广东省阳江市阳春第五高级中学高三数学理月考试卷含解析

广东省阳江市阳春第五高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在的大致区间是（

）A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）参考答案：B2.已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C考查复数的相关知识。，实部、虚部均小于0，所以在复平面内对应的点位于第三象限。3.已知抛物线，过点)作倾斜角为的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器﹣﹣商鞅同方升，其主体部分的三视图如图所示，则该量器的容积为（）

A．252 B．189 C．126 D．63参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，可得直观图为长方体，即可求出体积．【解答】解：由三视图，可得直观图为长方体，体积为12×3×7=252，故选A．【点评】本题考查由三视图求体积，考查数形结合的数学思想，确定几何体直观图的形状是关键．5.已知向量,则与夹角的余弦值为A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知，则与的夹角为A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：答案:C7.如图，给出的是的值的一个程序框图，框内应填入的条件是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略8.已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 A． B． C．2 D．2参考答案：B抛物线的焦点坐标为。双曲线的右焦点为，则。渐近线为，因为一条渐近线的斜率为，所以，即，所以，即，即，选B.9.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．

B．

C．

D．参考答案：D【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数

，只有

D．既是奇函数又是增函数

故答案为：D10.设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．0＜x＜1 B．0＜x＜4 C．0＜x＜3 D．3＜x＜4参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由f（x）＜1，可得x2﹣3x＜0，解得x范围，即可判断出结论．【解答】解：由f（x）＜1，可得x2﹣3x＜0，解得0＜x＜3，可得：0＜x＜1是使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为

▲

.参考答案：

12.已知x，y均为正实数，且x+3y=2，则的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y均为正实数，且x+3y=2，则==≥=，当且仅当x=y=时取等号．∴的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则?UA=．参考答案：[﹣1，3]考点：并集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．解答：解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，所以?UA={x|﹣1≤x≤3}，即?UA=[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．点评：本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．14.的二项展开式中，常数项为______________

参考答案：-54015.已知数列的前n项和为，且点在直线上，则数列的通项公式为

。参考答案：略16.等差数列中，则该数列的通项公式_________..参考答案：【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】3n-5

∵等差数列{an}中，a5=10，a12=31，∴，

解得a1=-2，d=3，∴an=-2+3（n-1）=3n-5．故答案为：3n-5．【思路点拨】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式．17.若函数f（x）=，则函数f（x）的定义域是

．参考答案：{x|x＜1且x≠0}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】要使函数有意义，则需1﹣x＞0，且lg（1﹣x）≠0，解得即可得到定义域．【解答】解：要使函数有意义，则需1﹣x＞0，且lg（1﹣x）≠0，即有x＜1且x≠0．则定义域为{x|x＜1且x≠0}．故答案为：{x|x＜1且x≠0}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意分式分母不为0，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在等比数列中，，数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若，恒成立，求的取值范围.

参考答案：(Ⅰ)设公比为，则..……………………2分时，.∴………………………5分（Ⅱ），，两式相减得：.∴时，；时，，，两式相减得：.∴,有.……………7分,记，则，∴，∴数列递增，其最小值为.故.…………………12分略19.（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面，，，，是的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面；（3）求五面体的体积.参考答案：（1）证明：连接，与相交于点，则点是的中点，连接，

∵是的中点，

∴∥，.

……………1分

∵∥平面，平面，平面平面，

∴∥.

……………2分

∵，

∴∥，.

∴四边形是平行四边形.

∴∥，.

……………3分

∵平面，平面，

∴∥平面.

……………4分（2）证法1：取的中点，连接，则，

由（1）知，∥，且，

∴四边形是平行四边形.

∴∥，.

……………5分

在Rt△中，，又，得.

∴.

……………6分

在△中，，，，

∴.∴.

……………7分∴，即.∵四边形是正方形，∴.

……………8分∵，平面，平面，∴平面.

……………9分证法2：在Rt△中，为的中点，∴.在△中，,∴.∴.

……………5分∵∥,∴.

……………6分∵平面,平面,,∴平面.∵平面,∴.

……………7分∵四边形是正方形，∴.

……………8分∵平面,平面,,∴平面.

……………9分（3）解：连接，

在Rt△中，，

∴.

由（2）知平面，且∥，

∴平面.

……………10分

∵平面,∥，

∴平面.

……………11分

∴四棱锥的体积为.

………12分∴三棱锥的体积为.………13分∴五面体的体积为.

……………14分20.(本小题满分12分)已知函数（Ⅰ）求函数的对称中心和单调区间；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．参考答案：解(Ⅰ）原式整理得，

（2分），对称中心为（4分），单调增区间为单调减区间为

（6分）（2）∵，∴，∴C＝

（7分）∵与共线，及由正弦定理得

（8分）由余弦定理得

（9分），∴

（12分）21.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩.例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B等级的概率为0.18.ABCA7205B9186C4(Ⅰ)求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，

求的值；（Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知,,随机变量，求的分布列和数学期望.

参考答案：（Ⅰ）依题意，，

得

..……………（2分）

（Ⅱ）由，得.∵，∴

.…………（6分）（Ⅲ）由题意，知，且，∴满足条件的有：(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12)，共6组.∵，∴的取值为1,3,5,7.，，，.故的分布列为1357P∴

.……………（12分）略22.若{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意，存在，使得，则称{an}是{cn}的“分隔数列”.（1）设，证明：数列{an}是{cn}的分隔数列；（2）设是{cn}的前n项和，，判断数列{Sn}是否是数列{dn}的分隔数列，并说明理由；（3）设是{cn}的前n项和，若数列{Tn}是{cn}的分隔数列，求实数a，q的取值范围．参考答案：（1）证明见解析；（2）数列不是数列的分隔数列；（3）.【分析】（1）由新定义，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m＝2n，即可得证；（2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断；（3）讨论a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范围．【详解】（1）∵{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，∴cn≤am＜cn+1，∵cn＝2n，am＝m+1，∴2n≤m+1＜2n+2，∴2n﹣1＜m≤2n+1，∴m＝2n，∴对任意n∈N*，存在m＝2n∈N*，使得，则称{an}是{cn}的“分隔数列；（2）cn＝n﹣4，Sn是{cn}的前n项和，dn＝c3n﹣2，∴dn＝（3n﹣2）﹣4＝3n﹣6，∴d1＝﹣3，∴Sn＝＝n（n﹣7），若数列{Sn}是数列{dn}的分隔数列，∴3n﹣6≤m（m﹣7）＜3n﹣3，即6（n﹣2）≤m（m﹣7）＜6（n﹣1），由于n＝4时，12≤m（m﹣7）＜18，不存在自然数m，使得不等式成立，∴数列{Sn}不是数列{dn}的分隔数列；（3）设，Tn是{cn}的前n项和，∵数列{Tn}是{cn}的分隔数列，则{cn}为递增，当a＞0时，q＞1，∴aqn﹣1≤＜aqn，即有qm﹣1＜qn（q﹣1），且qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1），当1＜q＜2时，数列最小项可以得到m不存在；q＞