中考数学课件第23讲梯形

2023/7/312023/7/322023/7/33

结合近年中考试题分析，梯形的内容考查主要有以下特点：

1.考查重点为梯形的相关性质及证明，对于特殊梯形如：等腰梯形、直角梯形的有关证明更是屡见不鲜；梯形的面积和周长的有关计算也是常考的内容之一；梯形问题往往与函数、相似形、三角函数等结合在一起进行综合考查.考查的题型一般有选择题、填空题、解答题，也时常设计一些开放题、探究题.2023/7/34

2.命题热点为：梯形的计算问题，梯形的中位线的性质、判定，有关梯形的折叠问题.2023/7/351.在复习时要掌握各类梯形的概念和等腰梯形的性质、判别方法，理解梯形的中位线定理并会运用.熟练掌握梯形中辅助线的添加方法，运用转化的思想进行证明和计算，提高综合解题能力.2.复习时要总结梯形添加辅助线的规律，通过添加合适的辅助线，将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决，体会转化的思想.2023/7/362023/7/372023/7/382023/7/392023/7/3102023/7/3112023/7/3122023/7/313梯形的性质与判定梯形的性质是指梯形的两底平行，同腰上的两个底角互补等；梯形的判定主要是运用它的定义进行判定，即有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形.2023/7/314【例1】(2011·潼南中考)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC.(1)求证：AD=AE；(2)若AD=8，DC=4，求AB的长.2023/7/315【思路点拨】

