2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题二三角函数、解三角形第三讲三角函数与解三角形

第三讲三角函数与解三角形一一大题备考大题一般为两问：第一问一般为利用正、余弦定理实施“边角互化”求角，多与三角形的内角和定理、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等相结合；第二问一般与三角形的面积、周长问题相结合，有时与基本不等式相结合求三角形的周长或面积的最值等.微专题1三角函数的图象与性质保分题.已知函数f(x)=√35m(CoX+与+2Sin2(ωx+卫)一1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为π.2 12 2(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移：个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的2(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，当x∈［-12，*时，求函数g(x)的值域..［2022•湖南永州二模］已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<2)的部分图象如图所示.⑴求f(x)；(2)将函数y=4x)图象向左平移H个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在［0，π］上的12 3值域.技法领悟1.借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=ASin(ωx+φ)+B或。=ACos(ωx+φ)+B)的形式；2．把“①X+Q”视为一个整体，借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B或(y=ACos(ωx+φ)+B)的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.微专题2利用正弦、余弦定理解三角形保分题1.[2022•全国乙卷]记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,的已知sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=25,求^ABC的周长.312.[2022•广东茂名二模]在AABC中，a,b,C分别是内角A,B,C的对边，且a：b=2：√3,2sinB+√3sinA=2√2.(1)求角B的大小；(2)若a=2,求AABC的面积.提分题例1[2022∙新高考I卷]记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-Cos^=sin2B,1+sinA1+cos2B(1)若C=2π,求B；3(2)求a2+b2的最小值.c2听课笔记：例2[2022•山东烟台三模]在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2aCOsAcosC＋2ccos2A.(1)求角A；(2)若a=4,求c—2b的取值范围.听课笔记：技法领悟1∙若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S=jabSinC型面积公式及基本不等式求解.2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．巩固训练1.[2022•河北沧州二模]在AABC中；内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(2sinA一V3cosA)=aSinB.⑴求A；(2)若a=2,点D为BC的中点，求AD的最大值..[2022•山东济南二模]已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A+C=2B,△ABC的面积S=❷a.4⑴求边c；(2)若AABC为锐角三角形，求a的取值范围.第三讲三角函数与解三角形微专题1三角函数的图象与性质保分题1.解析：(1)由题意，函数fX)=V3sin(ωx+π)+2sin2[1(ωx+π)]-1=V3sin(ωx+π)-cos(ωx+π)=2sin(ωx+---)=2sinωx因为函数fX)图象的相邻两对称轴间的距离为2，所以T=∏,可得ω=2.故fX)=2sin2X.(2)将函数fX)的图象向右平矛零个单位长度，可得歹=2sin(2X-号的图象.再把横坐标缩小为原来的1，得到函数歹=g(X)=2sin(4X-∏)的图象.23当X∈[-工,π]时，4X-π∈[-2π,π],12 6 3 3 3当4X-3=-2时，函数g(X)取得最小值，最小值为-2,当4X-3=π时，函数g(X)取得最大值，最大值为√3,故函数g(X)的值域为[-2,√3].2.