第02练三角恒等变换（5种题型过关练能力提升练拓展练）

第02练三角恒等变换〔5种题型过关练+力量提升练+拓展练〕1．两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R2.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈R3.重要结论－帮助角公式y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).4、两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－15．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sin_αcos_αC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)6.余弦的二倍角公式的变形7．正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα).(2)1±sin2α＝(sin_α±cos_α)2.8.半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，(4)taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2cos\f(α,2),cos\f(α,2)·2cos\f(α,2))＝eq\f(sinα,1＋cosα)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cos\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq\f(1－cosα,sinα).一．三角函数恒等式的证明〔共2小题〕1．求证：．【分析】法一：利用平方和〔差〕公式，同角三角函数根本关系式化简即可证明；法二：利用同角三角函数根本关系式，二倍角公式，平方和〔差〕公式即可证明．【解答】证明：法一：左边＝＝＝＝右边，故得证．法二：右边＝＝＝＝＝左边，故得证．【点评】此题主要考查了同角三角函数根本关系式在三角函数恒等式证明中的应用，考查了转化思想，属于根底题．2．证明：．【分析】利用诱导公式进行化简证明即可．【解答】证明：左边＝＝＝＝右边，故原等式成立．【点评】此题考查三角恒等式的证明，娴熟把握诱导公式进行化简是关键，属于中档题二．两角和与差的三角函数〔共5小题〕3．〔2023春•宝应县校级月考〕假设，那么＝〔〕A． B． C． D．【分析】直接依据两角和的正弦公式求解即可．【解答】解：由于，所以．应选：A．【点评】此题主要考查了两角和的正弦公式，属于根底题．4．〔2023春•栖霞区校级期中〕函数，那么f〔x〕的最小正周期为〔〕A．1 B．π C．2 D．2π【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期即可．【解答】解：f〔x〕＝＝﹣cos2x+sin2x＝，所以最小正周期为＝π．应选：B．【点评】此题考查两角和与差的三角函数的应用，三角函数的周期的求法，是根底题．5．〔2023春•高邮市期中〕sin14°cos46°+sin46°cos14°＝〔〕A． B． C． D．【分析】由题意利用两角和的正弦公式以及特别角的三角函数值即可求解．【解答】解：sin14°cos46°+sin46°cos14°＝sin〔14°+46°〕＝sin60°＝．应选：B．【点评】此题考查了两角和的正弦公式以及特别角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于根底题．6．〔2023春•宝应县校级月考〕．〔1〕求的值；〔2〕假设，求β的值．【分析】〔1〕利用同角三角函数之间的根本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；〔2〕依据平方关系可求得，再进行角的转化即β＝〔α+β〕﹣α，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出．【解答】解：〔1〕由sin2α+cos2α＝1，，可得；所以，即．〔2〕由，可得，又sin2〔α+β〕+cos2〔α+β〕＝1，，所以，所以，又，所以．故β的值为．【点评】此题主要考查两角和与差的三角函数，属于根底题．7．〔2023春•如皋市校级月考〕sinα+2cosα＝0．〔1〕求的值；〔2〕求的值．【分析】〔1〕由sinα+2cosα＝0求出tanα，最终利用两角和的正切公式求出结果．〔2〕方法一：利用诱导公式和平方关系得到，求出结果；方法二：利用平方关系求出sin2α，cos2α，再利用诱导公式求出结果．【解答】解：〔1〕由于sinα+2cosα＝0，所以tanα＝﹣2，所以．〔2〕方法一：．方法二：由于sinα＝﹣2cosα，sin2α+cos2α＝1，所以，所以．【点评】此题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的根本关系，考查运算求解力量，属于根底题．三．二倍角的三角函数〔共4小题〕8．〔2023春•滨海县期中〕，那么cos〔﹣2α〕＝〔〕A． B． C． D．【分析】cos2α＝1﹣2sin2α，由此能求出结果．【解答】解：∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，所以cos〔﹣2α〕＝cos2α＝．应选：B．【点评】此题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等根底学问，考查运算求解力量，考查函数与方程思想，是根底题．