos0=O，所以tan0=\^..................................................................................2分

28st-sin〃-lcosO-sin。

___________1-tan，_"百__2+G

所以6分

&sin|e+：sinO+cos0-tan/9+1-\[^+\

(2)/(.V)=sinx->/3cosx=2sin^x-yj,......................................8分

因为xe[0,/r],所以4一枭-py

当刀一（=一（，即x=0时，/（x）取最小值一百;

当耳嗫即X哼时，制取最大值2.

所以当xw[0"]时，函数/（x）的值域为[-6,2]............................................12分

19.（本题满分12分）

在A4SC中，角48,C的对边分别为a,6,c,且a-bcosC=JJcsin8.

⑴求8；

（2）若a=2,且为锐角三角形，求A/l8c的面积S的取值范围.

19.(1)解：：a-bcosC=V5csin8,

ill正弦定理可得：sinA=V3sinCsin8+sin8cosc,

又;sinA=sin(8+C)=sin8cosC+cosAsinC,

•*.V3sinCsin8+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC，即:GsinCsinB=sinCcosB.

■：B,Ce(0,^)»smC#0,

；.tanB金,即8=£

36

B=-

6

(2)解：AABC为锐角三角形,所以■OvCv],解得

0<----C<—

62

2b_c

由正弦定理得，-———，即.,5r、J_sinC»

smAsmCsm(-^-C)

62

sinC

1~,

-cosC+——sinC

22

1IG

2tanC2

/tanC>tany=V5,

士r哈咨

2tanC2

的面积S的取值范围为

20已知数列｛/｝满足

«,=1,%=；,[3+(-1)"K(,-2a„+2[(-1)"-1]=0”N，.

(1)令2=的,1，判断｛"｝是否为等差数列，并求数列｛a｝的通项公式;

(2)记数列｛%>｝的前2n项和为求

解:因为[3+(-1)"肛*2-2a,+2[(-1)"-1]=0,

所以[3+(-I)3"-1+2[(-1产」-1J=0,

即的i=2,

又2=出“」，所以4“一”=2,所以｛4｝以1为首项，2为公差的等差数列。

所以a=2〃-1。

(2)当n为偶数时，

1

=以

可得q一2a=1为首项，L为公比的等比数列,

22

当n为奇数时，

可得出”.「%1T=2,所以｛七2｝以4=1为首项，2为公差的等差数列，

所以1

凡=(q+%+…+*)+(%+4+,,,+生■)="2+”环

21如图，在三棱台ABC-4BC中，底面A48c是等腰三角形，且BC=8,

AB=AC=5,0为BC的中点.侧面BCCE为等腰梯形，且BG=CC、=4,M

为4G的中点.

(I)证明：平面ABCL平面AOM；

⑵记二面角A-BC-B,的大小为。，当时，求直线BB、与

平面A^C,C所成角的正弦的最大值.

c,

l解答】(1)证明：•••&4BC是等腰三角形，O为BC的中点，

：.BC1AO,

,侧面BCC\B\为等腰梯形,M为B\C\的中点,

:.BCLMO.

"：MOOAO=O,MO,AOcmAOM,

平面XOM,

'：ABC,

平面/IBC_L平面/aw.

(2)解：在平面HOM内，作ONJ■。4

・平面4BCJ■平面平面/8CC平面ONu平面/fOW,

.♦.ONI平面ABC.

以08,OA,ON分别为x轴、y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

,：MOA.BC,AOLBC.

.•.乙4。”为二面角A-BC-B\的平面角，即乙4。M=9,

：.A(0,3,0),B(4,0,0).C(-4,0,0),M(0,2愿cos。，2V3sin0),Ci(-

212V3cos0.2A/§sinQ)>B\(2.2V3cos0(iVSsinfl).

设平面