河南省2022-2023学年高三上学期第一次月考试卷数学试题（解析版）

河南省顶级名校2023届高三上学期第一次月考试卷

数学（答案在最后）

ー、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求.）

1.已知复数Z满足l+zi=z-i,则2=（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】由题设l+i=（l—i）z,利用复数的除法求z.

【详解】由题设,l+i=（l-i）z,则2=とユ=竺じ=i.

1-i2

故选:A

2.已知集合用={ク川关于ス的方程レー〃ぽ+2加=0无实数根},N={〃|方程

丄+ユー=1表示椭圆},则Mp|N=（）

〃ー210-n

A.（2,8）B.{点（w）|0v机<8,2<〃vl0}

C.（2,6）u（6,10）D.（2,6）u（6,8）

【答案】D

【解析】

【分析】利用/<0求集合A,根据曲线表示椭圆求集合8,再应用集合的交运算求

McN.

【详解】由X?—g+2机=0无实根,则△=［ガ—8，〃<0,即（）<m<8,

n-2>0

由-L+_Z_=i表示椭圆,则0ー〃>0,可得2<〃<6或6<〃<10,

n-2\0-n0［ハ

〃ー2w10ー〃

所以{优|0<〃z<8},N={〃|2<〃v6或6<れ<10}.

故MC|N=（2,6）D（6,8）.

故选:D

3.已知边长为2的等边△48co为其中心,对①|A5+8C+CA［=6；②

A月・スで=2；③|砺+砺+西=0；④3前j-。わ=2这四个等式,正确的个数是

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】对于①:根据向量线性运算整理可得通+册+刀=0,理解判断:对于②、

④:根据向量数量积的定义。♦わ=|WWcos6,代入运算判断,注意对向量夹角的理解;

对于③:根据G为三角形的重心0る+G豆+6で=6,理解判断.

【详解】对于①：AB+BC+CA=AC+CA=Q＞则|而+及+セス=0,...①错误;

uunumnuinuuuii

对于②：AB-AC=ABACcosA=2x2x—=2f.,•②正确;

2

对于③:根据题意可知。为等边△A5C的重心,，。4+0月+クで=0

则|函+砺+ので1=0,.•.③正确；

对于④：3AO-OB=3^AO^OB\COS(TI-ZAOB)=3x^-x^-x^=2，.•.④正确;

故选;C.

4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图,空气质量指数(AQI)小于100表示

空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,则下列说法不正确的是

()

空气质加指数(AQI)

012345678910111213141516日期

A.这16日空气重度污染的频率为0.5

B・该市出现过连续4天空气重度污染

C.这16日的空气质量指数的中位数为203

D.这16日的空气质量指数的平均值大于200

【答案】D

【解析】

【分析】通过计算可以判断选项ABC正确,选项D不正确.

【详解】解:这16日空气重度污染的频率为ー=0.5,故A中说法正确;

16

12日，13日,14日,15日连续4天空气重度污染,故B中说法正确:

中位数为丄x(192+214)=203,故C中说法正确;

2

x=200+—x[14+75+43+M3)+(-120)+(-48)+60+(-117)+M0)+(-21)

16

+(-62)+14+21+63+23+(-8)]=200-------v200.故D中说法不正确.

16

故选:D

5.执行如图所示的程序框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入的条件是()

/输出ッ

［贏)

A.k<6?B.k<7?C.k<8?D.

k<9?

【答案】B

【解析】

【分析】根据框图,进行循环计算,当s=3时,即可退出,进而求得判断框内应填入的条件.

【详解】当た=2,S=l/og2(3)=log2(3)

当ス=3,S=log2⑶.log3(4)

当&=4,S=log?(3)•log?⑷log’(5)

当イ=5,S=log?(3)•log?(4)log4(5)log5(6)

当&=6,S=log?(3)•logs(4)log,(5)log,(6)log6(7)

当た=7,S=log?(3)•log：(4)log式5)幅(6)log6(7)log7(8)=log2(8)=3

故可知判断框内应填入的条件是:んW7?

故选:B.

【点睛】本题考查了根据输出结果求判断框应填入的条件,解题关键是掌握根据框图计算的

方法和对数运算法则，考查了计算能力和分析能力,属于基础题.

yK

C.-1/\1.D.ヽ/»

71vi\r

【答案】B

【解析】

【分析】由条件可得y=チ,显然定义域为R,且过点（0,1）,当x〉〇时.，y=ラ是减函

数,即可选出答案

【详解】若变量須y满足卜|一，〃丄=o,则ド=ーソ,显然定义域为R,且过点（（）,リ,故排

ye

除。,D

再根据当x>0时，y是减函数，排除A

e1

故选8

【点睛】本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合运用，

以及函数的定义域,值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题.

