第四章导数应用小结

微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理＝>罗必荅法则泰勒中值定理函数作图若f

(x)满足：f

(

x)

˛

C[a,

b];f

(

x)

˛

D(a,

b);f

(a)

=

f

(b).则至少$一点x

˛

(a,b),使

f

(x)

=

0.y

=

f

(

x)bxy0

af

(a)x注：(1)f

(x)˛

C[a,b];表示f(x)在[a,b]连续.(C:Continue)(2)f

(x)˛

D(a,b);

表示f(x)在(a,b)可导.(D:Derivative

)几何意义：满足定理条件的曲线在(a,b)内存在与x轴至少有一实根平行的切线，f

¢(x)=0罗尔定理拉格朗日(Lagrange)中值定理x1x若f

(x)满足：f

(

x)

˛

C[a,

b];f

(

x)

˛

D(a,

b);则至少$一点x

˛

(a,b),使,b

-

abxo

ayAy

=

f

(

x)BCDf

(x)=

f

(b)

-

f

(a)或

f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a).几何意义：满足定理条件的曲线在(a,b)内必存在切线，其斜率为f

(

b

)

-

f

(

a

)

,b

-

a柯西(Cauchy)中值定理1g(x

)2X

X

=

g(

x)Y

=

f

(

x)o

g(a)Ag(x

)

g(b)BCD则至少$一点x

˛

(a,b),g(b)

-

g(a)使得

f

(b)

-

f

(a)

=

f

¢(x)g¢(x)成立.若函数f(x),

g(x)满足f

(x)、g(x)˛

C[a,b];f

(x)、g(x)˛

D(a,b),且g¢(x)„0;Yf

(b)f

(a)切线，斜率为f

(b)-f

(a)g(b)

-

g(a)几何意义：满足条件的曲线

X

=g(x)在(a,b)内必存在Y

=

f

(

x)定理（洛必达发则）

设xfi

a

xfi

a(2)在某U

0

(a),f

¢(x)、g¢(x)$，且g¢(x)„0;xfi

ag¢(

x)(3)lim

f

¢(x)存在（或¥

）.xfi

axfi

alim

f

(

x)

=

lim

f

¢(

x)

.g(

x)

g¢(

x)则(1)

lim

f

(

x)

=

lim

g(

x)

=

0(¥

);注：a

可为有限数或¥型未定式解法:洛必达法则0一.0

型及¥¥lim-

13

xxfi

0

etan

x

2ln

xxfi

0+00¥例1

lim

tan

x

2

=

0,xfi

0lim

ln

sin

x

=

¥

,xfi

0+lim

ln

sin

xlim(e

3

x

-

1)

=

0,xfi

0型未定式lim

ln

x

=

¥

,xfi

0+¥

型未定式.二、0

¥

,¥

-

¥

,00

,1¥

,¥

0型未定式解法例9解xfi

+¥求

lim

x

-2e

x

.(0

¥

)xfi

+¥

x

2原式=

lim

e(

)¥¥=

+¥

.的类型.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决0( ),

(

¥

)0

¥¥1.

0

¥

型步骤:

0

¥

10¥

,

或

0

¥

0

1

.x

(

¥

)¥=xlim

exfi

+¥

2

x2xlim

e=xfi

+¥解1sin

x

x-

1

).例11

求lim(xfi

0(

¥

-

¥

)x

sin

xxfi

00(

)0==

0.2.

¥-¥

型步骤:

¥

-

¥

1

-

1

0

-

0

.0

0

0

0原式=

lim

x

-

sin

x

=

lim

x

-

sin

xxfi

0x

2x

2xfi

0

2

xxfi

0lim

1

-

cos

x

=

lim

22

x¥

0

1¥00

0

¥

.取对数

0 ln

0¥

ln1

0

ln¥3.

00

,1¥

,¥

0

型步骤:[f

(x)]g

(x

)=eg(x

)ln

f

(x

)解例12

求

lim

xsin

x

.xfi

0+(

00

)原式=lim

esin

x

ln

xx

fi

0+lim

sin

x

ln

x=

e

xfi

0+xfi

0+

xfi

0+xln

x1xfi

0+lim

sin

x

ln

x

=

lim

x

ln

x

=

lim11(ln

x)2-1xlimxfi

0+=

-

lim

x(ln

x)2xfi

0+0(

)0=例12解xfi

0+求

lim

xsin

x

.(

00

)xfi

0+lim

sin

x

ln

x原式=lim

esin

x

ln

x

=e

xfi

0+lim

sin

x

ln

x

=

lim

x

ln

xxfi

0+

xfi

0+1xxfi

0+=

lim

ln

xxfi

0+1x

2-1lim

x

=

-

lim

xxfi

0+=

0=

e0

=

1.¥(

)¥=例16解求limxfi

¥1xfi

¥原式=lim

1

-sin

x

=lim(1

-sin

x).xfi

¥极限不存在洛必达法则失效.xxfi

¥原式=lim(1

+1

cos

x)=1.注意：洛必达法则的使用条件:

(3)

lim

f

¢(

x)

$g¢(

x).

