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第二章矩阵第5节

矩阵的初等变换一、初等变换定义1以下三种变换称为矩阵的初等行变换:〔1〕互换矩阵的两行——换法变换〔2〕用一个非零常数乘以矩阵的某一行——倍法变换〔3〕将矩阵某一行的k倍加到另一行上去——消法变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换。

初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：定义2假设矩阵A可以经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A、B等价。定理1.初等变换不改变矩阵的可逆性。〔1〕反身性A与A等价〔2〕对称性假设A与B等价，那么B与A等价〔3〕传递性假设A与B等价，B与C等价，那么A与C等价〔Ⅲ〕标准形矩阵定义3.假设矩阵A经过有限次初等变换变成标准形矩阵D，那么称D为矩阵A的等价标准形。定理2.任意一个矩阵经过假设干次初等行变换均可化为阶梯形矩阵，再经过假设干次初等行变换可变为简化阶梯形矩阵。定理3.任意一个矩阵可经过假设干次初等变换化为标准形矩阵。行变换：①先将前面元素为0的往下挪，前面元素为1的往上挪；②从上往下将首非零元下面的元素变为0；——阶梯形矩阵③将首非零元变为1；④从下往上将首非零元上方的元素变为0；——简化阶梯形矩阵列变换：⑤利用首非零元将同行其他元素化为0；⑥零列移到右边。——等价标准形二、初等矩阵矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是什么？,如何把它们用等号联系起来？

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。定义4记号〔1〕换法变换〔2〕倍法变换〔3〕消法变换问:以下矩阵是否初等矩阵?性质：1〕初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵。2〕初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。〔左行右列原那么〕

对一个m×n阶矩阵A施行一次初等行变换，相当于用一个相应的m阶初等矩阵左乘A；对矩阵A施行一次初等列变换，相当于用一个相应的n阶初等矩阵右乘A。定理4证明：〔只证行变换的情形，列变换与此类似〕将矩阵A按行分块，那么有三、初等变换法求逆矩阵可逆矩阵经过初等行变换得到的简化阶梯形矩阵是同阶单位矩阵。定理5推论1.推论2.推论3.例1

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