7.已知矩形ABC。中,A6=4,A。=3.如果向该矩形内随机投一点P,那么使得

AABP与AADP的面积都不小于2的概率为

1144

A.-B.-C.-D.一

4379

【答案】D

【解析】

由题意知本题是一个几何概型的概率,

以AB为底边,要使面积不小于2,

由于S.ABP=~ABxh=2h,

则三角形的高要/?》1,同样，点到的距离要不小于］,满足条件的P的区域如图,

其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是(4-g](3-1)=?,

16

.•・使得△48尸与dOP的面积都不小于2的概率为:ラ4.

4x3-5

故选D.

8.已知正方体ABCカーんBiGOi中,点E是线段んり靠近点。i的三等分点,点ド,6分

别为GA,SC的中点.下列说法中正确的是()

A.A,C,E,ド四点共面

B.AA与Bの所成夹角为60°

C.BG〃平面ACG

D.三棱锥D—ACDX与三棱锥B—ACDi体积相等

【答案】D

【解析】

【分析】根据两平行线确定一个平面,以及两平面相交时交线唯一即可判断A,根据向量

垂直可得直线垂直,进而判断B,根据线面平行得矛盾可判断C,根据等体积法即可判断D.

建立如图所示的空间直角坐标系;设正方体的棱长为3,则

E(l,0,3),A(3,0,0),F：|,|,3,C(0,3,0)，〃(〇,0,3)由(3,3,3),D(0,0,0)

必=(-3,0,3),亜=(-3,-3,-3),

取んり的中点为M,则MF//AG,又AG//AC,因此ル仆"//AC,故A，C,尸,〃四点

共面,又平面假如直线AEu平面ACE0,则这与平面AA与平面

ACFM的交线是40矛盾，故んC,旦ド四点不共面，A错误;

_____________«,UULIUUU

故的-4。=9+0-9=0,所以AR丄/ハ,进而Aル与耳。垂直，故B错误;

因为BC7/A。,AOu平面AC。,8C・平面AC?,所以8C7/平面AC",若6G//平

面ACR,则平面8GC"/平面AC?,显然矛盾,故C错误:

勿ー4CD）=%-ACD，シACR=匕"AC8,由于△AC。三△ABC,故底面和高均相等,因此体积相

等，D正确.

故选:D

9.有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60。角,且母线长恰好等

于上下底半径之和,在圆台内放置ー个球,当球体积最大时,设球的表面积为$,圆台的

侧面积为$2,则（）

A.S,>S2B.<S2C.5,=5,D.无法确

定5与邑的大小

【答案】B

【解析】

【分析】根据母线与下底面成60角,且母线长恰好等于上下底半径之和,得到わ=3。,

通过计算得到圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，此球体积最大且半径

是けa,计算出ふ与其，比较出大小.

【详解】如图所示,过点D作DE丄AB于点E,设圆台上下底半径分别为《わ，由其母

线与下底面成60°角,且母线长恰好等于上下底半径之和,

则AE=CD=a,BE=/?—a,£）8=a+Z?,且a+/?=2（b—a）,解得:b=3a,

故AC==也BE=あ［b-a）=2あa,

取AC中点〇,过点〇作OH丄BD于点H,连接OB,OD,

则由勾股定理得:OD=イろ。2+cr）2=2a，BO=y/o^+AB2=2Gz，

又BD?=0。2+0庁,由勾股定理逆定理可得:OB10D,

所以OHJBOD=2ax2®i=あa,

BD4a

故满足条件的圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球,

此球体积最大且半径是あa,表面积5.=12兀イ,

圆台上下底的半径分别为a、3a,母线长为4a,

侧面积S2=兀（。+3。）,4。=1671tt2,

则SC.

10.奇函数/（x）=cos®x+の3>0,0w（O,兀））在区间一う，ピ上恰有一个最大值和

ー个最小值,则0的取值范围是（）

「9

A.[2,6）B.2,1

'3い「3.

C.一,—D.一,6

し22丿12

【答案】B

【解析】

TT/、兀兀

【分析】根据函数奇偶性求出タ=一,从而/（x）=—sinの％,根据xe得到

2一34一

SXG..-,列出不等式组,求出の的取值范围.

