江苏省宿迁市沭阳县2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析

2021〜2022学年度高二第二学期期中调研测试

数学试卷

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.若向量”=（L2,—2）,”=（一2,-4,4）,则向量。与匕的夹角为（）

7t2n

A.0B.—C.—D.TC

23

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.

【详解】设向量q与人的夹角为。，且0W6V乃，

a_ab_-2-8-8-is

所以，COS忖堀yj\-+^+（-2）2X7（-2）2+（-4）2+42=3^6="1'

所以，0=71

故选：D

2.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）

A.34种B,下种C.3x2x1种D.4x3x2种

【答案】A

【解析】

分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.

【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有3x3x3x3=34种方法.

故选：A.

-1-

3.在四面体O48C中，£为。1中点，CF=mCB,若。A=a,OB=b'OC=c，则EF=（）

11,211,4C+"c11,2

A.一a——b——cB.——a——b+~cD.——a+—b+—c

233233233233

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算即可求解.

【详解】EF=EO+OF=--OA+OC+CF

2

11

=--OA+OC+-CB

23

^--OA+OC+-(OB-OC\

23、'

11.2

=——a+—b+—c.

233

故选：D

4.19.+19被9除所得的余数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由于199+19=(18+1)|9+19,所以将其展开后可求出结果

【详解】19|9+19=(18+1)19+19

I9I8I7

=C°918+C；918+C^18+---+C^18+C^+19,

因《9困9+€：：91瞟+(418"+…+C：；18能被9整除,

所以19必+19被9除所得的余数等于C%+19被9除的余数，

因为C；；+19=20除以9余2,

所以19"+19被9除所得的余数是2,

故选：C

5.三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2,ZBAD=90°,ZBAC=60°，则等于()

A.-2B.2C.-2>/3D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析

CD^AD-AC:.ABCD=AB-^AD-AC)=ABAD-ABAC=0-2x2xcos60=-2

考点：平面向量数量积的运算

6.疫情期间学校采用线上教学，上午有4节课，一个教师要上3个班的网课，每个班1节课，若不能连

上3节，则这个老师的课有()种排法.

A.3B.6C.12D.18

【答案】C

【解析】

【分析】使用插空法，先排3个班的网课，然后在两个空位中插入一节课.

【详解】将该教师3节课排成一列，共有种排法，再在3节课产生的两个空位中插入一节课有2种

方法，所以该老师的课共有2A；=12种排法.

故选：C

7.已知「是_43。所在平面外一点，M是PC中点，且8例=xA8+yAC+zAP,则x+y+z=

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可.

【详解】因为M是PC中点，

：.BM=PM-PB=^PC-^AB-AP^=^AC-AP)-^AB-AP

11

=-AB+—AC-i—AP,XBM='xAB+yAC+zAP?

.­.x=-l,y=-,z=-,

22

y+z=0.

故选：A.

8.已知。4=(1,2,3),0B=(2,1,2),QP=(1/,2),点Q在直线0P上，那么当QAQB取得最小值时，

点。的坐标是()

门、、

A，匕f131A彳B.匕'32'W1J)C-［(了448(447

【答案】C

【解析】

【分析】

设。(x,y,z),根据点。在直线。尸上，求得Q(4Z2/l),再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得

4一

九=§时，QAQB取得最小值，即可求解.

【详解】设。*,y,z),

由点。在直线0P上，可得存在实数2使得0Q=40P,

即(x,y,z)=2(1,1,2),可得2(/1,422),

所以QA=(1一42-4,3-22),Q8=(2—41-人2-2/1),

则QAQB=(l-2)(2-2)+(2-2)(1-2)+(3-22)(2-22)=2(3%-82+5),

根据二次函数的性质，可得当4=一4时，取得最小值-2：，此时。(4二三4,三8).

33333

故选：C.

【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量

积的运算公式，得出关于X的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项

中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

9.给定下列命题，其中正确的命题是()

A.若〃是平面a的法向量，且向量.是平面a内的直线/的方向向量，则夕〃=0

uUU一—

B.若%,%分别是不重合的两平面a,△的法向量，则•%=0

C.若荒，2分别是不重合的两平面a,夕的法向量，则a///o,•%卜同加1

D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，由线面垂直的定义可判断正确；

B选项，两平面平行，则它们的法向量平行；

C选项，两平面平行，则它们的法向量平行；

D选项，两平面垂直，则它们的法向量垂直.