解析：(1)由最大值可确定A=2,因为T=7∏-卫=∏,所以ω=2∏=2,212122T止匕时fX)=2sin(2X+φ)，代入最高点(ɪ,2),12可得：Sin(π+φ)=1,从而π+φ=岂+2kπ(k∈Z)，结合φ∣<ππ,于是当k-0时，φ二岂，所以fx)-2sin(2X+ππ).(2)由题意，g(x)-fx+ɪ)-2sin[2(X+匹)+π]-2sin(2X+π)-2cos2X,12 12 3 2当X∈[0，亨时，2X∈[0,曾],则有CoS2X∈[-1,1],所以g(X)在区间[0,叼上的值域为[-1,2].3微专题2利用正弦、余弦定理解三角形保分题1.解析：(1)证明：,「sinCSin(A-B)-sinBSin(C-A),ʌsinCSinAcosB-sinCcosAsinB-sinBsinCcosA-sinBcosCsinA,」.sinCsinAcosB-2sinBsinCcosA-sinBcosCsinA.由正弦定理，得accosB-2bccosA-abcosC.由余弦定理，彳导a2+c2-b2-b2+C2-a2-a2+b2-c2.22整理，得2a2-b2+C2.(2)由(1)知2a2-b2+c2.又「a-5,」b2+c2-2a2-50.由余弦定理，得a2-b2+C2-2bCcosA，即25-50-30bc,ʌbc-31.」.b+c-Vb2+C2+2bc-V50+31-9,・•・a+b+C-14.故△ABC的周长为14.2.解析：(1)由正弦定理知：ɪ-ɪ，贝值-SinA-J,sinAsinB bsinB√3所以2sinB+√3sinA-4sinB-2√2，则SinB-啦且π>B>0，可得B-π或B-3π又π>A>B>0，所以B-∏.4(2)由题设，”2,则b=√3,又B二：,所以cosB=a2+c2-b2二3=五，整理得C2-22。+1=0,解得C=√2±1,满足题设.2ac4c2由S△ABC=1acsinB=√c,22所以，当C=√2+1时S=1+殳；当C=√2-1时S=1-返.△ABC ^ABC22提分题[例1]解析：(1)由已知条件，得sin2B+sinAsin2B=cosA+cosAcos2B.所以sin2B=cosA+cosAcos2B-sinAsin2B=cosA+cos(A+2B)=cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B]=-cos(B+C)+cos[π+(B-C)]=-2cosBcosC,所以2sinBcosB=-2cosBcosC,即(SinB+cosC)cosB=0.由已知条件，得1+cos2B≠0,则B≠∏,2所以cosB≠0,所以sinB=-cosC=1.2又0<B<π,所以B=π.(2)由(1)知sinB=-cosC>0,则B=C-π,所以sinA=sin(B+C)=sin(2C-π)=-cos2C.由正弦定理，得必此=sin2A+sin2B=cos22C+cos2C=(1-2sin2C)2+(1-sin2C)=2+4sin4C-5sin2Cc2 sin2C sin2C sin2C sin2C=-ɪ+4sin2C-5≥2√^-∙4sin2C-5=4√2-5,sin2C sin2C当且仅当sin2C=闻寸，等号成立，所以总的最小值为4√2-5.2 c2[例2]解析：(1)因为b=2acosAcosC+2Ccos2A,由正弦定理得sinB=2sinAcosAcosC+2sinCcos2A,即sinB=2cosA(sinAcosC+sinCcosA),即sinB=2cosAsin(A+C),因为A+B+C=π,所以A+C=π-B,所以SinB=2cosASinB.因为B∈(0,π)，所以SinB≠0,所以CoSA=1,因为A∈(0,π)，所以AU(2)由正弦定理得ɪ二盟3,sinA3所以c-2b=她(SinC-2sinB)=8^3[sin(π-π一B)-2sinB]=8^3(WcoSB-3SinB)=8(coSBCoSπ-CoSBSinπ),32 2 3 3所以c-2b=8coS(B+π).3因为B∈(0,2π)，所以B+π∈(3,∏),所以CoS(B+,∈(-1,：),所以c-2b∈(-8,4).[巩固训练1].解析：(1)在^ABC中，由正弦定理得aSinB=bSinA.因为b(2SinA-V3coSA)=aSinB，所以b(2SinA-V3coSA)=bSinA.又b≠0,所以SinA-V3coSA=0,所以tanA=V3.因为△ABC中，0<A<π，所以A=∏.3(2)在^ABC中，由a=2,A=n及余弦定理a2=b2+c2-2bcCoSA,得4=b2+C2-bc,所以b2+C2=bc+4≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=C=2时等号成立.又点D为BC的中点，所以AD2=(ab+ac)2

2 » » » »=AB2+AC2+2AB∙AC=4c2+b2+bc=2bc+4≤344,所以∣AD∣ =√3max即AD的最大值为√3.2.解析：(1)因为A+C=2B,A+B+C=∏,所以B=3；因为S=1a