【详解】因为〃x）=cos（のx+の3>0,。€（0,兀））为奇函数,

所以タ=—,即/（x）=-sinのス,当ス£时,贝リSX€—,マー

3兀の兀兀

—く——

23~2

71(071,3兀

所以く—<——<—

242

の>0

9

解得:のG2,-

故选:B

11.已知ん8是抛物线C:ザ=4ス上两动点,ド为抛物线C的焦点，则下列说法错误的

是（）

A.直线AB过焦点ド时,IA却最小值为4

B.直线A3过焦点ド且倾斜角为60。时(点A在第一象限)，|A尸|=2忸冃

C.若A3中点M的横坐标为3,则|A网最大值为8

D.点A坐标(4,4),且直线AF,45斜率之和为〇,Aド与抛物线的另ー交点为ハ,则

直线3。方程为:4x+8y+7=0

【答案】B

【解析】

【分析】对于A,易知当A3垂直于x轴时，目取最小值4,故A正确;

对于B,联立方程求得ム与ム,从而得到|んド|=可ら冃,故B错误;

对于C,由冃+怛冃可推得当直线AB过焦点ド时，|A却最大值为8,故C正

确:

对于D,利用条件分别求出Aク的坐标，从而求得直线5。的方程,故D正确.

【详解】解:直线过焦点ド,则由焦半径公式得|用=ム+ム+〃=ム+/+2,当

垂直于ス轴时，|AB|取最小值,此时|相|=1+1+2=4,故A正确;

对于B选项，由题可知，直线A8为y=g(x—1),代入ザ=4x,整理得

3ドーm+3=0,解得x=;或x=3,所以|Aド|=3+q=4,|叫=；+夕;即

\AF\=3\BF\,故B错误;

对于C,由于A3为两动点，所以|ん8闫4冃+忸冃=ム+/+2=8,当且仅当直线

AB过焦点ド时等号成立,故C正确;

对于D选项,依题意知亂=心,,ド(1,0),所以

k/ノー％_ルー如.4

”一3ームールー应ー量ー”+%,解得如=-1,即。

44

レー4厂あー%.—ーカー4

因为直线AF,AB斜率之和为0,所以"3ムームザヅウ+%,解

4-4

<49ヽk/-Qi)—1

得カ=一7,即8ス,一7,所以な。ー491-2-

<ノスース

所以,直线30方程为y+l=-;（スー:）,即4x+8y+7=0,故D选项正确.

故选:B

12.将〃2个数排成〃行〃列的ー个数阵.如图:该数阵第一列的“个数从上到下构成以加为

公差的等差数列,每一行的,个数从左到右构成以加为公比的等比数列（其中相>0）.己

知=2,弓3=。61+1，记这〃2个数的和为S.下列结论正确的是（）

a\\a\2a\3a\n

a2\a22a23a2n

a3\432a33a3n

a〃2%3••••••0ハ"

占103x3*5

A.m=4B-Z限=---------

k=\-

丄〃（リ（り

C.%=（3，-1）x3，D.5=3〃+3"_

【答案】D

[解析:]

【分析】由题知2〃ド=2+（6-1）〃ッ+1,解方程得加=3,再根据等差数列与等比数列通

项公式得%=（3i-l>3/T,a«=（3Z-l>3i,进而根据分组求和和错位相减法求解依

次讨论B,D选项即可得答案.

【详解】解:ソ4]=2,43=4|+1，

.-.2m2=2+（6-l）m+l,解得加=3或—;（舍负）,故选项A错误;

,%=%-3パ=[2+（z-1）-3]-37--1=（3Z-1）-37-'）即选项C错误;

.•.^=（3^-1）-3^',

令T=Zukk,则T=4]+ル之+•••+a淑=2・3°+5•31+8・3"+•••+（3え-1）•3火।①

3T=23+5・32+81+…+（3V-4>31+（3无-4）小②

①一②得,-2T=2+3セ+3・32+3・33+.-+3・31—（3%—1>3&

3（1-3*ーリ

2+3x-^--------_（31）ず

1-3

2丿2

4二ジれーラ丿.丸

当ス=18时,シ…、。ーザ"=吗当,即选项8错误;

£4142丿4

S=（4i+0|2+---+«,„）+（021+/2+...+”2，，）+.ー+（4，1+an2+•••+«„„,）

为0—3"）«21（1-3"）册（1一3"）

=----------------1-----------------F•••H------------------

1-31-31-3

=万（3"-1）.（即+%+■,•+%）

=;〃(3〃+リ(3"-1),即选项D正确

故选:D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

x>0,

13.已知实数X，y满足,XVy,贝リz=x+2y的最小值是.

x+y>2,

【答案】3

【解析】

【详解】分析:先作可行域,再平移目标函数所代表的直线,结合图形确定最小值取法.