(

)x

¥x

+

cos

x

¥三、泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor

)中值定理x0

˛

(a,

b),f

(

x)2002!(

x

-

x

)

+

f

(

x

)=

f

(

x0

)

+

f

¢(

x0

)(

x

-

x0

)

+nn!f

(

n)

(

x

)+

0

(

x

-

x0

)+

Rn

(

x)其中Rn

(x)=0n+1(

x

-

x

)(n

+

1)!f

(

n+1)

(x)(x在x、x0之间)f(x)在(a,b)内具有(n+1)阶导数那么"x

˛

(a,b),有nk0

n

0

(

x

-

x

)

+

R

(

x)k

=0

k!f

(

k

)

(

x

)f

(

x)

=R

(

x)nn+1=

(

x

-

x0

)(n

+

1)!称为f

(x)按(x

-x0

)的幂展开的n阶泰勒公式f

(

n+1)

(x)0(x在x、x

之间)定理y

=f

(x)˛

D(a,b),（函数在（a,b）上可导）若对"x

˛

(a,b),有10.f

¢(x)‡0,

则，f(x)

在(a,b)上单调上升函数20.

f

¢(

x)

£

0,则，f(x)

是(a,b)上单调下降函数(

2

)

若"

x

˛

(

a

,

b

)

,

f (

x

)

<

0

,

则

f

在(

a

,

b

)内严格单调减少f

¢(

x)

>

0xyoy

=

f

(

x)abABxyoy

=

f

(

x)abf

¢(

x)

<

0BA定义设f在(a,b)上有定义，如果

x0

˛

(a,

b)

存在d

>

0,"

x

˛

(

x0

-

d,

x0

+

d

)(a,b)，有则称x0f

(

x0

)

>（<）f

(

x),是f(x)的极大（小）值点。f(x)一个极大(小)值。函数的极大值与极小值统称为极值,函数的极大值与极小值点统称为极值点.而f

(x0

)是定义设f是定义在(a,b)上的函数，x0

˛

(a,b)若f

¢(x0

)=0被称为是临界点232例

求y

=

x

-

3x-1由y¢=

2(

x

-

x

3

)＝0，

得x

=

–1x

=0,y¢不存在所以临界点集为{0,1.-1}极值点临界点的临界点不是局部极值点例：y

=x3x

=0

是驻点但是极（驻点）或f

在x0

处不可导时，x0f

的所有临界点就是临界点集定理（极值点的必要条件）设f

是定义在(a,b)上的函数，x0

˛

(a,b)，x0值点，则必是f

的临界点。xo

x0+-xy0x-

+定理（2

第一充分条件）设f

(x)在x0连续0且在某U

0

(x

)内可导.010.在x

两侧，f

(

x)的符号不变则x0不是极值点020.在x

两侧，f

(

x)的符号改变

则x0是极值点

且0

x

>

x

x

<

x0f

(

x)

<

0f

(

x)

>

0x0是极小值点oy0

x

>

x

x

<

x0f

(

x)

>

0f

(

x)

<

00x是极大值点设f

(x)在x0处二阶可导是极大值点10.若f

(

x

)

<

0

x0020.若f

(

x

)

>

0

x0

0是极小值点定理(第二充分条件)且f

(

x0

)

=

0,则求函数在(a,b)的局部极值的步骤:（1）求函数f

在（a,b）中的临界点集f

¢(

x)

=

0的点(驻点)或不可导点（2）列表判断每一个临界点是否为极值点，A）判断

f

¢(

x)

在每一个临界点两侧的正负（3）若是极值点，求出其值（极值）f

¢(

x0

)B)

若 存在，

判断

f

¢(

x0

)

的正负不可导点驻点或是(a

,b

)内某点—极值点f

的最值点结论：(1) max

f

(

x

)

=

max{

f

(

a

)

,

f

(

b

)

,

f

(

驻点)

,

f

(不可导点)

}a

£

x

£bmin

f

(

x

)

=

min

{

f

(

a

)

,

f

(

b

)

,

f

(

驻点)

,

f

(

不可导点)

}a

£

x

£b(2)

f

(x

)在(a

,b

)只有一极值,那么,极大也即最大;极小也就是最小。}临界点最大值与最小值，极值的应用f(x)

在[a,b]上连续或是a

，或是b闭区间[a,b]的最值步骤:1.求临界点;比较区间端点及临界点的函数值;最大的就是最大值,最小就是最小值;开区间(a,b)上的函数可能有极值（最值）也可能无极值（最值）注意:如果区间内部只有一个局部极值点,则这个局部极值点就是极值（最值点）.(最大值点或最小值点)不论f

在开区间还是闭区间上，xyoy

=

f

(

x)abx0xyoy

=

f

(

x)x0ab曲线的凹凸性xyoy

=

f

(

x)ayoa问题:如何研究曲线的弯曲方向?