初中数学全等三角形知识点总结及复习

初中数学全等三角形知识点总结及复习

：①对边相等（SAS）②另一角相等（ASA）（4）已知条件中有斜边和直角边对应相等，可用直角三角形全等的定理判定两个三角形全等。4、角平分线的应用（1）利用角平分线的性质求角平分线上的点到角的两边的距离。（2）利用角平分线的判定方法判断角平分线是否存在。（3）利用角平分线的定理判定两个三角形全等。三、典型例题1、已知AB=CD，∠A=∠C，AC=BD，证明△ABC≌△CDA。解：由已知，可得∠BAC=∠DCB，∠ABC=∠ACD，AB=CD，AC=BD；因此，根据SAS判定全等三角形的定理，可得△ABC≌△CDA。2、在△ABC中，∠B=90°，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，BD=AE，证明△ABC为等腰直角三角形。解：连接DE，由题意可得△ABD≌△AEC，因此∠ADB=∠AEC，又∠ADB+∠AEC=90°，因此∠ADB=∠AEC=45°，所以△ABC为等腰直角三角形。3、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE=BC，证明△ABC为等腰三角形。解：连接BE、CD，由已知可得∠ABE=∠ACD，∠AEB=∠ADC，DE=BC；因此，根据ASA判定全等三角形的定理，可得△ABE≌△ACD；由此可得AE=AD，因此△ABC为等腰三角形。下面文章的格式错误已经全部删除，明显有问题的段落也已经删除。以下是改写后的文章：在几何学中，全等三角形是一个重要的概念。当两个三角形的对应的角度和边长都相等时，这两个三角形就是全等的。证明两个三角形全等的方法有很多种，其中最常用的方法是以下两种：1.任一组角相等（AAS或ASA）2.夹等角的另一组边相等（SAS）下面是几个经典例题：例1：已知如图所示，AB=AC，求证：△ABC是等腰三角形。例2：如图所示，已知AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：△ABC≌△ABD。例3：如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：△ABC≌△DCB。例4：如图所示，ABCD是一个平行四边形，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且OD=OE。求证：BD=CE。例5：已知如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。求证：AE=AD+BE。通过以上例题，我们可以发现，在证明某两条线段和等于另一条线段时，可以考虑“截长补短”的添加辅助线。如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处地添加辅助线。以下是全等三角形的复习练习题：一、选择题1.如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组2.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（）以上是关于全等三角形的基本知识和例题练习。在几何证明过程中，添加辅助线是一个常用的方法，需要我们灵活运用。1.推出△APC≌△APD的条件是（）从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD．A．BC=BDB．AC=ADC．∠ACB=∠ADBCD．∠CAB=∠DAB2.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是()(A)∠B=∠E,BC=EF(B)BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E(D)∠A=∠D，BC=EF3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC=10cm，则△DBE的周长等于()A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm4.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A．1处B．2处C．3处D．4处5.某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是()A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去6.如图，在△ABC中，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为()A．30B．40C．50D．607.如图，△ACB≌△A′C′B′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为()A．20°B．30°C．35°D．40°8.如图，在△ABC中，AC=AD，BC=BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9.尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是()A．SASB．ASAC．AASD．SSS12.如图所示，已知∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且BC=5cm，BD=3cm，求点D到AB的距离。解：首先，根据三角形相似的性质，可以得到：$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}$代入已知条件，得到：$\frac{3}{AB}=\frac{CD}{AC}$又因为AD平分∠BAC，所以$\angleCAD=\angleBAD$，因此$\triangleACD\cong\triangleABD$（AAS）。所以AC=AD，代入上式得到：$\frac{3}{AB}=\frac{CD}{AD}$又因为$\triangleACD$是直角三角形，所以根据勾股定理得到：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{2CD^2}$代入上式得到：$\frac{3}{AB}=\frac{CD}{\sqrt{2}CD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$解得$AB=3\sqrt{2}$，所以点D到AB的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，选项C。13.如图所示，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B。下列结论中不一定成立的是（）。解：根据条件可知，$\triangleOPA\cong\triangleOPB$（RHS），因此PA=PB，所以结论A成立。又因为OP平分∠AOB，所以$\angleOPA=\angleOPB$，所以结论B成立。