详解:作可行域,所以直线z=x+2y过点A(1,1)时z取最小值3.

ノけ

点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是:一，准确

无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率

进行比较,避免出错:三,一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边

界上取得.

14.若直线ア=x+。和直线y=将圆(x—l)?+(y—1)2=1的周长四等分，则

\a-t\=.

【答案】2

【解析】

【分析】由条件可得直线メ=イ+。和直线了=ス+シ间的距离为、反,由此可求レー可的

值.

【详解】设直线ぎ=》+口和圆(x—l『+(y—l)2=l相交与点ん8,直线y=x+6与圆

(スー1)2+(びー1)2=1相交于点”,双，圆心为C,

因为直线ヅ=ス+。和直线ぎ=尤+み将圆(x—1)2+(ヅ-1)2=1的周长四等分,

所以圆心位于两直线之间，且/ACB=NMCN=—,

2

万

所以△ACS为等腰直角三角形，所以圆心为C到直线メ=》+。的距离为だ,

2

同理可得圆心为。到直线y=x+わ的距离为セ,

2

故直线メ=イ+。和直线ぎ=イ+わ间的距离为、回,

所以ト厂4=J5,所以トー4=2,

V2

故答案为:2.

15.在ヘ钻。中,tanB=4tanA,则当ら-A取最大值时,sinC=

【答案】1

【解析】

【分析】利用基本不等式和三角函数两角和与差的公式,直接计算即可求解.

【详解】在へ钻。中,tanB=4tan4知tanA>0,且〇<8-A<一,

2

tanB-tanA_3tanA_33

tan(5-A)=

1+tanB-tanAl+4tan*2A妬ルヘ114

tanA

ク!

当且仅当4tairA=1=>tanA=ー时取等号,

2

••・ア=tanx在1〇,]]单调递增,则此时8—A取最大值,且tanB=2,

、れsinA-sinB

・・・tanAxtan8=---------------1,sinAsinB=cosAcosB,得cos(A+B)=0,

cosA-cosB

"+8パsin(A+B)=l,

sinC=1.

故答案为:1

16.过双曲线ラーら=l(a>0,〃>0)的右焦点尸作其中一条渐近线的垂线,垂足为Q,直

ab2

线ドQ与双曲线的左、右两支分别交于点”,N,若|MQ|=3|QN|,则双曲线的离心率是

【答案】亚

【解析】

【分析】设双曲线的左焦点为ス,连接MR设クQFO=0,分别求得

\FM\=--一=£,同理|FN|=ユ一=£,结合|M0=3|QN],求得

ccosター。b-acos6+ab+a

a='b,进而求得离心率.

2

【详解】如图所示，根据点到直线的距离公式可得点ド到直线y=^イ的距离为わ,

a

设双曲线的左焦点为ス,连接M片,则附用=|FM|-2a,

在Rt△〇。/r中,设/。ド。二。,贝リCOS8=2,

在△《MF中,由余弦定理得|M《『=|ド+|附『ー2忻用cos。,

'^\MF\^\FM\-2a代入整理后得忻⑼=—-一=—,

ccos0-ab-a

h2h2

同理|*v|=—-——=」ー,

ccosO+。b+a

b2.

b

\MQ\=\FM\-\QF\_-^-_b+a_

西一|加一|砲|一口『ーエラー九

b+a

所以。=丄わ,故离心率为、6.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）

17.已知数列｛め｝中q=1.M。,1）,ん（2,a„）,B„（3,2a,m一3）为直角坐标平面上的点.对

任意“eN*,仞、ん、纥三点共线.

（1）求数列｛q｝的通项公式:

11113

（2）求证:-----------H--------1------1----------<-.

"円"2a4。3a5anan+24

【答案】（1）an=n

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据向量共线的坐标表示:a//boxxy2=x2y,,整理得”,用一し=1,即

可判断数列｛ム｝是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解;（2）根据裂项相消求和,

1

丄邛,代入运算理解.

