江苏省常州市金坛高级中学2022年高二数学理期末试题含解析

江苏省常州市金坛高级中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在用反证法证明“已知，且，则a，b，c中至少有一个大于1”时，假设应为（

）A．a，b，c中至多有一个大于1

B．a，b，c全都小于1C．a，b，c中至少有两个大于1

D．a，b，c均不大于1参考答案：D用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．

而要证命题的否定为：“假设，，均不大于”，

2.已知f（n）=+++…+，则（）A．当n=2时，f（2）=+；f（k+1）比f（k）多了1项B．当n=2时，f（2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k+1项C．当n=2时，f（2）=+；f（k+1）比f（k）多了k项D．当n=2时，f（2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k项参考答案：D【考点】归纳推理．【分析】当n=2时，f（2）=++；f（k+1）﹣f（k）=+…+，由此可得结论．【解答】解：当n=2时，f（2）=++；f（k+1）﹣f（k）=+…+，多了（k+1）2﹣k2﹣1=2k，故选：D．3.如图，在平行六面体A1C中，AD=AB=AA1=4，∠A1AB=60°，∠BAD=90°，∠A1AD=120°，cos∠A1AC=（）A．﹣ B．﹣ C．0 D．参考答案：C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】运用向量的三角形法则和向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，结合勾股定理的逆定理，计算即可得到所求余弦值．【解答】解：在平行六面体A1C中，AD=AB=AA1=4，∠A1AB=60°，∠BAD=90°，∠A1AD=120°，可得||2=|+|2=|++|2=||2+||2+||2+2?+2?+2?=16+16+16+2×4×4×cos60°+2×4×4×cos90°+2×4×4×cos120°=48+16+0﹣16=48，又||2=||2+||2+2?=16+16+0=32，||2+||2=16+32=48=||2，即为⊥，可得cos∠A1AC=0．故选：C．【点评】本题考查角的余弦值的求法，注意运用向量法，以及向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查勾股定理的逆定理，以及运算能力，属于中档题．4.定义在R上的连续可导函数f(x)，若当时，有，则下列各项正确的是（

）A. B.C. D.与大小关系不定参考答案：A【分析】根据可得的单调性，由函数连续可知，进而得到结果.【详解】由得：当时，；当时，则在上单调递增，在上单调递减在上连续

即，

本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小的问题，易错点是忽略函数连续的条件，造成的大小无法确定.5.如右图所示，直线的斜率分别为，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C6.若复数，则在复平面内对应的点位于(

)A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

参考答案：D略7.若1≤log2（x﹣y+1）≤2，|x﹣3|≤1，则x﹣2y的最大值与最小值之和是（）A．0 B．﹣2 C．2 D．6参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件1≤log2（x﹣y+1）≤2，|x﹣3|≤1，作出可行域如图，1≤log2（x﹣y+1）≤2，可得1≤x﹣y≤3由，解得B（2，﹣1）．由，解得A（4，3），化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（2，﹣1）与A（4，3）时，目标函数取得最值，z有最小值为：4﹣2×3=﹣2，最大值为：2+2×1=4，最大值与最小值之和为：2．故选：C．8.设双曲线－

＝1与－＝1（a＞0,b＞0）的离心率分别为e、e，则当a、b变化时，e+e最小值是（

）A

4

B

4

C

D

2参考答案：A

错因：学生不能把e+e用a、b的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。9.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，?=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C． D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及?=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由?y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1?y2=﹣m，∵?=2，∴x1?x2+y1?y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．10.设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充要条件的定义，逐一分析“x＞y”?x＞|y|”和“x＞|y|”?“x＞y”的真假，可得答案．【解答】解：当x=1，y=﹣2时，“x＞y”成立，但“x＞|y|”不成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的不充分条件，当“x＞|y|”时，若y≤0，“x＞y”显然成立，若y＞0，则“x＞|y|=y”，即“x＞y”成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要条件，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.巳知等比数列满足，且，则当时，则______________参考答案：,又故12.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．参考答案：略13.在数列中，若，，则_______________．参考答案：514.将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过的概率___________参考答案：略15.观察下列等式：（1+x+x2）1=1+x+x2，（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，…由以上等式推测：对于n∈N*，若（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n则a2=．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a2的等式．【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式中a2为：1+2+3+4+…+n=故答案为：．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16.不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是

．参考答案：（﹣，﹣）【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】根据不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，利用根据根与系数的关系可得a=5，b=﹣6，因此不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，解之即得﹣＜x＜﹣，所示解集为（﹣，﹣）．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=﹣6；不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）故答案为：（﹣，﹣）【点评】本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集，求参数的值并解另一个一元二次不等式的解集，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根与系数的关系等知识点，属于基础题．17.如右图，圆锥中，、为底面圆的两条直径，，且，，为的中点.异面直线与所成角的正切值为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知命题：关于的不等式的解集为空集；命题：函数没有零点，若命题为假命题，为真命题.求实数的取值范围.参考答案：解：对于命题：∵的解集为空集∴，解得

对于命题：没有零点等价于方程没有实数根①当时，方程无实根符合题意②当时，解得∴

由命题为假命题，为真命题可知，命题与命题有且只有一个为真如图所示所以的取值范围为

略19.△ABC中，BC＝7，AB＝3，且＝．(1)求AC；

(2)求∠A．参考答案：解：由正弦定理及已知条件有，又所以.

由余弦定理有,即,所以，所以.20.数列中，，.（1）求证：（2）设，，证明：参考答案：略21.近年来，人们对食品安全越来越重视，有机蔬菜的需求也越来越大，国家也制定出台了一系列支持有机肥产业发展的优惠政策，鼓励和引导农民增施有机肥，“藏粮于地，藏粮于技”．根据某种植基地对某种有机蔬菜产量与有机肥用量的统计，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y（百斤）与使用有机肥料x（千克）之间对应数据如下表：使用有机肥料x(千克)345678910产量增加量y(百斤)2.12.93.54.24.85.66.26.7

（1）根据表中的数据，试建立y关于x的线性回归方程（精确到0.01）；（2）若种植基地每天早上7点将采摘的某有机蔬菜以每千克10元的价格销售到某超市，超市以每千克15元的价格卖给顾客．已知该超市每天8点开始营业，22点结束营业，超市规定：如果当天16点前该有机蔬菜没卖完，则以每千克5元的促销价格卖给顾客(根据经验，当天都能全部卖完)．该超市统计了100天该有机蔬菜在每天的16点前的销售量(单位：千克)，如表：每天16点前的销售量(单位：千克)100110120130140150160频数10201616141410

若以100天记录的频率作为每天16点前销售量发生的概率，以该超市当天销售该有机蔬菜利润的期望值为决策依据，说明该超市选择购进该有机蔬菜110千克还是120千克，能使获得的利润更大？附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．参考数据：，．参考答案：（1）（2）选择购进该有机蔬菜120千克，能使得获得的利润更大【分析】（1）求出，，结合题目所给数据，代入回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式中，即可求出线性回归方程；（2）分别计算出购进该有机蔬菜110千克利润的数学期望和120千克利润的数学期望，进行比较即可得到答案。【详解】（1），

因为，

所以，，

所以关于的线性回归方程为.（2）若该超市一天购进110千克这种有机蔬菜，若当天的需求量为100千克时，获得的利润为：（元）；若当天的需求量大于等于110千克时，获得的利润为：（元）记为当天的利润(单位：元)，则的分布列为450550

数学期望是若该超市一天购进120千克这种有机蔬菜，若当天的需求量为100千克时，获得的利润为：（元）；若当天的需求量为110千克时，获得的利润为：（元）；若当天的需