【详解】对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平

面垂直，所以a_L〃，•••“・〃=()，A正确：

对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；

对于c选项，两平面平行，则它们的法向量平行，.•.(/,%)=0或万•••门•久卜81|〃2|，C正确；

对于D选项，两平面垂直O它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂

直，D正确.

故选：ACD.

10.若工5=的+〃］(1+x)+。2(l+x)2+…+〃5(l+x)5,其中Qo，⑶，④，…，为实数，则()

A.%=1B.。］+。2+…+。5=1

C.。1+。3+。5=-16D.4+%+2/+3«3+4。4+5。5=-1

【答案】BD

【解析】

【分析】运用赋值法，结合导数的运算逐一判断即可.

【详解】在2=〃0+。1(l+x)+。2(l+x)2+.・・+。5(1+x)5中，

令工二一1,得〃o=T，故选项A不正确；

令X=0,得〃0+。］+42++。5=0，而。0=-1，

所以4+生++%=1(1)，所以选项B正确；

令x——2,得％—%+%—%%一=—32=>—4+Q,—+—〃5=—31(2),

(1)-(2),得2(4+〃3+〃5)=32=>4+/+%=16,因此选项C不正确；

对工5=40+01(1+X)+〃2(1+X)2+...+怒(1+%)，左右两边求导，得

5x4=6+2%(1+元)+3%(1+尤产+4%(1+X)3+5%(1+X)4,

令x=0,得。=4+2%+3a3+4%+5%，而/=-1,

所以4+6+久，2+3%+44+5。5=-1,因此选项D正确，

故选：BD

11.现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（）

A6

A.若甲乙丙顺序固定，共有1•种站法

£

B.若甲乙必须站在一起，共有A；A；种站法

C.若甲乙不站在一起，共有A：A；种站法

D.若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有C：C：C；A；种分法

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据选项当中的情况，逐个选项采用合理的排列方法进行求解即可.

【详解】对于A,对于某些元素顺序固定的排列问题，可将所有元素全排列，然后除以顺序固定的几个

元素的全排列，甲乙丙顺序固定，即先对6个志愿者全排列，再除以顺序固定的甲乙丙3个志愿者，所

以，共有冬种站法，所以，A正确；

对于B,某些元素要求必须相邻时，可将这些元素看成一个，然后与其他元素排列；所以，若甲乙必须

站在一起，共有A；A；种站法，所以，B正确；

对于C,某些元素要求必须相离时，可将其他元素全排列，再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙

中：若甲乙不站在一起，共有A：A；种站法，所以，C正确；

对于D,若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有C：C：C；利吩法，所以，D错误.

故选：ABC

12.已知正方体ABC。一A耳GA的棱长为1，。,。/分别在48（。1,。凡上，并满足

小八

—AP=7C^Q=TD.TR='；—a（0＜。＜1），设AB=i,AO=_/,A4,=3设APQH的重心为G,下列说法正确的

PBQClRA]\-a

是（）

333

n/r（a+12a—1Q—2、，Q+1Q+IQ+1、

RG=［亍，J,DG=I-,--—l,/?G.DG=O-D正确.

故选：AD.

__R________D,

c

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

13.若单位向量e与向量。=（0,1,0），人=（0,0,1）都垂直，则向量e的坐标为.

［答案】（士1,0,0）

【解析】

【分析】设］（x,y,z）,由条件,=1,。二=（）；。=0,可得答案.

【详解】设单位向量工（匚％z）,

由条件eJ_a,e_L/?，则e-a=0,e-/?=0，所以e.a=y=0,e./?=z=0

又卜|=Jf+y2+z2=册=1,解得x=±l

所以工（±1,0,0）

故答案为：（±1,0,0）

14.现将6个相同的小球放在3个不同的盒子里，每个盒子至少一个，共有种放法.（用数字作

答）

【答案】10

【解析】

【分析】利用隔板法求解，问题相当于6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3

部分即可

【详解】由题意可得，6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分，

则共有C；=10种放法，

故答案为：10

15.已知f(x)=(1+x)"'+(1+x)"(根挝N',〃N*),/(x)的展开式中含x项的系数为13,则当"?=

,含/项的系数取得最小值，最小值为.

