电子科大 图论上课及复习总结 杨春5

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图论及其应用任课教师：杨春数学科学学院1本次课主要内容(一)、哈密尔顿图的概念(二)、性质与判定哈密尔顿图2

1、背景(一)、哈密尔顿图的概念

1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(IcosianGame).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。十二面体3哈密尔顿(1805---1865),爱尔兰数学家。个人生活很不幸，但兴趣广泛：诗歌、光学、天文学和数学无所不能。他的主要贡献是在代数领域，发现了四元数(第一个非交换代数)，他认为数学是最美丽的花朵。哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.JacquesandSons公司(该公司如今以制造国际象棋设备而著名)，1859年获得专利权。但商业运作失败了。该游戏促使人们思考点线连接的图的结构特征。这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。

2、哈密尔顿图与哈密尔顿路定义1如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。所经过的闭途径是G的一个生成圈，称为G的哈密尔顿圈。4例1、正十二面体是H图。

十二面体5例2下图G是非H图。证明：因为在G中，边uv是割边，所以它不在G的任意圈上，于是u与v不能在G的同一个圈上。故G不存在包括所有顶点的圈，即G是非H图。图Guv定义2如果存在经过G的每个顶点恰好一次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。uv图G6(二)、性质与判定

1、性质定理1(必要条件)若G为H图，则对V(G)的任一非空顶点子集S，有：证明：G是H图，设C是G的H圈。则对V(G)的任意非空子集S,容易知道:所以，有：7注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满足时，可断定对应图是非H图。例3求证下图是非H图。证明：取S=｛2,7,6｝,则有：543218769所以由定理1知，G为非H图。G8注意：满足定理1不等式的图不一定是H图。例如：著名的彼德森图是非H图，但它满足定理1的不等式。Peterson图彼得森(1839----1910)，丹麦哥本哈根大学数学教授。家境贫寒，因此而辍过学。但19岁就出版了关于对数的专著。他作过中学教师，32岁获哥本哈根大学数学博士学位，然后一直在该大学作数学教授。9彼得叔森是获一位纹出色歉的名吨教师尚。他仆讲课蓝遇到吐推理赠困难跳时，森总是承说：器“这厘是显顶而易金见的啦”，壮并让浪学生扩自己威查阅些他的导著作雕。同胸时，耕他是聋一位挺有经胁验的汤作家党，论器述问讲题很公形象饺，讲远究形牛式的孤优雅个。18锋91年，岛彼得巡寿森发肿表了坐一篇禽奠定享他图捏论历灭史地苏位的响长达28页的慰论文鸭。这风篇文索章被徒公认擦是第楚一篇投包含域图论估基本绩结论汪的文忽章。催同时肃也是墓第一彩次在也文章乳中使验用“柜图”柄术语甚。18恼98年，伐彼得处森又征发表灶了一贱篇只撤有3页的菜论文壤，在鞠这篇航文章春中，满为举喇反例艰构造井了著虎名的袋彼得止森图虾。102、判蒜定图的H性判与定是NP扇-困难唱问题值。到通目前槐为止爬，有筐关的切定理途有30痰0多个山，但悄没有禁一个绵是理姑想的莲。拓背展H图的傻实用鲁特征嫩仍然筒被图斗论领胀域认冬为是尝重大笨而没匀有解俱决的临问题秩。图的晌哈密席尔顿酒问题徒和四传色问销题被乘谓为妙挑战静图论蛋领域15借0年智石力极但限的股总和凝。三渴位数燥学“摸诺奖第”获招得者Er切dÖs、Wh惭it彻ne绘y、Lo表vá修sz以及Di肯ra饥c、Or回e等在俱哈密炒尔顿值问题垄上有抢过杰劈燕出贡凳献。下面殿，介下绍几阔个著击名的鸦定理仔。11定理2矿(充分圈条件)对于n≧3的单老图G，如兽果G中有顷：那么G是H图。证明:若不脂然，尿设G是一连个满宫足定林理条总件的甚极大津非H简单啊图。蔬显然G不能域是完能全图总，否弟则，G是H图。于是困，可劫以在G中任捉意取蒙两个脸不相荡邻顶层点u与v。考雄虑图G如+反u勤v，由G的极罚大性牧，G+吃u虽v是H图。蚊且G+预u赚v的每呜一个H圈必爸然包精含边u缘瑞v。12所以社，在G中存技在起窄点为u而终射点为v的H路P。不失遣一般拨性，企设起优点为u而终抚点为v的H路P为：vnvn-1vi+1viv3v2v1P令：13对于S与T,显然碑，另一绝方面旷：可灯以证摸明：所以仇：否则拳，设那么别，由由vnvn-1vi+1viv3v2v1P这样俩在G中有H圈，距与假菠设矛口盾！14于是席：这与阳已知畜矛开盾！注：颂该定袍理是姻数学显家Di璃ra坚c在19铁52年得酬到的掏。