第四章随机变量数字特征

思考：

分赌本问题(产生背景)A,B

两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A

胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?第4章随机变量的数字特征4.1数学期望一.引例(射击问题)设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下:试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k012345命中次数nk21315102030频率nkn29013901590109020903090解射击次数平均射中环数=射中靶的总环数5»

k P{X

=

k}k

=1=

0·2

+1·13+

2·15+

3·10+4·20+5·3090=

0

·

2

+1·

13

+

2

·

15

+

3·

10

+

4

·

20

+

5·

3090

90

90

90

90

90=5k

=0knnkn

i

NP

{

X

=

k

}»命中环数k012345命中次数nk21315102030nk频率n290139015901090209030905nkn=

k平均射中环数频率随机波动k

=0随机波动5knn

kk

=0n

fi

¥5k

k

pk

=0随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值=?射中环数的可能值与其概率之积的累加“平均射中环数”的稳定值=¥k

=1

k

=11.

离散型随机变量的数学期望定义

设离散型随机变量

X

的分布律为P{

X

=

xk}

=

pk

,

k

=

1,2,.¥

¥若级数

xk

pk

绝对收敛,

则称级数

xk

pk为随机变量X

的数学期望,记为E(X

).即E(

X

)

=

xk

pk

.k

=1射击问题：“平均射中环数Y”的数学期望E(Y)

=0·

p0

+1·

p1

+2·

p2

+3·

p3

+4·

p4

+5·

p5.二.数学期望的定义思考：

分赌本问题(产生背景)A,

B

两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A

胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?3414+

0

·E(

X

)

=

200

·因此,B

能分配赌金50元；A能分配赌金150元。则X

所取可能值为:其概率分别为:20014=50元034若设随机变量X为:在A

胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去B

最终所得的赌金.为试问哪个射手平均水平较好?乙射手击中环数8910概率0.20.50.3实例1

谁的平均水平比较好?甲、乙两个射手,他们射击的分布律分别甲射手击中环数8910概率0.30.10.6解设甲、乙射手击中的环数分别为X1

,X

2

.E(X1

)=8

·

0.3

+9

·

0.1

+10

·

0.6

=9.3(环),E(X

2

)=8

·

0.2

+9

·

0.5

+10

·

0.3

=9.1(环),故甲射手的技术比较好.按规定,某车站每天8:00

~

9:00,9:00

~

10:00

都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立.其规律为到站时刻概率8

:

109

:

108

:

309

:

308

:

509

:

50163626一旅客8:00到车站,求他候车时间的数学期望.一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.实例2

顾客平均等待多长时间?解设旅客的候车时间为X

.(i)

X的分布律为Xpk10

30

5013266663

2·6+30·6+50·E(X)

=10

1=33.33(分).概率到站时刻9:108:108:

309:

308

:

509

:

50132666(ii)

X

的分布律为kp36X

10

30

50

70

9026

66

61

36

6

662 1

·

1 1

·

3 1

·

26

6

6

6

6

6

690·1·=27.22分+70·1·

+30·2

+50·1·E(X)

=10·3

+旅客8:20到车站,则有两种情况：8点到9点的客车还没有到站；8点到9点的客车在8.10到站并出发。实例3

商店的销售策略试求该商店一台家用电器收费Y

的数学期望.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使用寿命为X

(以年计),规定:X

£

1,

一台付款

1500元;1

<

X

£

2,

一台付款

2000元;2

<

X

£

3,

一台付款

2500元;

X

>

3,

一台付款

3000元.设寿命

X

服从指数分布

,概率密度为

0,x

>

0,x

£

0.f

(

x)

=

10

1

e-

x

10

,解10

10P{

X

£

1}

=

1

e-

x

10

d

x

=

1

-

e-0.1

=

0.0952,1

10P{1

<

X

£

2}

=

1

e-

x

10

d

x

=

0.0861,22

10P{2

<

X

£

3}

=

1

e-

x

10

d

x

=

e-0.2

-

e-0.3

=

0.0779,3103+¥P{

X

>

3}

=1

e-

x

10

d

x

=

e-0.3

=

0.7408.因而一台收费Y

的分布律为Y1500

2000

2500

30000.0952

0.0861

0.0779

0.7408pk得

E(Y

)

=

2732.15,即平均一台家用电器收费2732.15

元.Xp1

0p

1

-

p例4.

两点分布已知随机变量X

的分布律为则有E(

X

)

=

1

p

+

0

q

=

pp,补充：重要概率分布的数学期望l

>

0.e-l

,k

=

0,1,2,,k!P{

X

=

k}

=lk例5.

泊松分布设

X

~

π(l),

且分布律为则有¥k!E(

X

)

=

kk

=0lk¥k

=1

(k

-

1)!lk

-1e-l

=

e-l

ell

=

le-l=

ll.2.连续型随机变量数学期望+¥-¥+¥-¥+¥-¥x

f

(x)

d

x.E(

X

)

=

x

f

(x)

d

x,记为E(X

).即X

的数学期望变量x

f

(x)d

x

的值为随机,则称积分绝对收敛设连续型随机变量X

的概率密度为f

(x),若积分绝对收敛X的数学期望(均值)¥(3)由于随机变量X

的数学期望表示的是随机变量X

变化的平均值，应与级数

xn

pn的求n=1和顺序无关．因此，在定义数学期望时要求无穷级数和积分均绝对收敛。关于定义的几点说明:E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同

,

它从本质上体现了随机变量X

取可能值的真正的平均值,

也称均值.X

的数学期望EX由X的分布唯一确定，因此也称EX为某一分布的数学期望。例6.

