山东省泰安市泰前街道黄山中学高三数学文期末试题含解析

山东省泰安市泰前街道黄山中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的三个顶点,,的坐标分别为，O为坐标原点，动点满足，则的最小值是（

）A．B．C．D．参考答案：A2.若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3.设{an}是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于A．12 B．24 C．36 D．48参考答案：B4.已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则A∩?RB=（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0）参考答案：C5.已知函数，且，，则函数图象的一条对称轴的方程为A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知cos（π﹣α）=﹣，则cos2α=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D7.设是定义在（0,1）上的函数，对任意的都有，记,则=A.

B.

C.

D.

参考答案：C略8.（04年全国卷IV文）为了得到函数的图象，可以把函数的图象

（

）

A．向左平移3个单位长度

B．向右平移3个单位长度

C．向左平移1个单位长度

D．向右平移1个单位长度参考答案：答案：D9.（5分）（2013?兰州一模）设i为虚数单位，若（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y满足（）A．x=﹣1，y=1B．x=﹣1，y=2C．x=1，y=2D．x=1，y=1参考答案：D略10.已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞1}，由B中不等式解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个容量为80的样本，己知某组的频率为0.125，则该组的频数为

。参考答案：1012.（5分）已知直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，下列命题中真命题序号为①直线l的斜率为tanθ；②存在实数λ，使得对任意的θ，直线l恒过定点；③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆相切；④若圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，则λ=±1．参考答案：②③④①当cosθ=0时，直线l没有斜率，故①不正确；②当λ=0时，直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ=0，当sinθ=0时，cosθ=1，直线l：﹣y=0过定点（0，0），当sinθ≠0时，直线l：x﹣y=0过定点（0，0），∴存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；③∵直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，∴点（﹣1，0）到直线l的距离d==|λ|，∴对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆（x+1）2+y2=λ2相切，故③正确；④∵圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，∴圆（x+1）2+y2=4的圆心（﹣1，0）到直线xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，∴|﹣sinθ﹣0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正确．故答案为：②③④．13.若sinα＋cosα＝，则sin2α＝

．参考答案：14.已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于

.参考答案：60415.已知函数在区间上有最大值，则实数a=______.参考答案：【分析】根据求出，判断在的单调性即可。【详解】当时，为增函数

当时，为减函数（舍去）所以【点睛】本题主要考查了含数函数单调性的讨论及最值的求解，属于基础题。16.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M?D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数．如果定义域为－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为－1，＋∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是________．如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是________．参考答案：2，＋∞)，－1,117.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.参考答案：0

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x+）≥0的解集；（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）由题意，分类讨论，去掉绝对值，解不等式即可；（Ⅱ）运用柯西不等式，可3p+2q+r的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x+）≥0，即|x+|+|x﹣|≤4，x≤﹣，不等式可化为﹣x﹣﹣x+≤4，∴x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣；﹣＜x＜，不等式可化为x+﹣x+≤4恒成立；x≥，不等式可化为x++x﹣≤4，∴x≤2，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为[﹣2，2]；（Ⅱ）∵（++）（3p+2q+r）≥（1+1+1）2=9，++=4∴3p+2q+r≥，∴3p+2q+r的最小值为．【点评】本题考查不等式的解法，考查运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．19.（12分）设函数f（x）=ex﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=x，求实数a，b的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将（0，﹣1），代入f（x），即可求得b的值，求导，由f′（1）=﹣2，即可求得a的值；（Ⅱ）求导，g′（x）=ex﹣2a，分类分别取得g（x）在区间[0，1]上的最小值h（a）解析式，根据函数的单调性即可求得h（a）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，则过点（0，﹣1），代入f（x）=ex﹣ax2﹣ex+b，则1+b=﹣1，则b=﹣2，求导f′（x）=ex﹣2ax﹣e，由f′（1）=﹣2，即e﹣2a﹣e=﹣2，则a=1，∴实数a，b的值分别为1，﹣2；（Ⅱ）f（x）=ex﹣ax2﹣ex+b，g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣e，g′（x）=ex﹣2a，（1）当a≤时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴2a≤ex恒成立，即g′（x）=ex﹣2a≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，∴g（x）≥g（0）=1﹣e．（2）当a＞时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴2a＞ex恒成立，即g′（x）=ex﹣2a＜0，g（x）在[0，1]上单调递减，∴g（x）≥g（1）=﹣2a（3）当＜a≤时，g′（x）=ex﹣2a=0，得x=ln（2a），g（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，所以g（x）≥g（ln2a）=2a﹣2aln2a﹣e，∴h（a）=，∴当a≤时，h（a）=1﹣e，当＜a≤时，h（a）=2a﹣2aln2a﹣e，求导，h′（a）=2﹣2ln2a﹣2=2ln2a，由＜a≤时，h′（a）＜0，∴h（a）单调递减，h（a）∈（1﹣e，﹣e]，当a＞时，h（a）=﹣2a，单调递减，h（a）∈（﹣∞，﹣e），h（a）的最大值1﹣e．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．20.用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）

年级相关人数抽取人数高一99高二27高三182

（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若从高二、高三年级抽取的人中选人，求这二人都来自高二年级的概率．参考答案：解：（Ⅰ）由题意可得

，所以，.

（Ⅱ）记从高二年级抽取的人为，，，从高三年级抽取的人为，，则从这两个年级中抽取的人中选人的基本事件有：，，，，，，，，，共种.……8分设选中的人都来自高二的事件为，则包含的基本事件有：，，共种.因此.

故选中的人都来自高二的概率为.

………13分

略21.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．参考答案：（1）取中点，连接，，∵，分别是，中点，∴，，∵为中点，为矩形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）∵平面，∴到平面的距离等于到平面的距离，∵平面，∴，∵，在中，∵平面，∴，∵，，