吉林省长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）含答案

长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试

数学（文）试卷

考试时间：120分钟分值：150分

第I卷选择题（60分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分）

1.已知集合4=［无y=1-x2+3x+418={目2，＞4},则A|J8=（）

A.(2,+oo)B.[-1,+℃)C.[2,4]D.(2,4]

复数z=(a-2i)(l+i),aeR,i是虚数单位.若H=

2.4,贝Ij4=()

A.2B.-2C.0D.±2

23

3.计算：(一27户x9^=()

11

A.—B.--C.3D.-3

33

4.函数〃x）=ln（x2-2x—3）的单调递增区间是（）

A.(-OO.-1)B.(-00,1)C.(1,+<»)D.(3,+oo)

已知函数/(x)=-4",若。=0.3-°-25,b=log。25。3,c=

5.log032.5,则(

A./(/7)</(a)</(c)B./(c)</(Z?)</(tz)

C./(c)</(«)</(/?)D./(a)</(/?)</(c)

6.已知y=/(x)为奇函数且对任意xeR,/(x+2)=/(-x),若当xw[O,l]时，/(A：)=log2(x+a),

则“2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

7.已知函数/（X）=N（1（）'—l（r）,不等式/（I-2x）+/（3）＞0的解集为（）

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(-co,l)D.(l,+oo)

ax-2,x<2

8.若函数f(x)=«c在R上单调递增，则实数。的取值范围是（

(3-20)ln(x-l：）,x＞2

A.(0,1]B.(0,2]C.fo,j]D.1,1

9.我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事

休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特

r2

征，函数~•的图象大致是()

ex+ex

10.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为x的声音对应的等

Y

级为/(x)dB,则有/(x)=10xlg———,一架小型飞机降落时，声音约为100dB,轻声说话时，声

1X1U

音约为30dB,则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的()倍

A.1000B.106C.107D.108

11.已知〃%)=加+陵是定义在［。一1,2句上的偶函数，那么y=/(a"+与的最大值是()

13厂4

A.1B.-C.\/3D.—

327

［——2x+3,/、

12.已知函数/(x)=j|in^I>。，若关于x的方程/(x)=a有四个实数根，则实数。的取值范

围为()

A.(-oo,4)B.(0,3]C.[3,4)D.(0,4)

第II卷非选择题(90分)

一.填空题(共4小题，每小题5分，计20分)

13.己知函数/(x)=(r-2)_V是幕函数，则函数g(x)=log,(x+f)+r恒过定点

14.已知P：(x—M2<9,4：］og4(x+3)<1,若fq是「p的必要不充分条件，则m的取值范围是

1/p>

15.观察等式:/(-)+/(-)=1;/(—)+/(—)+/(—)=—;/(-)+/(—)+/(—)+/(­)=2；/(—)+/(-)+/(=)

«>41乙JJJJU2U

455

+/(：)+/(：)=:；

662

由以上几个等式的规律可猜想1232020

f(------)+f(-------)+f(------)+…于(----)—

2021202120212021

16.已知关于X的方程，-生=J在（0,+8）上有解，则实数。的取值范围是,

三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）

17.（本小题10分）

设函数/（x）=|x+l|+3|x-a|.

（I）当a=l时，解不等式/（x）K2x+2；

（口）若关于3的不等式/（x）N4+|2x-2a什亘成立，求实数。的取值范围.

18.体小题12分）

1

x=——t

2

在平面直角坐标系X。），中，曲线G的参数方程为，厂（r为参数），曲线G的参数方程为

12+乌

2

X=COS（P

（夕为参数），以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

y=1+sin9

（1）求曲线G，G的极坐标方程；

TT

（2）已知射线/：e=aS>O,5<a<7t）分别交曲线q,C2于M，N两点，若N是线段OM的中点，求a

的值.

19.（本小题12分）

改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展，尤其是城市高中的本科录取率.现得到某城市从2014-2018

年的本科录取成绩，为了便于计算，将2014年编号为1,2015年编号为2,…，2018年编号为5,如果将

每年的本科录取率记作y%,把年份对应编号1到5作为自变量，记作X,得到如下数据：

年份20142015201620172018

自变量X12345

本科录取率y%24.5%27.5%29%31.5%32.5%

（1）试建立y关于x的回归方程：

（2）已知该城市2019年本科录取率为35.5%,2020年本科录取率为37.4%.若仅一0.5,则认为该

回归方程精确度较高，试用2019年和2020年的数据判断能否用该方程预测2021年该城市的本科录取率,

若不能，请说明理由；若能，请预测2021年该城市的本科录取率.

