统计学第五章相关与回归分析

第五章 相关与回归分析第一节 相关与回归分析的基本理论一、相关与回归分析的基本概念二、相关关系的描述与测度一、相关与回归分析的基本概念1、变量间的关系（函数关系P266）函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称

y

是

x

的函数，记为

y

=

f

(x)，其中

x

称为自变量，y

称为因变量（3）例如两个变量之间存在确定性的线性关系，则各观测点落在一条线上函数关系的例子某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为y=px

(p

为单价)圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=

p

R2xy1、变量间的关系（相关关系P266-267）变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x

取某个值时，变量

y

的取值可能有几个存在随机因素对y的影响，但相比x的影响较小些如图中各观测点分布在直线周围即这些数值围绕着它们的平均数上下波动例如商品需求量y与消费者收入水平x之间的关系是相关关系，y=f（x）+e因为商品需求量还受到商品价格、季节性因素等众多因素影响

xy2、相关关系的类型（P266-268）按涉及的变量或因素多少，分为单相关和复相关按相关的方向不同，分为正相关和负相关按相关关系的表现形式不同，分为线性相关和非线性相关按相关的程度不同，分为完全相关、不完全相关和不相关

负线性相关

正线性相关

完全负线性相关

非线性相关完全正线性相关

不相关3、相关分析与回归分析相关分析的含义与内容回归分析的含义与内容相关分析与回归分析的区别相关分析与回归分析的联系（1）相关分析（含义与内容P267）含义：对两个或两个以上现象之间数量关系上的不确定性依存关系进行的统计分析目的在于探求现象之间是否存在相关关系，以及相关关系的密切程度内容：**判断现象之间有无关系以及相关关系的表现形式编制相关表、绘制相关图（散点图）**确定相关关系的密切程度计算相关系数，判断现象之间相关的方向及密切程度**检验现象统计相关的显著性（2）回归分析(Regression)（含义与内容P273-274）含义：对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定因变量和自变量之间数量关系变动的数学表达式，以便对因变量进行估计或预测的统计分析方法内容：**根据研究目的和现象之间的内在关系，从一组样本数据出发，确定自变量和因变量，以及变量之间的数学关系式**对回归方程的代表性和拟合程度进行评价，对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著**利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来估计或预测另一个特定变量的取值，并给出这种估计或预测的可靠程度（3）相关分析与回归分析的区别**相关分析中，变量

x

变量

y

处于平等的地位；回归分析中，变量

y

称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化**相关分析主要是描述变量x与变量y之间关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量

x

对变量

y

的影响大小，还可以由回归方程进行估计或预测等（4）相关分析与回归分析的联系**它们不仅具有共同的研究对象，而且在具体应用时，常常必须互相补充**相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度**只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义相关分析是回归分析的基础和前提；回归分析是相关分析的深入和继续。二、相关关系的描述与测度(散点图、相关系数)相关分析及其假定(P267-268)相关分析要解决的问题变量之间是否存在关系？如果存在关系，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？本章内容为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定两个变量之间是线性关系两个变量都是随机变量相关关系的描述与测度（要点P268-272）对变量之间关系及其密切程度的度量：在进行相关分析时，判断变量之间的关系形态及关系强度首先,编制相关表（例如两个现象的变量值对应地填列在同一张表格中）;其次,绘制相关图（散点图）；最后,计算相关系数（如果呈线性关系，则可以利用线性相关系数来测度两个变量之间的关系强度和方向）；若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为r若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为

r1、相关表与散点图(例题分析P269)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据1、相关表(例题分析P269)1、散点图P270(不良贷款对其他变量的散点图)不良贷款与贷款余额的散点图642014121080100

200

300400贷款余额不良贷款不良贷款与贷款项目个数的散点图141210864200102030

40贷款项目个数不良贷款不良贷款与固定资产投资额的散点图14121086420050100150

200固定资产投资额不良贷款141210864200

10

20

30累计应收贷款不良贷款与累计应收贷款的散点图不良贷款2、相关系数(correlation

coefficient)(P270-271)度量变量之间关系强度的一个统计量对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为r若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为

r也称为线性相关系数(linear

correlation

coefficient)或称为Pearson相关系数(Pearson’s

correlation

coefficient)2、相关系数（皮尔逊直线相关系数计算公式P270-271）样本相关系数的计算公式==

(

x

-

x

)2

(

y

-

y)2(

x

-

x

)(

y

-

y)S

2r

=Sx

Sy(

x

-

x

)(

y

-

y)

/

n(

x

-

x

)2

/

n

(

y

-

y)2

/

nxy或化简为n

xy

-

x

yn

x

2

-

(

x)2

n

y

2

-

(

y)2r

=2、相关系数（相关系数取值及其意义P270-271）+1.0+0.5完全负相关无线性相关完全正相关-1.0 -0.5负相关程度增加0r正相关程度增加相关系数的性质P271性质1：r

的取值范围是

[-1,1]|r|=1，为完全相关r

=1，为完全正相关r

=-1，为完全负相关r

=

0，不存在线性相关关系-1£r<0，为负相关0<r£1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质P271性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=

ryx性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系当

r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系相关系数的经验解释P272（1）

|r|‡0.8时，可视为两个变量之间高度相关（2）0.5£|r|<0.8时，可视为中度相关（3）0.3£|r|<0.5时，视为低度相关|r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上相关系数(例题分析P273)用Excel计算相关系数累计应收贷款贷款项目个数累计应收贷款贷款项目个数第二节 一元线性回归一、一元线性回归模型二、参数b0

