小学六年级奥数题：定义新运算(A)-习题详解

小学六年级奥数题：定义新运算(A)---习题详解

三、定义新运算（一）1.规定新运算$a☉b=$2.规定“※”为一种运算，对任意两数$a,b$，有$a※b=$3.设$a,b,c,d$是自然数，定义$\langlea,b,c,d\rangle=ad+bc$。则$\langle\langle1,2,3,4\rangle,\langle4,1,2,3\rangle,\langle3,4,1,2\rangle,\langle2,3,4,1\rangle\rangle=$4.$[A]$表示自然数$A$的约数的个数。例如，4有1,2,4三个约数，可以表示成$[4]=3$。计算：$([18]+[22])÷[7]=$5.规定新运算※：$a※b=3a-2b$。若$x※(4※1)=7$，则$x=$6.两个整数$a$和$b$，$a$除以$b$的余数记为$a☆b$。例如，$13☆5=3$，$5☆13=5$，$12☆4=0$。根据这样定义的运算，$(26☆9)☆4=$7.对于数$a,b,c,d$，规定$\langlea,b,c,d\rangle=2ab-c+d$。如果$\langle1,3,5,x\rangle=7$，那么$x=$8.规定：$6※2=6+66=72$，$2※3=2+22+222=246$，$1※4=1+11+111+1111=1234$。$7※5=$9.规定：符号“△”为选择两数中较大数，“☉”为选择两数中较小数。例如：$3△5=5$，$3☉5=3$。那么，$[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]=$10.假设式子$a\#a\timesb$表示经过计算后，$a$的值变为原来$a$与$b$的值的积，而式子$b\#a-b$表示经过计算后，$b$的值为原来$a$与$b$的值的差。设开始时$a=2$，$b=2$，依次进行计算$a\#a\timesb$，$b\#a-b$，$a\#a\timesb$，$b\#a-b$，则计算结束时，$a$与$b$的和为$\frac{a+b}{ab}-$，则$2☉(5☉3)$之值为$.$若$6※x=33$，则$x=$二、解答题11.设$a,b,c,d$是自然数，对每两个数组$(a,b)$，$(c,d)$，我们定义运算※如下：$(a,b)※(c,d)=(a+c,b+d)$；又定义运算△如下：$(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc)$。试计算$((1,2)※(3,6))△((5,4)※(1,3))$。12.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊，羊△狼=狼，狼△羊=狼，狼△狼=狼。运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友们总是希望羊能战胜狼，因此我们规定了一种新的运算，用符号☆表示，其中羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。这种运算的意思是，羊和羊在一起还是羊，狼和狼在一起还是狼。由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，狼就会被羊赶走，只剩下羊了。对于羊和狼，我们可以使用上面规定的运算进行混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果是羊或狼。现在请计算下面的式子：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)我们可以将羊△(狼☆羊)的结果先算出来，即羊。然后再计算羊☆羊，结果还是羊。接着，我们计算狼△狼的结果，也是狼。最后，将前面两个结果羊和狼代入式子，计算得到的结果是羊。现在，请将下面的数字表示成f和g：13.64=2×2×2×2×2×2表示成f，f(64)=6；243=3×3×3×3×3表示成g，g(243)=5。接下来，请计算下列式子的值：(1)f(128)；(2)f(16)×g(5)；(3)f(6)+g(27)；(4)如果x和y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：f(x×y)=f(x)+f(y)。两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，例如5☉2=1，7☉25=4，6☉8=2。(1)求1991☉2000、(5☉19)☉19、(19☉5)☉5；(2)已知11☉x=2，而x小于20，求x；(3)已知(19☉x)☉19=5，而x小于50，求x。答案：1.小数13.64可以表示为分数171/125，所以f(128)=f(2^7)=f(2^3×2^4)=f(2^3)×f(2^4)=6×16=96。2.f(16)=f(2^4)=4，g(5)=g(3×5)=g(3)×g(5)=3×5=15，所以f(16)×g(5)=4×15=60。3.f(6)=f(2×3)=f(2)×f(3)=2×2=4，g(27)=g(3^3)=3，所以f(6)+g(27)=4+3=7。4.证明：设x=2^p1×q1，y=2^p2×q2，其中p1、p2为非负整数，q1、q2只包含2以外的质因子。由于2和其他质因子互质，所以f(x×y)=f(2^(p1+p2)×q1×q2)=f(2^(p1+p2))×f(q1×q2)=f(2^p1)×f(2^p2)×f(q1)×f(q2)=f(x)×f(y)。5.由于4※1=3×4-2×1=10，所以x※(4※1)=x※10=3x-20。因为x※(4※1)=7，所以3x-20=7，解得x=9。6.首先计算26☆9=8，然后计算(26☆9)☆4=8☆4=0。7.(1)1991☉2000=1991-2000×(-1)=1991+2000=3991；(5☉19)☉19=5☉1=4，(19☉5)☉5=19☉0=5；(2)11☉x=2，因为11>2，所以x=11-2=9；(3)(19☉x)☉19=5，因为19>5，所以19☉x=5，所以x=19-5=14。1)19作被除数,则x=19☉7=9;2)19作除数,则x=7☉19=11.当y=14时,同样分两种情况解19☉x=14.1)19作被除数,则x=19☉14=6;2)19作除数,则x=14☉19=8.因此(3)的解为x=6,8,9,11.1)当x<19时，余数为7，因为x≥8，所以x=12。2)当