该抄定理授被认黄为是H问题耗的划液时代逐奠基您性成梁果。Di波ra鹊c曾经历是丹阀麦奥睡尔胡捷斯大逼学知是名教味授，寺杰出乎的数科学研端究者韵。其械父亲(继父)是在笼量子哥力学荒中做拉出卓斧越贡柿献的市物理霞学家沈狄拉土克，19鹊33年获颈诺贝歼尔物榜理学蔽奖。Di液ra驴c发表寸关于H问题买论文39篇。天他19慢52年的扑定理虏将永倒载史腿册！1519玩60年，美国螺耶鲁棋大学启数学扬家奥勒（Or舞e）院士寻考察苗不相东邻两典点度味和情贡况，叔弱化洪了Di苗ra物c条件准，愿得到胜一个支光耀并千秋案的结候果。Or郑e发表观关于H问题盈论文59篇。定理3祸(充分尘条件)对于n≧3的单调图G，如递果G中的资任意裤两个违不相狱邻顶质点u与v，有捷：那么躺，G是H图。注:此(1死)该定奋理证藏明和笑定理2可以乐完全毁一致抛！(2痒)该定化理的炉条件匆是紧给的。延例如押：设G是由Kk+政1的一结个顶佛点和葛另一斤个Kk+业1的一忌个顶嫁点重朋合得汽到的迹图，肉那么仗对于G16的任线意两战个不符相邻出顶点u与v，有顿：但G是非H图。G=K1+2(K3)19虑76年，牛津组大学限的图论奔大师Bo造nd详y(帮迪)等在Or芝e定理鉴基础准上，轮得到智图G和它绢的闭狭包间州的同吼哈密鸡尔顿币性。注：益帮迪详的书《图论醋及其袭应用》是一雁本经校典必响读教裂材。岛有中询译本屯和习们题解头答。抱吴望屈祖译本。17引理1对于缎单图G，如波果G中有冷两个骡不相押邻顶访点u与v，满靠足：那么G是H图当研且仅笨当G酸+拾u桑v是H图。证明思：“居必要然性”栽显隙然。“充顿分性木”若不器然，栏设G是非H图，依那么G+茄uv的每改个H圈必朽然经感过边uv心,于是G含有屋一条继哈密辱尔顿(u技,孩v)路。vnvn-1vi+1viv3v2v1P18与定迅理2的证炕明相榆同，欲可推处出：定义3在n阶单慎图中付，若还对d自(u旅)衡+巡寿d百(v百)≧n的任意暴一对哄顶点u与v，均暂有u猜a代dj论v竖,则称G是闭寺图。引理2若G1和G2是同猪一个组点集V的两葱个闭标图，骄则G=挤G1∩G2是闭笛图。这与蹄条件甩矛盾擦！证明此：任括取u,体v痰∈V单(G1∩厚G2)，如安果有害：易知呼：19因G1与G2都是猫闭图趁，所疮以u与v在G1与G2中都柱邻接嫌，所陆以，美在G中也愚邻接略。故G是闭由图。注：G1与G2都是污闭图肿，它扛们的张并不宵一定鸭是闭液图。例如学：G1G2尽管G1与G2是闭尺图，已但其谎并不页是闭粉图！20定义4称阿是掘图G的闭锡包，辟如果伙它是润包含G的极烘小闭闷图。注：隔如果G本身延是闭痛图，法则其政闭包夜是它怒本身镜；如议果G不是肿闭图聪，则觉由定皮义可私以通太过在探度和独大于怀等于n的不倦相邻检顶点傍对间幸加边似来构走造G的闭冲图。震例如烛：G21引理3图G的闭诵包是柴唯一私的。证明另：设厉和是图G的两练个闭拢包，挤则：所以公，有咬：又由熔引理2知，坦是阶闭图蛛，且有：同理穴：所以划，22定理4(帮迪——闭包描定理)图G是H图当前且仅崖当它观的闭捉包是H图。证明艘：“扔必要荣性”历显然贵。“充度分性当”免：假规设G的闭浸包是H图，存我们圣证明G是H图。假设G的闭损包和G相同编，结滑论显丹然。若不杨然，窄设ei(1≦i敞≦k纽奉)是为菜构造G的闭月包而轰添加衡的所捡有边卷，由荐引理1，G是H图当棕且仅放当G+磁e1是H图，G+司e1是H图当欧且仅不当G+善e1+e2是H图,…尸,反复逢应用爱引理1，可牵以得抄到定旦理结秋论。由于态完全加图一领定是H图，摸所以既由闭锦包定仙理有疏：推论1：设G是n≧3的单理图，属若G的闭去包是孟完全柴图，秆则G是H图。23由闭其包定纲理也兼可以咳推出Di撤ra研c和Or烧e定理蛾：推论1：设G是n≧3的单独图。(1纠)若δ(G邻)≧手n/握2,则G是H图(D扯ir导ac定理);(2隆)若对于G中任崖意不百相邻法顶点u与v，都帅有d(谋u)暂+d稻(v咱)≧莲n,则G是H图.(夫Or术e定理)在闭较包定陷理的阀基础耀上，Ch林váta汁l和帮春迪进鼓一步搜得到衡图的H性的淡度序究列判脏定法质。定理5(泻Ch踪蝶vá啄ta播l—胃—度序孔列判遥定法)设简柳单图G的度佳序列跳是(d1,d2,…周,dn),这里江，d1≦d2≦…输≦dn,并且n≧近3.若对雪任意遵的m<默n/培2,或有dm>m圆,或有dn-雨m≧扶n-狼m,则G是H图。萨瓦车达定沫理的爆证明蜘方法壁：证G的闭灭包是喝完全债图。24例4求证灿下图芳是H图。证明植：在G中有仅：354218769G因n=劳9,所以担，m=唉1,以2,罚3,稳425所以吸，由代度序至列判环定法管，G是H图。注：哈密植尔顿来图研脑究简阿介哈密摆尔顿孕问题宽的研艰究一掉直是胸图论袋热点此。研丽究历仅史大命致情纽奉况如督下：(1缺)截19自52年Di昂ra蹦c定理泄是研肿究的挥奠基设性结逝果；(2雅)悠19鸟62年Or仪e定理呆是Di丛ra血c定理允的重颈要推很进；(3目)损19斩76年帮花迪的敞闭包帅定理骨是Or跃e定理茄的重疑要推