和b1的最小二乘估计三、回归直线的拟合优度什么是回归分析？(Regression)(P273-274)从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来估计或预测另一个特定变量的取值，并给出这种估计或预测的可靠程度回归模型(P274)回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用1

个因变量(响应变量)被预测的变量y1 个或多个自变量

(解释变量)用于预测因变量的一个或多个变量x主要用于估计或预测回归模型的类型线性回归非线性回归一元回归线性回归非线性回归多元回归回归模型一个自变量两个及两个以上自变量一、一元线性回归模型1、一元线性回归模型（概念要点和回归模型P274）当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量

y

与自变量

x

之间为线性关系时称为一元线性回归对于具有线性关系的两个变量，可以用一个线性方程来表示它们之间的关系描述因变量

y

如何依赖于自变量

x

和误差项e的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为y

=

b0

+

b1

x

+

ey

是

x

的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于

x

的变化而引起的

y

的变化误差项

e

是随机变量反映了除

x

和

y

之间的线性关系之外的随机因素对

y

的影响是不能由

x

和

y

之间的线性关系所解释的变异性b0

和

b1

称为模型的参数1、一元线性回归模型(基本假定P274)因变量

y与自变量x之间具有线性关系在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的误差项e是一个期望值为0的随机变量，即E(e)=0。对于一个给定的x

值，y

的期望值为E(y)=b

0+b

1

x对于所有的x

值，e的方差σ2

都相同误差项e是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即e～N(0,σ2

)独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的e与其他x

值所对应的e不相关对于一个特定的x

值，它所对应的y

值与其他x

所对应的y值也不相关一元线性回归模型x=x3时的E(y)x=x2时y的分布x=x1时y的分布x=x2时的E(y)x3x2x11x=x

时的E(y)b0x(基本假定P275

)yx=x3时y的分布b0+

b1x2、回归方程P275(regression

equation)描述

y

的平均值或期望值如何依赖于

x

的方程 称为回归方程一元线性回归方程的形式如下E(

y

)

=

b0+

b1

x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程b0是回归直线在

y

轴上的截距，是当

x=0

时

y

的期望值b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当

x

每变动一个单位时，y

的平均变动值代替回归方程中的未知参0ˆ(2)用样本统计量b1ˆ和b数b0和b1，就得到了估计的回归方程(3)一元线性回归中估计的回归方程为3、估计(经验)的回归方程(estimated

regression

equation)

P275-276(1)总体回归参数b0和b1是未知的，必须利用样本数据去估计0

1ˆ

ˆˆ+

b

xy

=

b计值，也表示

x

每变动一个单位时，

y

的平均变动值其中：bˆ

是估计的回归直线在

y

轴上的截距，bˆ

是直线0

1的斜率，它表示对于一个给定的

x

的值，

yˆ

是

y

的估二、参数

b0

和

b1

的最小二乘估计最小二乘估计=最小

in

ni21

i0i=1

i=12ˆ

ˆˆ(

y

-

y)-

b

x

)=

(

y

-

b(method

of

least

squares

)

P276-277德国科学家Karl

Gauss(1777—1855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得

和的方法。即（3）用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小1bˆ0

bˆKarl

Gauss的最小化图xy(x1

,

y1)(xn

,

yn)(x2

,

y2)(xi

,

yi)ii

ie

=

y

-＾yyˆ

=

bˆ0

+

bˆ

x1最小二乘法(和的计算公式)

P277和的公式

根据最小二乘法，可得求解如下ˆb0

1ˆbb0

1ˆ

ˆb估计方程的求法(例题分析)P277【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程1元，不良贷款平均增加0.037895亿元回归系数

bˆ

=0.037895

表示，贷款余额每增加1亿回归方程为：y^

=

-0.8295

+

0.037895

x估计方程的求法(例题分析)P278不良贷款对贷款余额回归方程的图2

0100

200

300不良贷款对贷款余额的回归直线400贷款余额不良贷款三、回归直线的拟合优度变差

P280因变量

y

的取值是不同的，y

取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量

x

的取值不同造成的除

x

以外的其他因素（如x对y的非线性影响、测量误差等）的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示y

-

y变差的分解（图示）

P280xyyyˆ

=

bˆ0

+

bˆ1

xy

-

yyˆ

-

y(xi

,

yi

)y

-

yˆ变差平方和的分解(三个平方和的关系)

P280SST

=SSR

+SSE=in

nini(y

-

y)-

y

+(y

)(y

-

y

)i=12i=12i=12ˆˆ总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{变差平方和的分解(三个平方和的意义)P280-281总平方和(SST—total

sum

of

squares)反映因变量的n

个观察值与其均值的总变差回归平方和(SSR—sum

of

squares

of

regression)反映自变量x

的变化对因变量y

取值变化的影响，或者说，是由于x

与y

之间的线性关系引起的y

的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE—sum

of

squares

of

error)反映除x

以外的其他因素对y

取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和判定系数R2(coefficient

o