2020年高考数学真题分类汇编04 函数与导数 (含解析)

04函数与导数1.（2020•北京卷）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是（）．A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】作出函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象，观察图象可得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，在同一直角坐标系中作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象如图：两函数图象的交点坐标为SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以不等式SKIPIF1<0的解集为：SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.2.（2020•北京卷）函数SKIPIF1<0的定义域是____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.3.（2020•北京卷）已知函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求曲线SKIPIF1<0的斜率等于SKIPIF1<0的切线方程；（Ⅱ）设曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0，（Ⅱ）SKIPIF1<0.【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，由点斜式可得切线方程：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（Ⅱ）显然SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，结果一样SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值，也是最小值为SKIPIF1<0.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.4.（2020•全国1卷）函数SKIPIF1<0的图像在点SKIPIF1<0处的切线方程为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】求得函数SKIPIF1<0的导数SKIPIF1<0，计算出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，所求切线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题5.（2020•全国1卷）若SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，利用作差法结合SKIPIF1<0的单调性即可得到答案.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为增函数，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以C、D错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.6.（2020•全国1卷）已知函数SKIPIF1<0.（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥SKIPIF1<0x3＋1，求a的取值范围.【答案】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增.（2）SKIPIF1<0【解析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x＝0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0单调递增，注意到SKIPIF1<0，故：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增.(2)由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，①.当x＝0时，不等式为：SKIPIF1<0，显然成立，符合题意；②.当SKIPIF1<0时，分离参数a得，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0恒成立，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；因此，SKIPIF1<0,综上可得，实数a的取值范围是SKIPIF1<0.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．7.（2020•全国2卷）设函数SKIPIF1<0，则f(x)（）A.是偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增 B.是奇函数，且在SKIPIF1<0单调递减C.是偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增 D.是奇函数，且在SKIPIF1<0单调递减【答案】D【解析】根据奇偶性的定义可判断出SKIPIF1<0为奇函数，排除AC；当SKIPIF1<0时，利用函数单调性的性质可判断出SKIPIF1<0单调递增，排除B；当SKIPIF1<0时，利用复合函数单调性可判断出SKIPIF1<0单调递减，从而得到结果.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，关于坐标原点对称，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定义域上的奇函数，可排除AC；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，排除B；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.8.（2020•全国2卷）若SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】将不等式变为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0的单调性知SKIPIF1<0，以此去判断各个选项中真数与SKIPIF1<0的大小关系，进而得到结果.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A正确，B错误；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到SKIPIF1<0的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.9.（2020•全国2卷）已知函数f(x)＝sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：SKIPIF1<0；（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤SKIPIF1<0.【答案】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得SKIPIF1<0，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的根为：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增(2)注意到SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的函数，结合(1)的结论，计算可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，据此可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(3)结合(2)的结论有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．10.（2020•全国3卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中K为最大确诊病例数．当I(SKIPIF1<0)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则SKIPIF1<0约为（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】将SKIPIF1<0代入函数SKIPIF1<0结合SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0即可得解.【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.11.（2020•全国3卷）若直线l与曲线y＝SKIPIF1<0和x2＋y2＝SKIPIF1<0都相切，则l的方程为（）A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋SKIPIF1<0 C.y＝SKIPIF1<0x＋1 D.y＝SKIPIF1<0x＋SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线SKIPIF1<0的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上的切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0，两边平方并整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍），则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.12.（2020•全国3卷）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b【答案】A【解析】由题意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用作商法以及基本不等式可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，综合可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系.【详解】由题意可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.13.（2020•全国3卷）设函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点(SKIPIF1<0，f(SKIPIF1<0))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若SKIPIF1<0有一个绝对值不大于1的零点，证明：SKIPIF1<0所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）利用导数的几何意义得到SKIPIF1<0，解方程即可；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0所有零点中存在一个绝对值大于1零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由零点存在性定理知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点，在SKIPIF1<0上不存在零点，此时SKIPIF1<0不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由零点存在性定理知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点，在SKIPIF1<0上不存在零点，此时SKIPIF1<0不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，SKIPIF1<0所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.14.（2020•江苏卷）已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，SKIPIF1<0，则f(－8)的值是____.【答案】SKIPIF1<0【解析】先求SKIPIF1<0，再根据奇函数求SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.15.（2020•江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，SKIPIF1<0为铅垂线(SKIPIF1<0在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离SKIPIF1<0(米)与D到SKIPIF1<0的距离a(米)之间满足关系式SKIPIF1<0；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离SKIPIF1<0(米)与F到SKIPIF1<0的距离b(米)之间满足关系式SKIPIF1<0.已知点B到SKIPIF1<0的距离为40米.（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于SKIPIF1<0的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价SKIPIF1<0(万元)(k＞0).问SKIPIF1<0为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?