2023/7/316【自主解答】(1)连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC.∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC.∴∠ACD=∠ACB.∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°.∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC.∴AD=AE.2023/7/317(2)由(1)知：AD=AE，DC=EC设AB=x,则BE=x-4,AE=8，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，由勾股定理得：82+(x-4)2=x2解得：x=10.∴AB=10.2023/7/3181.(2010·威海中考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O.若CD＝3，AB＝5，则AC的长为()(A)(B)4(C)(D)2023/7/319【解析】选A.过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，因为AB∥CD，可得四边形DCEB是平行四边形，所以BD=CE，DC=BE=3，所以AE=AB+BE=8.因为∠AOB=∠ACE=90°，△ACE是直角三角形.2023/7/320因为AD＝BC，所以AC=BD，所以CE=AC.在Rt△ACE中，有AC2+CE2=AE2，即2AC2=64，所以.故选A.2023/7/3212.(2011·台州中考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，对角线BD，AC相交于点O，下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是()(A)∠1=∠4(B)∠1=∠3(C)∠2=∠3(D)OB2+OC2=BC22023/7/322【解析】选B.由∠1＝∠4,∠1+∠DBC＝90°，所以∠4+∠DBC=90°，所以∠BOC＝90°，即BD⊥AC；由∠2＝∠3,而∠2+∠DAC＝90°，所以∠3+∠DAC＝90°，所以∠DOA＝90°，即BD⊥AC；由OB2+OC2＝BC2,得三角形OBC为直角三角形，所以∠BOC＝90°，即BD⊥AC；选项B不能推出BD⊥AC.2023/7/3233.(2011·扬州中考)如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN＝6,则BC＝_____.【解析】设BC＝x，则根据三角形的中位线的性质可知,由题意可知MN是梯形DBCE的中位线，因此有,解得x＝8,即BC＝8.答案：82023/7/324等腰梯形的性质与判定等腰梯形的性质即等腰梯形的两腰相等；等腰梯形同一底上的两底角相等；等腰梯形的对角线相等；延长两腰可以得到一个等腰三角形；过上底的一个顶点作一腰的平行线可以构造一个等腰三角形和一个平行四边形.等腰梯形的判定步骤一般是首先判定四边形是梯形，然后再判定两腰相等、同一底上的两底角相等或对角线相等.2023/7/325【例2】(2011·南充中考)如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，点E、F在BC上，且BE=CF，连接DE，AF.求证：DE=AF.【思路点拨】2023/7/326【自主解答】∵BE=FC，∴BE+EF=FC+EF，即BF=CE.∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C.在△DCE和△ABF中，∴△DCE≌△ABF(SAS).∴DE=AF.2023/7/3274.(2010·烟台中考)如图，小区的一角有一块形状为等腰梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是()(A)等腰梯形(B)矩形(C)菱形(D)正方形2023/7/328【解析】选C.如图，连接AC、BD,2023/7/329因为梯形ABCD为等腰梯形,所以AC=BD.因为E、F、G、H是等腰梯形各边的中点，所以所以EF=HG=EH=GF，所以四边形EFGH是菱形.2023/7/3305.(2011·临沂中考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2,BC＝6,∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是()(A)12(B)14(C)16(D)182023/7/331【解析】选C.过点A作AE∥DC交BC于E.则四边形AECD为平行四边形∴AE＝CD.又AB＝CD，∴AB＝AE.又∠B=60°，∴△ABE为等边三角形，∴ＢＥ＝ＡＢ＝ＡＥ＝４.∴梯形周长为4+2+4+6＝16.2023/7/3326.(2011·盐城中考)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是_____.2023/7/333【解析】由图可知AD∥BC，AB与CD不平行，则四边形ABCD为梯形，而∠ABC=∠DCB，所以四边形ABCD为等腰梯形.答案：等腰梯形2023/7/334梯形的有关计算梯形的有关计算一般是指梯形的腰长、高、中位线、周长、面积以及底角的相关计算；采用的方法一般是将梯形利用作高线、对角线、中位线、作一腰的平行线或延长两腰等方法将梯形进行割补,利用三角形或平行四边形的知识求解.2023/7/335【例3】(2010·盐城中考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD.(1)求sin∠DBC的值；(2)若BC的长度为4cm，求梯形ABCD的面积.【思路点拨】2023/7/336【自主解答】(1)∵AD=AB,∴∠ADB=∠ABD.∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=∠ABD.∵在梯形ABCD中，AB=CD，∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC.∵BD⊥CD,∴3∠DBC=90°,∴∠DBC=30°.2023/7/337(2)过D作DF⊥BC于F.在Rt△CDB中，BD=BC×cos∠DBC=(cm),CD=BC×sin∠DBC=2(cm),即AD=2(cm).在Rt△BDF中，2023/7/3387.(2010·芜湖中考)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF等于()(A)9(B)10(C)11(D)122023/7/339【解析】选B.过点D作AC的平行线交BC的延长线于点M，则又因为CE=6，所以AE=6，所以AE＋EF=10.2023/7/3408.(2011·武汉中考)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是()(A)40°(B)45°(C)50°(D)60°2023/7/341【解析】选C.∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA=25°,∵DC=CB,∴∠CBD=∠CDB=25°,∴∠CBA=50°.∵AD=BC,∴∠BAD=∠CBA=50°.2023/7/3429.(2011·福州中考)梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3,且S1+S3＝4S2,则CD＝()(A)2.5AB(B)3AB(C)3.5AB(D)4AB2023/7/343【解析】选B.由题意知，过点B作BE∥AD交DC于点E，∴∠ADC＝∠BEC,BE=AD.又∠ADC+∠BCD＝90°，∴∠BEC+∠BCD=90°,∴AD2+BC2=CE2,∴CE2=4AB2,∴CE=2AB,∴CD=3AB.2023/7/34410.(2010·眉山中考)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，，则下底BC的长为_____.【解析】过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC,垂足分别为E、F，则四边形AEFD是矩形，∴AE=DF，EF=AD=4.在Rt△ABE中，2023/7/345∴在Rt△DCF中，∴BC=BE+EF+FC=答案：102023/7/3462023/7/347直角梯形的有关问题直角梯形是一种特殊的梯形，具有自身特殊的性质与判定，纵观近几年各地中考题均有加大考查力度的趋势.2023/7/348【例】(2010·重庆中考)已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°.点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M.点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA.(1)若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；(2)求证：2023/7/349【思路点拨】2023/7/350【自主解答】(1)连接MD.∵点E是DC的中点，ME⊥DC，∴MD=MC.又∵AD=CF,MA=MF.∴△AMD≌△FMC，∴∠MAD=∠MFC=120°.∵AD∥BC，∠ABC=90°,∴∠BAD=90°,∴∠MAB=30°.在Rt△AMB中，∠MAB=30°,2023/7/351(2)∵△AMD≌△FMC，∴∠ADM=∠FCM.∵AD∥BC,∴∠ADM=∠CMD,∴∠CMD=∠FCM.∵MD=MC,ME⊥DC,∴∴在Rt△MBP中，2023/7/352(2010·怀化中考)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1cm，AD=6cm，CD=9cm，则BC=_____cm.【解析】过点B作BE垂直CD于点E，则BE=6cm,CE=8cm,所以CB=10cm.答案：102023/7/3531.(2009·淄博中考)如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为()(A)9(B)10.5(C)12(D)152023/7/354【解析】选C.∵BP平分∠ABC，且EF是梯形ABCD的中位线，∴∠EBP=∠EPB,∴EP=EB,同理FP=FC,∴EP+FP=EB+FC=3,∴AB+CD=6,∴梯形ABCD的周长为12.2023/7/3552.(2010·黄冈中考)如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_____cm2.【解析】设AC，BD相交于点O，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD=6cm.2023/7/356因为AC⊥BD，所以所以等腰梯形ABCD的面积为==答案：182023/7/3573.(2010·金华中考)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2cm，则梯形ABCD的面积为()(A)(B)6cm2(C)(D)12cm22023/7/358【解析】选A.在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=2cm,故AB=4cm,AC=cm.AB∥CD,∠BAC=∠DCA=30°,且∠DAB=∠B=60°,即∠DAC=∠DCA=30°，即AD=CD=BC，则CD=2cm,作CE⊥AB，垂足为E，则，得

梯形ABCD的面积为2023/7/3594.(2010·台州中考)梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是()(A)3(B)4(C)(D)【解析】选B.过点D作AB的平行线交BC于点E，因为∠B=60°，AB=CD=AD，所以△DCE为等边三角形，所以CE=2，所以BC=4.2023/7/3605.(2010·宁波中考)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，若∠ABC=60°,BC=12,则梯形ABCD的周长为_____.【解析】过点A作AE∥DC，交BC于E，2023/7/361则△ABE是等边三角形，四边形AECD是菱形,∴AB=BE=EC=CD=DA=6.∴梯形ABCD的周长为30.答案：302023/7/3626.(2010·上海中考)已知梯形ABCD中，AD∥BC，