又因为$\triangleOPA\cong\triangleOPB$，所以OA=OB，所以结论C成立。又因为PA=PB，且$\angleAPB=90°$，所以$\triangleAPB$是等腰直角三角形，所以结论D成立。综上所述，所有结论都成立，所以选项E。14.如图所示，已知AB=AD。添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）。解：根据已知条件可知，$\triangleABD$是等腰三角形，所以$\angleADB=\angleBAD$。若添加条件CB=CD，则可以得到$\triangleABC\cong\triangleADC$（SAS）。若添加条件$\angleBAC=\angleDAC$，则可以得到$\triangleABC\cong\triangleADC$（AA）。若添加条件$\angleBCA=\angleDCA$，则可以得到$\triangleABC\cong\triangleADC$（AA）。若添加条件$\angleB=\angleD=90°$，则可以得到$\triangleABC\cong\triangleADC$（HL）。因此，无论添加哪个条件都可以判定△ABC≌△ADC，所以选项E。1.如图所示，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是（写出一个即可）。解：根据已知条件可得，$\triangleABE\cong\triangleDCE$（AAS）。因此，可添加条件BC=DE，使得$\triangleABC\cong\triangleADE$（SAS）。2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，且AB=5cm，求△DEB的周长。解：首先，根据勾股定理可得AC=BC=$\frac{5}{\sqrt{2}}$。由于AD平分∠BAC，所以$\angleCAD=\angleBAD$，因此$\triangleACD\cong\triangleABD$（AAS）。所以CD=BD=$\frac{5}{2}$。又因为$\triangleADE\sim\triangleABC$，所以$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，代入已知条件得到：$\frac{DE}{5}=\frac{AD}{\frac{5}{\sqrt{2}}}$解得$DE=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。因为$\triangleDEB$是直角三角形，所以根据勾股定理得到：$EB=\sqrt{AB^2-DE^2}=\frac{5}{2}$$DB=EB-ED=\frac{5}{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2}=-\frac{5\sqrt{2}}{2}$因为长度不能为负数，所以实际上不存在△DEB，所以该题无解。3.如图所示，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件，使OC=OD（只添一个即可）。解：根据已知条件可得，$\triangleABD\sim\triangleABC$。因此，可添加条件BD=BC，使得$\triangleABD\cong\triangleABC$，从而得到OC=OD。4.如图所示，在ΔABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。解：首先，根据勾股定理可得AC=$\sqrt{BC^2+AB^2}=10$。又因为BD是∠ABC的平分线，所以$\angleABD=\angleCBD$，因此$\triangleABD\cong\triangleCBD$（SAS）。所以AD=CD=$\frac{1}{2}BC=4$。又因为$\triangleADB$是直角三角形，所以根据勾股定理得到：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{32}$所以点D到直线AB的距离为$\frac{AC\timesAB}{BC}=\frac{10\sqrt{32}}{8}=5\sqrt{2}$厘米。5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个（第一个、第二个、第三个）。解：观察可得，每个大三角形中的白色三角形都是由两个黑色三角形组成的，其中一个黑色三角形的底边是上一个大三角形的斜边，另一个黑色三角形的底边是白色三角形的底边。因此，第5个大三角形中白色三角形有第三个。1.已知等腰三角形ABC中，AD=AE，求证BD=CE。2.在等腰三角形ABC中，以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°。(1)求∠DBC的度数；(2)求证BD=CE。3.在△ABE中，AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,BC、DE交于点O。求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB=OE.4.在等边三角形ABC中，D是边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE，找出一组全等三角形并说明理由。5.在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M。(1)求证△ABC≌△DCB；(2)过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论。6.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO=DO。7.在△ABC和△ABD中，现给出如下三个论断：①AD=BC；②∠C=∠D；③∠1=∠2。请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题。(1)写出所有的真命题。(2)请选择一个真命题加以证明。8.已知B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C。求证OA=OD。9.在△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F。求证BD=2CE。10.在△ADE和△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE，交DE于点F。请写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。11.已知DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点。(1)求证△AED≌△EBC。(2)除△EBC外，请写出两个与△AED的面积相等的三角形。12.如图①，线段AC上有动点E、F，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M。（1