〃+2

【小问1详解】

由题意得:価=（1,q一1）,碗;=（2,2a,出ー4）,

•••"、ん、纥三点共线,则M4„〃M纥,可得2ムー2=2%+|-4,GP«„+1-«„=1.

...数列｛为｝是首项为1公差为1的等差数列,所以ち=〃.

【小问2详解】

111(11ヽ

,,______—________—___________

cinan+2〃(〃+2)2yn〃+2丿，

一!1111<1111111

听以----1------------1-----------F•••H------------=一!----1------------1------------F…-I-----------------

《%a2a4a3a5a〃。〃+Z2(32435れ〃+2

111V31_2〃+3,3

2(2»+1〃+2丿42(〃+1)(〃+2)4

18.如图,棱柱ABCO-ABG。中,底面ABC。是平行四边形,侧棱ん4I丄底面

ABCD,过AB的截面与侧面。ワG。交于且点P在棱上,点。在棱CG上,

且A8=1,AC=®8c=2.

（1）求证:PQ//RG；

（2）若P为。口的中点,AP与平面。2GC所成的角为2,求侧棱。。I的长.

6

【答案】（1）证明见解析

⑵472

【解析】

【分析】（1）根据AB//平面。。&。い结合线面平行的性质定理得AB//PQ,再结合

平行公理即可证明;

(2)首先证明AC丄平面8AG,进而得/CR4为”与平面CORG所成的角,即

TT

NCPA=—,设ハ尸=x,再根据儿何关系求解即可.

6

【小问1详解】

证明:因为棱柱AB8-A8C"中,底面んBCD是平行四边形,所以AB//CD,

因为A8U平面。CGり,CDu平面DCCR,

所以んB//平面。CGA，AB!平面ABQP,平面。CGAハ平面A3QP=PQ,

所以,由线面平行的性质定理有AB//PQ,

又因为棱柱ABCD—AB'C口中，AB//DC//D£,

所以PQ〃"G.

解:在底面ABC。中,♦.•ん5=1,AC=G,BC=2.

/.AB2+AC2=BC2,:.AB丄AC,:.ACLCD.

又「侧棱AA,丄底面ABCD,二CC,±底面ABCD,

；ACu面ABCD,:.CC,丄AC.

又用口。。",CC1,C7)u平面CT»AG

AC丄平面CハワG,

连接PC,则/CQ4为"与平面。ハ。G所成的角,即/CPA=て,

6

设DP=xDC=AB=1,***PC=VPD2+DC?=yjx2+1，

在Rt^ACP中,tan^<APC=-=1———=—,解得无=2夜，

2

PCy/X+l3

P为。A的中点,

/.DD、=4日

19.某保险公司有一款保险产品历史收益率（收益率=利润+保费收入）的频率分布直

方图如图所示:

（1）试估计平均收益率;

（2）根据经验,若每份保单的保费在20元的基础上每增加ズ元,对应的销量y（万份）

与X（元）有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下X与ッ的对应数据:

X（元）2530384552

y（万份）7.57.16.05.64.8

据此计算出的回归方程为y=10ーム.

①求参数5的估计值;

②若把回归方程y=10-%当作y与X的函数关系,用（1）中求出的平均收益率估计此

产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收

益.

【答案】（1）0.275（2）①0.1；②99万元.

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图,利用平均数公式求解；

（2）①先求得样本点，代入y=l〇ー弘求解;②设每份保单的保费定为20+x元，则销

量为＞=10-O.lx（万元）,得到收入为（20+x）（10—O.lx）求解.

【详解】（1）平均收益率

（0.05x1+0.15x2+0.25x2.5+0.35x3+0.45x1+0.55x0.5）x0.1=0.275；

（2）①因嚏=#25+30+38+45+5）=38,y=1（7.5+7.1+6+5.6+4.8）=6.2,

所以6.2=10—5x38,

解得ら=0.1；

②由①得回归方程y=10-().lx,设每份保单的保费定为20+x元,则销量为

y=10—().1无(万元)，

则收入(20+x)(10—O.lx),

=—0.lx?+8JV+200，

=-0.1(X-40)2+360,

所以x=40时,收益最大,最大收益为360x0.275=99万元,

所以每份保单的保费定60元时此产品可获得最大收益,最大收益99万元.

20,已知函数7(x)=3の:コ+ー厂ース一3(a为实数).

(1)当ズス)与y=-3切于A(xo,於0)),求a,ス〇的值;

(2)设ド(ス)=/''(ス)•ゼ,如果ド(x)>-1在(0,+8)上恒成立,求4的范围.

