第02讲玩转立体几何中的角度体积距离问题（五大题型）（原卷版）

第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【题型归纳目录】题型一：异面直线所成的角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题题型五：体积问题【知识点梳理】知识点1、求点线、点面、线面距离的方法（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2、异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．知识点3、直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．知识点4、作二面角的三种常用方法（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．知识点5、求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解．【典例例题】题型一：异面直线所成的角例1．（2023·福建南平·高一校考期末）如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（

）

A． B． C． D．例2．（2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（

）

A． B． C． D．例3．（2023·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习）在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为（

）A． B． C． D．题型二：线面角例4．（2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．

求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；例5．（2023·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）如图，在正方体中，．(1)求证：平面；(2)求直线和平面所成的角．例6．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．题型三：二面角例7．（2023·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.

(1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.例8．（2023·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形．

(1)若点E是PD的中点，证明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．例9．（2023·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.

(1)证明：平面.(2)作出二面角的平面角，并求其大小.例10．（2023·江苏苏州·高一校考阶段练习）四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．

(1)求证：平面；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．题型四：距离问题例11．（2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点．

求点到平面的距离．例12．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离．例13．（2023·全国·高一专题练习）在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.

(1)求证：平面平面；(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.题型五：体积问题例14．（2023·湖北·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考阶段练习）如图，在正四棱锥中，分别为的中点．

(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求该四棱锥被平面所截得的两部分体积之比，其中．例15．（2023·高一课时练习）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．(1)求证：平面；(2)设，求三棱锥的体积．例16．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.

(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.例17．（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱锥中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)若，，，，，，求三棱锥的体积．【过关测试】一、多选题1．（2023·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则（

）

A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为B．圆台的全面积为C．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为D．从点经过圆台的表面到点的最短距离为2．（2023·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，，，，平面平面，则（

）

A．平面B．C．D．若二面角的平面角的余弦值为，则3．（2023·全国·高一专题练习）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为4．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（

）

A．异面直线与的夹角的正弦为B．二面角的平面角的正切值为C．正方体的外接球体积为D．三棱锥与三棱锥体积相等二、单选题5．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为（

）

A． B． C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．7．（2023·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．（2023·海南·高一海南华侨中学校考期末）如图所示，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，则下列结论中不正确的是（

）A．B．平面SCDC．直线SA与平面SBD所成的角等于D．直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.三、填空题9．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．

10．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________11．（2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为________.12．（2023·山西·高一统考阶段练习）在正方体中，分别是，，，的中点，则异面直线和所成角的弧度数为_____________．13．（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）正方体中，直线与平面所成角的正弦值为__________.14．（2023·北京·高一北京工业大学附属中学校考期中）如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．

15．（2023·北京房山·高一北师大良乡附中校考阶段练习）如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则三棱锥的体积为__________．

四、解答题16．（2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．17．（2023·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．

(1)求证：//平面；(2)求证：平面平面；(3)求点到面的距离．18．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，四面体的顶点都在以为直径的球面上，底面是边长为的等边三角形，球心到底面的距离为．

(1)求球的表面积；(2)求异面直线和成角的余弦值．19．（2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习）如图，在三棱台中，AB=BC=CA=2DF=2，FC=1，∠ACF=∠BCF=90°，G为线段AC中点，H为线段BC上的点，平面FGH．

(1)求证：点H为线段BC的中点；(2)求三棱台的表面积；(3)求二面角的正弦值．20．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值．21．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．

22．（2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小．①；②为二面角的平面角．23．（2023·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.

(1)证明平面.(2)求异面直线与所成的角；24．（2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.

(1)证明：平面；(2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值.25．（2023·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分