【答案】（1）120米（2）SKIPIF1<0米【解析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得SKIPIF1<0SKIPIF1<0米（2）设总造价为SKIPIF1<0万元，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(0舍去)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，答：当SKIPIF1<0米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.16.（2020•江苏卷）已知关于x的函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在区间D上恒有SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求h(x)的表达式；（2）若SKIPIF1<0，求k的取值范围；（3）若SKIPIF1<0SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）证明详见解析【解析】（1）求得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得SKIPIF1<0的表达式.（2）先由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的一个取值范围，再由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的另一个取值范围，从而求得SKIPIF1<0的取值范围.（3）先由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的取值范围，由方程SKIPIF1<0的两个根，求得SKIPIF1<0的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0即SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不符合题意.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，符合题意.综上所述，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，因为SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，不符合题意.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（3）因为SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，等价于SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立.故SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.等价于SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.17.（2020•新全国1山东）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：SKIPIF1<0描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】根据题意可得SKIPIF1<0，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为SKIPIF1<0天，根据SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即可得结果.【详解】因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为SKIPIF1<0天，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.18.（2020•新全国1山东）若定义在SKIPIF1<0的奇函数f(x)在SKIPIF1<0单调递减，且f(2)＝0，则满足SKIPIF1<0的x的取值范围是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数SKIPIF1<0在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也是单调递减，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.19.（2020•新全国1山东）已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数SKIPIF1<0得导函数SKIPIF1<0的单调递增，当a＝1时由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,符合题意；当a＞1时，可证SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0存在零点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，研究SKIPIF1<0.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,上述不等式等价于SKIPIF1<0,注意到SKIPIF1<0的单调性，进一步等价转化为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,利用导数求得SKIPIF1<0，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，∴切点坐标为(1,1＋e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0切线与坐标轴交点坐标分别为SKIPIF1<0,∴所求三角形面积为SKIPIF1<0;（2）解法一：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0∴g(x)在SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0成立.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴存在唯一SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0＞1,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,＋∞).解法二：SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,上述不等式等价于SKIPIF1<0,显然SKIPIF1<0为单调增函数，∴又等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上h’(x)＞0,h(x)单调递增；在(1,＋∞)上h’(x)＜0,h(x)单调递减，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴a的取值范围是[1,＋∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.20.（2020•天津卷）函数SKIPIF1<0的图象大致为（）A B.C. D.【答案】A【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．21.（2020•天津卷）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出SKIPIF1<0的大小关系.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数递增；当SKIPIF1<0时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数递增；当SKIPIF1<0时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.22.（2020•天津卷）已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0恰有4个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，结合已知，将问题转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不同交点，分SKIPIF1<0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到SKIPIF1<0，所以要使SKIPIF1<0恰有4个零点，只需方程SKIPIF1<0恰有3个实根即可，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有SKIPIF1<0个不同交点.因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，如图1，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不同交点，不满足题意；当SKIPIF1<0时，如图2，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0个不同交点，满足题意；当SKIPIF1<0时，如图3，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，联立方程得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.23.（2020•天津卷）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，（i）求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（ii）求函数SKIPIF1<0的单调区间和极值；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，求证：对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【答案】（Ⅰ）（i）SKIPIF1<0；（ii）SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】(Ⅰ)(i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得SKIPIF1<0的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令SKIPIF1<0，将原问题转化为与SKIPIF1<0有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)(i)当k＝6时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(ii)依题意，SKIPIF1<0.从而可得SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.当x变化时，SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；g(x)的极小值为g(1)＝1，无极大值.（Ⅱ）证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.①令SKIPIF1<0.当x＞1时，SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以当t＞1时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.②由(Ⅰ)(ii)可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0③由①②③可得SKIPIF1<0.所以，当SKIPIF1<0时，任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．24.（2020•浙江卷）函数y＝xcosx＋sinx在区间[–π，＋π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在SKIPIF1<0处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，据此可知选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．25.（2020•浙江卷）已知a，bSKIPIF1<0R且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（）A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.b＞0【答案】C【解析】对SKIPIF1<0分SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0零点为SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0.综上一定有SKIPIF1<0.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.26.（2020•浙江卷）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点，证明：（ⅰ）SKIPIF1<0；（ⅱ）SKIPIF1<0．【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.【解析】（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零