【答案】(1)a=----,xo=4；(2)6r>0.

16

【解析】

【分析】(1)利用函数的导数,函数与尸-3切于A(xo,兀⑹),列出方程组,求解即可.

(2)求出Z7(X)=(以2+よーリ.ビ的导函数ア⑴,利用ド(0)=-1.通过①当4=0时,②当

—<。<0时,③当〃=时，④当。<时,⑤当6Z>0时,判断函数的单调性,转

222

化求解。的范围即可.

【详解】解:(1)f\x)=ax2+x-1»由於)与y=-3切于点A(xo,fixo)),

11

/(ス〇)=1%3+スキ2ー/ー3=_33

则く32,斛イ寸ci-----,^〇=4.

/'(ホ)=国+ムー1=0”

(2)F(x)=(ar2+%-l)-ev,

/.Fr(x)=e\ax1+(2a+1)x),且F(0)=-1.

①当〃=0时,F(x)=^,可知ド⑴在(0,+8)递增,止匕时ド(x)>-1成立;

②当ー丄<a<0时,尸(ス)=ゼ•"(x+"里),可知ド(x)在(〇,ー即上3递增,

在（^—,+oo）递减,此时ド（ー丄）=ー6，＜一1,不符合条件;

aa

③当。=—时,F（x）=e'•（一・^ピ）＜0恒成立,可知F（x）在（0,+〇〇）递减，

22

此时F（x）＜-!成立,不符合条件;

④当。＜—时,F（x）=ex,ax^xH---------）,可知F（x）在（0,+〇〇）递减,

2a

此时F{x）＜-!成立,不符合条件;

⑤当”＞0时，ド’（x）=e*•以（x+ムセリ），可知尸（X）在（0,+00）递增,此时F（x）＞-1成立.

a

综上所述,a＞0.

【点睛】关键点点睛:本题考查了导数的几何意义,利用导数研究不等式恒成立问题,解

题的关键是求出ア（カ”（の2+（24+1）X）,讨论〃的取值范围,确定函数ド（X）的单调性,

考查了分类讨论的思想、数学运算.

21.设片,ん分别是椭圆C:=十之=1Q＞わ＞0）的左、右焦点,M是C上一点,MF2

ab~

与X轴垂直.直线MF1与c的另ー个交点为N,且直线MN的斜率为マ2.

4

（1）求椭圆C的离心率;

（2）设。（〇,1）是椭圆C的上顶点，过。任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B

两点，证明直线过定点,并求出定点坐标.

【答案】（1）Y2

2

（2）证明见解析,定点G（0,-1）

【解析】

（ら

【分析】（1）结合题意得Mc,一,进而根据直线的斜率为だ得

\a）4

c?+也〇。ーピu。,即e2+，Ze-1=0,再解方程即可得答案；

22

（2）结合（1）得圆C的方程为エ+ザ=1,进而设直线A8的方程为

2

y=kx+m,イ内,凹）,8（ら），2），再与椭圆方程联立结合韦达定理和DADB=O整理化

简得〃2=一;或机=i,再检验〃7=1不满足题意,进而得直线AB经过y轴上定点

【小问1详解】

由题意知,点M在第一象限,♦.•M是。上一点且Mん与エ轴垂直,

ダ（b2]

:.M的横坐标为c.当x=c时,y=——,即MC,—

。<a）

b2

又直线"N的斜率为苧,所以tan』5ん旦上=交,

2c2ac4

/yB

即わ2=——ac=ブ一。之‘即c2+——ac-a2=0,

22

则e?+也e—l=0,解得e=也或e=—0（舍去）,

22

叩e=也.

2

【小问2详解】

解:已知。（o,i）是椭圆的上顶点,贝リわ=1,

由（1）知e=ぎ=,解得a=也，

所以,椭圆。的方程为土+ブ=レ

2-

设直线ん?的方程为ヅ=履+グん（工|,乂）,8（工2,ル），

y=kx-vm

联立《可得（1+2ド）f+4ZTHT+2（ル2-1）=0（*）,

x2+2y2=2

-4km2（nr-\\

所以大+ム--------,x.x=-------―

1+2ピI2-1+2公

又=（%,y-1）,=（ム,必ー1），

DADB=xix2+（y一］）（%一リ=玉/+（g+m一リ（仇+机一リ

=（炉+1）あ々+厶（ノ％—り（尤1+%2）+（"Z-I）?