9．〔2023春•扬中市校级月考〕，那么tanθ＝2．【分析】利用正弦、余弦的公式化简即可求出结果．【解答】解：由于，所以tanθ＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查二倍角的三角函数，属于根底题．10．〔2023春•栖霞区校级期中〕由两角和差公式我们得到倍角公式cos2x＝2cos2x﹣1，实际上cos3x可以表示为cosx的三次多项式．〔1〕试用仅含有cosx的多项式表示cos3x；〔2〕求出sin18°的值．【分析】〔1〕利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．〔2〕利用倍角公式以及诱导公式化简求解即可．【解答】解：〔1〕cos2x＝2cos2x﹣1，可得cos3x＝cos〔2x+x〕＝cos2xcosx﹣sin2xsinx，＝〔2cos2x﹣1〕cosx﹣2sin2xcosx＝2cos3x﹣cosx﹣2〔1﹣cos2x〕cosx＝4cos3x﹣3cosx．〔2〕由于cos〔3×18°〕＝cos54°＝cos〔90°﹣36°〕＝cos〔90°﹣2×18°〕＝sin〔2×18°〕，所以4cos318°﹣3cos18°＝2sin18°cos18°，所以4cos218°﹣3＝2sin18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1＝0，解得．【点评】此题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，是根底题．11．〔2023春•扬中市校级月考〕〔1〕sinα＝sin2，求sinαcosα+cos2α的值；〔2〕﹣，sinx+cosx＝，那么．【分析】〔1〕依据题设条件利用公式整理得，再依据齐次式问题化简求值；〔2〕先依据〔sinx±cosx〕2＝1±2sinxcosx运算求解，留意符号的推断，再结合倍角公式公式化简求解．【解答】解：〔1〕∵，那么，即，∴；〔2〕∵，那么，整理得，所以，又∵，那么cosx＞0，且，那么sinx＜0，即cosx﹣sinx＞0，∴，故．【点评】此题主要考查了同角根本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．四．三角函数的和差化积公式〔共1小题〕12．〔2018秋•海安县校级月考〕假设cosxcosy+sinxsiny＝，sin2x+sin2y＝，那么sin〔x+y〕＝．【分析】利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny＝，可得cos〔x﹣y〕＝，再利用和差化积公式sin2x+sin2y＝，得到2sin〔x+y〕cos〔x﹣y〕＝，即可得出sin〔x+y〕．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny＝，∴cos〔x﹣y〕＝．∵sin2x+sin2y＝，∴sin[〔x+y〕+〔x﹣y〕]+sin[〔x+y〕﹣〔x﹣y〕]＝，∴2sin〔x+y〕cos〔x﹣y〕＝，∴，∴sin〔x+y〕＝．故答案为．【点评】娴熟把握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．五．三角函数的恒等变换及化简求值〔共4小题〕13．〔2023春•南京期中〕3cos〔2α+β〕+4cosβ＝0，那么tan〔α+β〕tanα的值为﹣7．【分析】利用配角法，将2α+β化成〔α+β〕+α，的形式，β化成〔α+β〕﹣α，的形式，再结合三角函数的和角公式化简即可．【解答】解：3cos[〔α+β〕+α]+4cosβ＝0，即3cos〔α+β〕•cosα﹣3sin〔α+β〕•sinα+4cosβ＝0．3cos〔α+β〕cosα﹣3sin〔α+β〕sinα+4cos[〔α+β〕﹣α]＝0，3cos〔α+β〕cosα﹣3sin〔α+β〕•sinα+4cos〔α+β〕•cosα+4sin〔α+β〕•sinα＝0，7cos〔α+β〕•cosα+sin〔α+β〕•sinα＝0，7+tan〔α+β〕•tanα＝0，∴tan〔α+β〕tanα＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】此题主要考查学问点是三角函数的化简求值，恒等式的证明，以及配角法，敏捷变化角度是解此题的关键．14．〔2023春•如东县期中〕求﹣tan20°的值为〔〕A． B． C． D．【分析】由结合和差角公式进行化简即可求解．【解答】解：﹣tan20°＝﹣＝＝＝．应选：A．【点评】此题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于根底题．15．〔2023春•姑苏区校级期中〕化简＝1．【分析】构造思想，依据两角和与差的公式绽开，化简即可．【解答】解：sin22°＝sin〔45°﹣23°〕＝sin45°cos23°﹣cos45°sin23°，cos22°＝cos〔45°﹣23°〕＝cos45°cos23°+sin45°sin23°，那么：＝＝，故答案为：1．【点评】此题考查两角和与差的角度构造思想和计算力量．属于根底题．16．〔2023春•丹阳市期中〕．〔1〕假设α的终边位于第三象限角，求2sinα+cosα的值；〔2〕求的值．【分析】〔1〕首先求出tan，进一步利用三角函数的定义求出结果；〔2〕利用万能公式求出结果．【解答】解：〔1〕，解得，由于α的终边位于第三象限角，所以，，故．〔2〕由于，所以＝，，故＝3．【点评】此题考查的学问要点：三角函数关系式的变换，万能公式，主要考查同学的理解力量和计算力量，属于中档题．一、单项选择题1．〔2022春·江苏南京·高一南京航空航天高校附属高级中学校考期中〕〔