均匀分布1,

a

<

x

<

b,其他.f

(

x)

=

b

-

a设

X

~

U

(a,b),

其概率密度为

则有¥-¥E(

X

)

=bxf

(

x)d

x

=

a

b

-

a0,122x

d

x

=

11

((aa

++

bb))..结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.补充：重要概率分布的数学期望例7.

正态分布设

X

~

N

(

μ,σ

2

),

其概率密度为1--

¥

<

x

<

+¥

.e

,

σ

>

0,2πσf

(

x)

=2σ

2(

x-

μ

)2则有xf

(

x)d

x+¥-¥E(

X

)

=e1d

x.2πσx2σ

2(

x-

μ

)2-+¥-¥=σx

-

μ令

=

t

x

=

μ

+

σ

t,σte d

t2π2π1t

22+¥-¥-+¥-¥2-te

2

d

t

+=

μ2π12-t+¥-¥(μ

+

σt)e

2

dt==

μμ.x

>

00

x

£

0X服从指数分布,密度函数为：f

(x)=le-lx+¥EX

=

xf

(x)dx-¥+¥=

xle-lx

dx0l10+¥0e dx

=-lx+¥=

-

xe

-lx

+例8.

指数分布设C

是常数,则有E(C

)=C

.证明

E(

X

)

=

E(C

)

=

1

·C

=

C

.设X

是一个随机变量,C

是常数,则有E(CX

)

=

CE(

X

).证明

E(CX

)

=

Cxk

pk

=

C

xk

pk

=

CE(

X

).k

k例如

E(

X

)

=

5,

则

E(3

X

)

=

3E(

X

)

=

3

·5

=

15.三、数学期望的性质例9设随机变量X的分布律为求随机变量函数Y

=

X

2的数学期望解解法一先求Y的分布律为E(Y

)

=

0

·

0.25

+1·

0.40

+

4

·

0.25

+

9

·

0.10

=

2.30解法二E(Y

)

=

(-2)2

·

0.10

+

(-1)2

·

0.10

+

02

·

0.25+12

·

0.20

+

22

·

0.15

+

32

·

0.10

=

2.30二、随机变量函数的数学期望(1).若X

的分布率为Pk

=

P{X

=

xk

}¥EY=

Pk

g(

xk

)k

=1¥

g(x)f

(x)dx绝对收敛，-¥k

=

1,2,¥k

=1(2).若X

的概率密度为f

(x)，且¥则EY=

g(x)f

(x)dx

。-¥且

Pk

g(

xk

)

绝对收敛,

则1.一维定理1：设Y=g(X),g(x)是x的连续函数。-¥

-¥¥

¥

g(x,y)f

(x,y)dxdy

绝对收敛，¥

¥则：EZ=

g(x,

y)

f

(x,

y)dxdy

。-¥

-¥i,

j

=1i,

j

=1(2).

若(X

,Y

)的概率密度为f

(x,y)，且2.二维定理2：若(X

,Y

)是二维随机变量，g(x,y)是二元连续函数，

Z

=g(x,y)(1).

若(

X

,Y

)

的分布律为P{X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

Pij

，¥

¥且

g(xi

,y

j

)Pij

绝对收敛；则EZ=

g(xi

,y

j

)Pij

。10此二定理的重要意义为，求随机变量函数的期望时，不必先求函数的分布，再求函数的期望，而是直接利用自变量的分布求。20定理2可推广到n维随机变量的情况。3.说明Y

X123-

10.20.1000.100.310.10.10.1E[(

X

-Y

)2

].求:

E(Y X

)

,实例4

设

(

X

,

Y

)

的分布律为p0.20.10.10.10.10.30.1(

X

,Y

)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1)(3,0)(3,1)Y

X-

101-

1

21

201

3p0.20.10.10.10.10.30.1(

X

,Y

)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1)(3,0)(3,1)(

X

-

Y

)24109194得E[(X

-Y

)2

]=4

·

0.3

+1·

0.2

+0

·

0.1

+9

·

0.4=5.32

2+

·

XEY

=-1·0.2+0·0.1+1·0.1

1·0.1+1·0.1+0·0.3

1

0.1-于是151=

-

.3.

设

X,

Y

是两个随机变量,

则有E(

X

+

Y

)

=

E(

X

)

+

E(Y

).证明E(

X

+

Y

)

=

(

xk

+

yk

)pkk=

xk

pk

+

yk

pk=

E

(

X

)

+

E

(Y

).k

k4.

设X,Y

是相互独立的随机变量,则有E(

XY

)

=

E(

X

)E(Y

).注意：只有在独立条件下随机变量乘积的数学期望等于数学期望的乘积。说明

连续型随机变量

X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.0,其它；2,(

x,

y)

˛

Af

(

x,

y)

=

解：例5：设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。0

xyx

+

y

+1

=

0-1-1xf

(x,

y)dxdy

=130

0

dx

x

2dy

=

--1

-1-x10