【答案】.6或7##7或6D.36

【解析】

【分析】先由二项式的展开式的通项公式可得出加+〃=13,分当加，〃中有一个为1和当加，”都大于或

等于2进行讨论，从而得出答案.

r

【详解】(1+x)”'展开式中通项公式为：Tr+X=C；nx,则含X项的系数为

(1+x)"展开式中通项公式为：式川=C",则含X项的系数为C：=〃，

由题意可得加+〃=13口

当〃?,〃中有一个为1时，不妨设〃=1,则机=12,则/(x)的展开式中含炉的项的系数为

C；=金=66，

当机〃都大于或等于2时，则/(%)的展开式中含x2的项的系数为+C；,

2rz_nr+rr-^m+n)

mn2f-2—-2

2

(m+n)-2mn-(m+n)169-13-2/%〃2,-,Q(13丫，143

22I2J4

由于机wZ,当根=7或加=6时，此时含x2的项的系数取最小值36,

综上，当〃?=7/=6或m=6/=7时，含炉的项的系数取最小值为36.

16.设空间向量jj,4是一组单位正交基底，若空间向量“满足对任意的羽)，,卜-血-丁_/］的最小值是2,

则卜+3囚的最小值是.

【答案】1

【解析】

【分析】以i"方向为乐丁轴，垂直于i"方向为z轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐标，由

p+3网的表达式即可求得最小值.

【详解】以i,j,%方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则i=(i,o,o),j=(o,i,o),攵=(0,0,1)

设a=(r,s/)则,-xi-yj|=^(r-x)2+(5-y)2+t2,

当r=X,S=y时,一Xi—的最小值是2,

t=±2

取a=（x,y,2）则a+3Z=（x,y,5）

:Ja+3卬=yjx2+y2+52

又因为x，y是任意值，所以卜+3对的最小值是5.

取a=（x,y,-2）则a+3左=（x,y,l）

|a+3^|=y/x2+y2+12

又因为左丁是任意值，所以卜+34|的最小值是i.

故答案为：1.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

17.计算：

（1）求C；+C：+•••+的值；

人7_人5

（2）若"S"-89,求"的值.

A,

【答案】（1）330（2）15

【解析】

【分析】（1）由组合数的运算公式c：+C：T=£篙连锁运算即得；

“I

（2）根据排列数的计算公式A：=-——-可得.

（〃-m）!

【小问1详解】

（1）原式=c：+c：++c^=c；+c；++C；）

=C：+C；++G%=…=G：＞+G%=C：=330；

【小问2详解】

n\

（2）因为^^=89,所以冬一1=^^一1=^|^—1=（〃一5）（〃一6）-1=89,

大〃！（〃-7）!

（〃一5）!

则〃2-11〃-60=0,解得n=-4(舍)或〃=15,所以n=15.

18.已知£=(3,2,—1),b=(2,1,2).

(1)求(a+〃)•([-2/?)；

(2)求。与〃夹角的余弦值；

(3)当(版+A)_L(a-姐)时，求实数攵的值.

【答案】(1)-10(2)-

7

32

(3)%=-或——

23

【解析】

【分析】(1)根据空间向量的坐标运算律，即可求解.

(2)根据空间向量的夹角公式，代入求解.

(3)由(版+6)_L(a-妨「转化为数量积为0即可.

【小问1详解】

(a+/?).(a-2Z?)——(5,3,1)■(-1,0,-5)=-10；

【小问2详解】

,a-b6\/\4

cos<a,b>=-....-=—===-=------；

\a\-\b\V14x^7

【小问3详解】

当(%a+〃)JL(a-A:h)时，(左4+))・(4一％。)=0,得(3A+2,2Z+1,—&+2)-(3—2七2—七一1一26=0,

32

(3&+2)(3-2幻+(2%+1)(2-％)+(-&+2)・(一1-2&)=0,k=-^-~,

23

19.某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生.

(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？

(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？

(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？

【答案】(1)64；(2)128；

(3)51.

