专题10等式与不等式的性质

专题10等式与不等式的性质【考点清单】1、等式的性质性质①：如果，那么性质②：如果，，那么性质③：如果，那么性质④：如果，那么性质⑤：如果，那么2、不等式的性质：性质①：如果，那么；如果，那么.即.（对称性）性质②：如果，，那么.即：.（传递性）性质③：如果，那么.（可加性）性质④：如果，，那么.（可乘性）性质⑤：如果，，那么.（可加性）性质⑥：如果，，那么.（同向同正可乘性）性质⑦：如果，那么.（可乘方性）性质⑧：如果，那么.（可开方性）补充：不等式的倒数和分数性质：（1）倒数性质：，，，（2）分数性质：若，则得到糖水变甜不等式：；【考向精析】考向一：由不等式性质比较数式大小1．若实数a，b，c满足，，则（）A． B． C．

【答案】B【分析】根据不等式性质判断.【详解】因为，，所以，故A错误，B正确；根据不等式可加性知，故C错误.故选：B2．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】举例说明判断ABC；推理判断D作答.【详解】对于A，C，令，满足，而，，AC错误；对于B，令，，B错误；对于D，，D正确.故选：D3．设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质判断A、D，利用特例说明B，利用作差法判断C.【详解】因为、、为实数，且，所以，，，，故A错误，D正确；当时，故B错误，因为，所以，故C错误；故选：D4．设，则“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依据“且”与“”之间的逻辑关系进行推导即可解决.【详解】由且，可得,当，时，满足，但不满足且,则“且”是“”的充分不必要条件,故选：A.5．使“”成立的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质以及充分必要条件的概念求解.【详解】对A，若，则成立，即充分性成立，反之，若，则不一定成立，所以是成立的一个充分不必要条件，不满足条件；对B，当时，由得，则不成立，即不是充分条件，不满足条件；对C，由，若，，则，则不一定成立，所以不是的充分条件，不满足条件;对D，由可得，则是成立的充要条件，满足题意.故选:D.6．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于选项A：结合已知条件，利用不等式性质即可求解；对于选项BC：首先根据已知条件可得到，然后利用不等式性质即可求解；对于选项D：首先对和平方，然后利用作差法即可求解.【详解】对于A：因为，故，又因为，，所以，从而，故A错误；对于B：由题意可知，，因为，所以，故，即，从而，故B正确，对于C：因为，所以，所以，故C错误；对于选项D：因为，所以，即，故D错误.故选：B.7．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法求解即可.【详解】若，则，则，即，即，故选：D.8．如果，那么下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，则，故A不正确；对于B中，当时，无意义，故B不正确；对于C中，，由，可得，但不确定，所以与无法确定大小关系，故C不正确；对于D中，，由，可得，且，所以，所以，故D正确.故选：D.考向二：作差法比较代数式的大小9．设，，则有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据作差法判断两式大小.【详解】，∴.故选：A.10．已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N【答案】B【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答.【详解】，所以.故选：B.11．已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定【答案】B【分析】平方后作差比较大小即可.【详解】，∴M<N.故选：B.考向三：利用不等式求值或求范围12．已知关于x的不等式的解集是，则实数m的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式即可.【详解】由已知，易知，由得：；故选：A.13．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.【详解】由，可得，则是的必要不充分条件.故选：B14．已知关于x，y的方程组的解是正数，且x的值小于y的值，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程得到，，根据和均为正数，的值小于的值，得到，，，解得答案.【详解】，解得，，和均为正数，则且，解得且，即，的值小于的值，，解得，综上所述：，故选：C15．已知，，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围.【详解】设，得，解得：，所以，因为，，所以，，所有的范围是.故选：C二、多选题16．对于实数，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，【答案】BC【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以，，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，取，满足，而，故D错误.故选：BC.17．下列不等式中，与不等式解集相同的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根据不等式的性质，由于，将分式不等式转化为整式不等式整理即可得出答案.【详解】解：由于，因此不等式等价于，化简得.故选：BD.三、填空题18．已知，求的取值范围__________．【答案】【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.【详解】设,则解得故，由,故，由,故，所以.故答案为：.【巩固检测】1.已知，比较与的大小.（作差、作商）【解析】作差：又作商：2.，，证明.【解析】法一，法二3.，，，求证：.【解析】，又，即，又，4.已知，且，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】解：当时，，则，即；当时，，即；当时，；是的充分条件；当时，由于，则，即是的必要条件；综上，是的充要条件．故选：．，则下列不等式不能成立的是A． B． C． D．【解析】解：，，，，正确，，，，正确，当，时，则，错误，故选：．，，，且，，，则，，三个数A．都小于 B．至少有一个不小于 C．都大于 D．至少有一个不大于【解析】解：，，，三个数中至少有一个不小于．故选：．7.（2022•安徽模拟）已知，且，则以下不正确的是A． B． C． D．【解析】解：，，；即选项、正确；，，即，即，故选项正确；，，即选项错误；故选：．，满足，，则A． B