-t七％xyt（再一%）（y-y）

参考公式：b=----------------------------，a=y-bx.

t元;-〃—/o£〃/（"X一、）2,

/=1/=!

20.（本小题12分）

已知二次函数“X）的两个零点分别是0和5,图象开口向上，且“X）在区间［-1,4］上的最大值为12.

（1）求/（x）的解析式；

（2）设函数7（X）在xeg+l］上的最小值为g（f）,求g（。的解析式.

21.（本小题12分）

已知函数/（x）=e*T-ar.

(1)当a=l时,求证：/(x)>0；

(2)当x20时，/(x)>x2,求实数”的取值范围.

22.(本小题12分)

已知,f(x)=czx-lnx,6/GR.

(1)当。=1时，求函数“X)的单调区间；

(2)是否存在实数。，使/(“)在区间(°'力上的最小值是3,若存在，求出。的值；若不存在，说明理

由。

长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试

文科数学答案

1.B2.D3.A4.D5.D6.C7.A8.A9.B10.C11.D12.C

13.(-2,3)

14.：L-2,0J.

15.1010

16.

17.(I)/(x)=\x+l\+3\x-a\<2x+2,

x>1f-1<x<1fx<-1

可转化为《或《或《，

4x-2<2x+2[4-2x<2x+2[2-4x<2x+2

解得或或无解，

2

所以不等式的解集为g,2.

(H)依题意，问题等价于关于x的不等式|x+l|+|x—a|N4恒成立，

即(|x+l|+|x-a|)min>4,

又|x+l|+|x-a归x+1—x+a|=|a+l|,当(x+l)(x-a)40时取等号.

所以|。+1|24,解得aN3或aW-5,

所以实数4的取值范围是(f,-5]U[3,+⑼.

18.(1)因为曲线G的普通方程为6x+y-2=0,

所以曲线G的极坐标方程为®cos。+夕sin8—2=()(写成°sin(。+卞=1也给分).

因为曲线G的普通方程为/+(>-1)2=1，即^+>2-2丫=0,

所以曲线G的极坐标方程为02-2/?sin6=O,即夕=2sin6.

2

(2)设M(g,a),N(a，a)，贝！-------:—，p=2sma,

，3cosa+sina2

因为N是线段的中点，所以乃=2々，

2/Q

即~f=----------：—=4sina,整理得2sina(6cosa+sina)=1,所以tan2a=，

\Z3cosa+sina3

TT7刀77几

因为一＜&＜万，所以乃＜2a＜2〃，所以2。=——，所以a=—.

2612

55

19.解：(1)计算得=55,=455,5%2=45，5xy=435,

i=li=l

f455-435r--

b=-------------=2,又*=3，y=29,

55-45

6=29—2x3=23,

・•.V关于x的回归方程为9=2x+23.

(2)当x=6时，3=35,性一乂W().5,

当x=7时，y=37,|y-y|<0.5,则该回归方程可用来预测2021年该城市的本科录取率.

当x=8时，夕=39,

预测2021年该城市的本科录取率为39%.

20.(1)因为二次函数/(X)的两个零点分别是。和5,图象开口向上，所以可设/(x)=czx(x—5乂。>0),

又/(X)在区间［一1,4］上的最大值为12,所以〃—l)=6a=12,a=2.

/(x)=2x(x-5)=2x2-10%.

(2)〃X)=2X2_10X=2［一-y,图象开口向上，对称轴为X=g.

53

①当，+1＜5即时，/(x)在上J+1］上是减函数,

2

,-.ig(r)=/(r+l)=2(f+l)-10(z+l)=2r-6r-8；

②当礴『+1即制?时，.•.)=/《)=—§；

③当f>|时，"X)在卜J+1］上是增函数，.ig⑺=/(f)=2/—10f.

3

2t2-61-8,f,

253别5

综上所述，g(7)=<--7,二■双年二，•

222

o5

2『一10/己.

2

21.(1)证明：当。=1时，f[x}=ex-\-x,定义域为R,则/(x)="—l,

由y(x)>o,得x>o,由y(x)<o,得x<o,

所以/(%)在(-00,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

所以X=0是f(X)的极小值点，也是/(X)的最小值点，且/(X)min=/(0)=0,

所以/(x)NO,

(2)解：由/(力2/(x>0),得以<产一1一必(X>O),

当x=0时，上述不等式恒成立,

e'—1—

当x>0时，a<-——■

x

令秋乃=(%>0),

X

(ex-2x)x-(e'-l-x2)(x-l)(ex-x-l)

则g(x)=

x29

由(1)可知，当x>0时，-%-1>())

所以由g(x)<0,得0<x<l,由g(