【解析】

【分析】（1）利用分步原理即得；

（2）利用先选后排可求；

（3）先分类再分步即得

【小问1详解】

利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有C；C；=64种不同的的选法；

【小问2详解】

先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有C；C；A；=128种不同的的选法；

【小问3详解】

先分类再分步：第一类：甲组1男生：C；C；C；=15,第二类：乙组1男生：C；C：C；=36,

则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.

20.如图，在正方体ABCD-ABCR中，。是正方形ABCO的中心，〃是的中点.

（1）求证：OM是平面的法向量；

（2）求4G与平面ABO所成角的余弦值；

（3）求二面角A-A3—。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵同

3

⑶—

3

【解析】

【分析】（1）（2）（3）设正方体棱长为2,建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得;

【小问1详解】

解：设正方体棱长为2,如图建立空间直角坐标系力一孙z.

zt

3

/\z

0(1,1,0),M(0,2,1).・.0M=(-1,1,1),

又8(2,2,0),D(0,0,0)，A(2,0,2),.•.AB=(0,2,-2),BD=(-2,-2,0)

所以0^43=—lx0+lx2+1x(—2)=0,OMBD=-lx(-2)+lx(-2)+lxO=0

即OM_LAB,OMLBD>又％BcBD=B,AB,B£)u面48。，

OM_L面48。，所以OM是平面ABD的法向量.

【小问2详解】

解：4(2,0,2),C,(0,2,2),/1,0,=(-2,2,0),

又由(1)知平面48。的法向量OM=(T』,I)□设AG与48。所成的角为e,

I^Cj-OM\2+22「兀1i______R

所以sin。=j-----j—；-----7——^—=——=,因为。£0,—,则cos，=J1-sin?0=——>

四卜皿V8V3V6L2J3

即4G与平面ABD所成角的余弦值是昱.

3

【小问3详解】

解：在正方体—中，ADJ/lSAAf,

.•.AO是面AAf的法向量，又A£>=(2,0,0),

wADOM-2百

阿OM|V3X23'

由图可知二面角A-AB-D为锐二面角，设为a,

所以sina=j一cos?(AD,OM)=当，

所以二面角A-AB-。平面角的正弦值为逅.

3

21.在（4+壶）”的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.

（1）证明：展开式中没有常数项；

（2）求展开式中系数最大的项.

【答案】（1）证明见解析

7117o

（2）第二项和第三项一炉

33

【解析】

【分析】①根据二项式展开式的二项式系数，根据成等差数列列出方程，进而解出〃=7,然后求出展开

式中通项，假设有常数项，进而得到矛盾.

②假设第什1项系数最大，根据（乎好2（；产和（g）'c号《厂G"，解出厂的范围，进而可求解.

【小问1详解】

证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为C，c；,c；依次成等差数列，.•.2C；=C+C；,

2x-----=n-\-------------------,

23x2x1

«2-9M+14=0,（«-2）（«-7）=0,n=2（舍）或〃=7.

“11?-王73厂id

二项展开式中第厂+1项加=/（五产（T=）'=（*GX24,令=o,

3yJx3243

所以展开式中没有常数项得证.

【小问2详解】

由（1）知二项展开式中第一+1项的系数为（$'3,设第一+1项系数最大，则（g）'G2（g）川c;+1且

--1--11—---1-

7r+1

化简得<1T；=>i<r<2,

3r-8-r

H7

又•〃£N.7=1或2,则展开式中系数最大的项是第二项,7户和第三项二

33

22.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABC。是平行四边形，PALAD，PB=2有，AB=2,

~4=3C=4,NABC=60。，点E是线段BC上的动点.

(1)当E为8C中点时，求证：平面PAE，平面曲；

(2)求点8到面PC。距离；

(3)若点M是线段以上的动点，当点E和点M满足什么条件时，直线ME//面PCD

【答案】(1)证明见解析

⑵心

7

(3)AM=BE*4

【解析】

【分析】(1)先在平面A8CD内证明钻，即，在证明B4_L平面ABCQ，得到DEJ_A4,从而得到

DEJ.平面PAE，使问题得证.

(2)由A8//平面PCO,则点8到面PCQ的距离等于A到面PCD的距离等.过点A作A”_LPC交

PC于点、H,则AH_L平面PCD，即AH为A到面尸8的距离等，由等面积法可求得答案