〕A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由，先把化成，然后再使用诱导公式把化成，然后通分，将变成，然后将和差公式绽开合并同类项即可完成求解.【详解】原式

应选：C.2．〔2023·江苏·高一专题练习〕的值为〔

〕A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式和三角函数的两角和的正弦公式求解.【详解】解：，，，，，，应选：A3．〔2023春·江苏南京·高一南京市其次十九中学校考阶段练习〕a＝〔1+tan21°〕〔1+tan22°〕，b＝〔1+tan23°〕〔1+tan24°〕，那么〔〕A．a＝b＝2 B．ab＝4 C．a2+b2＝9 D．a2＝b2﹣2【答案】B【分析】依据两角和的正切可求ab＝4，再依据得到，从而可得正确的选项.【详解】解：由于，故tan21°+tan24°＝1﹣tan21°tan24°，故2＝〔1+tan21°〕〔1+tan24°〕，同理2＝〔1+tan22°〕〔1+tan23°〕，故ab＝4，故B成立；而tan15°＜tan21°＜tan23°＜1，0＜tan22°＜tan24°＜1，故a＜b，故A错误；而，故，因，故，所以，又假设a2+b2＝9，那么，解得，由于，，故无解，故C错误；假设a2＝b2﹣2，那么，那么，这与冲突，故D错误．应选：B．4．〔2023春·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学校考阶段练习〕在中，“是钝角三角形〞是“〞的〔

〕A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】留意三角形内角和是，然后争论哪个角是钝角即可.【详解】假设是钝角三角形，或为钝角时，，满意条件，为钝角时，，由于那么，满意条件，所以是充分条件.时，当时，或为钝角，为钝角三角形.当时，或，无解，当时，为钝角，为钝角三角形，所以是必要条件.应选：A.二、填空题5．〔2023春·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中〕，那么__________.【答案】【分析】由、，结合和差角余弦公式可得，从而得到，由此得解.【详解】，，所以，由于，所以，故，那么.故答案为：6．〔2023春·江苏徐州·高一校考阶段练习〕，那么的值为____________．【答案】【分析】将题中两个等式平方，相加后利用两角和的余弦公式即可得解.【详解】由于，所以，即，两式相加得，所以.故答案为：.7．〔2023春·江苏镇江·高一扬中市其次高级中学校考期中〕函数，假设是锐角，且，那么________.【答案】【分析】先由条件推出，结合是锐角可以推出，从而得到，最终利用进行求解.【详解】由题意，即，而，留意到是锐角，那么，而，故或〔后者状况不符合，舍去).于是，即.于是.故答案为：三、多项选择题8．〔2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考期中〕，且，，是在内的三个不同零点，那么〔

〕A． B．C． D．【答案】BCD【分析】依据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可推断选项A、B，将依据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可推断C，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可推断D.【详解】由题知，，是的三个根，可化为，即，所以可得或，，解得或，，由于，所以或或，故可取，，，所以选项A错误；由于，所以选项B正确；，应选项C正确；而，依据积化和差公式：，所以原式可化为：，应选项D正确.应选：BCD.【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：〔1〕利用诱导公式将角化为关系比拟接近的；〔2〕遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简；〔3〕积化和差公式：，，，.9．〔2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习〕函数在区间上的最大值为，最小值为，令，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．B．当时，C．的最大值为D．的最小值为【答案】AD【分析】利用二倍角公式化简可得，当时，依据余弦型函数值域求法可求得，由此可得，知A正确；通过反例可知B错误；依据区间长度为可知：当在上单调时，最大；当与关于对称轴对称时，最小，依据余弦函数单调区间和对称轴的求法可确定的范围和取值，由此确定的最值，知CD正误.【详解】，当时，；对于A，当时，，此时，，，A正确；对于B，假设，那么；当时，，，，，B错误；对于C，最小正周期，，假设取得最大值，那么在上单调；令，解得：，的单调递增区间为；当，即时，，，，，；令，解得：，的单调递减区间为，当，即时，，，，，；综上所述：，C错误；对于D，假设取得最小值，那么与关于的对称轴对称；令，解得：，当时，，；令，解得：，当时，，；综上所述：，D正确.应选：AD.【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数值域和最值的求解问题，解题关键是能够依据余弦函数的性质，确定何种状况下能够取得最值，从而结合余弦型函数单调性和对称轴的求法得到的范围，进而确定的最值.四、解答题10．〔2023春·江苏南通·高一江苏省西亭高级中学校考期中〕由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．(1)试用表示．(2)求的值；(3)方程在上有三个根，记为，，，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】〔1〕通过拆角，再利用和差角和倍角公式，即可求出结果；〔2〕通过方程，利用〔1〕中条件和倍角公式，建立关于的方程，从而求出结果；〔3〕通过换元，利用〔1〕中条件，求出的三个根，再通过构角，借助余弦的和差角公式即可求出结果.【详解】〔1〕由于〔2〕由于由诱导公式知，，所以由〔1〕及正弦的二倍角公式得又由于，所以，所以整理得解得或，又，所以.〔3〕因，令，故由可得：〔*〕由〔1〕得：，因．，故，故或或，即方程〔*〕的三个根分别为，，，

又，故，所以.11．〔2023春·江苏苏州·高一苏州中学校考期中〕设，函数.(1)当时，求函数的最小值；(2)假设恒成立，求的最大值及所对应的全部数组.【答案】(1)答案见解析(2)，最大值为【分析】〔1〕带入数据确定函数解析式，设，，依据对称轴与的关系分三种状况争论，计算最值即可.〔2〕带特别值计算，记，得到解析式，题目转化为对于恒成立，得到，计算得到答案.【详解】〔1〕，那么，设，，当，即时，；当，即时，；当，即时，.综上所述：时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为.〔2〕，故，取