第二节 全等三角形的应用

第二节全等三角形的应用

第二节全等三角形的应用一、课标导航二、核心纲要1.证明线段相等的方法(1)等量代换。(2)面积法：若两个三角形面积相等，且底相等，则高相等（或高相等，则底相等）。(3)证明两条线段所在的两个三角形全等。2.证明角相等的方法(1)对顶角相等。(2)同角（等角）的余角（补角）相等。(3)利用平行线的性质进行证明。(4)证明两个角所在的两个三角形全等。3.证明两条线段的位置关系（平行和垂直）的方法(1)平行：利用平行线的判定进行证明。(2)垂直：利用垂直的定义进行证明。证明平行或垂直通常要进行导角。在三角形中，我们可以考虑证明两个三角形全等。4.证明三角形全等的思维方法(1)可以从结论出发，需要证明哪两个三角形全等。(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等。(3)可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等。(4)有的问题一次全等不能解决问题，可能考虑二次全等。(5)若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。5.添加辅助线构造全等三角形的常用方法我们要学会从已知条件或所要证的结论出发，寻找恰当的辅助线。(1)直接连接法：连接已知点构造全等三角形。(2)延长法：延长已知边构造全等三角形。(3)作高：作高构造全等三角形。(4)作平行线：引平行线构造全等三角形。(5)取中点：取某条线段的中点构造全等三角形。6.能够应用全等三角形解决实际问题。7.常见的几何模型本节重点讲解：一类模型，五个方法。三、全能突破基础演练1.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图12-2-1所示，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是SSS。2.如图12-2-2所示，AB//CD，AC//DB，AD与BC交于点O，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，那么图中全等的三角形有八对。3.如图12-2-3所示，某三角形材料断裂成工、Ⅱ、Ⅲ三块，现要配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料Ⅰ，理由是SAS。21.已知BD=CE,CD=BE，求证AB=AC。证明：由题意可知，三角形ABD与三角形ACE有BD=CE，AD=AE，角BAD=角CAE。根据三角形的相等条件可得，这两个三角形全等。因此，角B=角C，AB=AC。22.已知Rt三角形ABC与Rt三角形ADE，且∠ABC=∠ADE=90，BC与DE相交于点F，连接CD、EB。(1)全等三角形有三对：∆ABC与∆ADE，∆ABF与∆AED，∆CBF与∆CED。(2)由∆ABC与∆ADE全等可得AB=AD，AC=AE。又因为∆BFC与∆EFC相似，所以BF/EC=BC/DE=AB/AD=AC/AE。因此，BF=EC，CF=EF。即CF=EF。23.(1)由正方形的性质可知，AB=AD，AC=AG，∠AED=∠AFG=90。因此，∆AED与∆AFG全等，可以得到AE=AF，EG=ED+DG，其中DG=AB=AC。因此，AE+EG=AF+ED+DG，即△ABC的面积等于△AEG的面积加上一个梯形的面积，所以△ABC的面积大于△AEG的面积。(2)设正方形的边长为x，三角形的高为h，则x^2-a-6=h^2/2。因为正方形和三角形的面积之和等于小路的面积，所以x^2+6=h^2/2。又因为正方形和三角形的面积之和等于小路的面积，所以小路的面积为2x^2+6。24.(1)①不全等。因为BP=PC，所以∠BPD=∠CPo，但是BP≠CPo，所以△BPD与△CPo不全等。②设点Q的运动速度为v，则点P的运动速度为3v。由于AB=AC，所以∠BPD=∠CQP，又因为BP=3CP，所以△BPD与△CQP相似。因此，BD/PQ=BP/CQ=PD/QC，即BD/PQ=3/4。又因为BD=AB/2，所以PQ=3AB/8=15/4。所以点Q的运动速度为15/4秒/厘米。(2)设点P和点Q第一次在AB边上相遇，此时点P走了x秒，点Q走了y秒。由于BP=3CP，所以x=3y。又因为AB=AC，所以点P和点Q都绕着圆心O旋转，且∠BAC=120°。因此，x+y=1/3周长=20/3厘米，且x-y=BC=8厘米。解得x=11/3秒，y=1/3秒。因此，点P和点Q第一次在AB边上相遇的位置为B点。25.若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，则∠BEC和∠CFA都是锐角。设∠BEC=∠CFA=α，则∠ECB=∠FCA=90-α。因此，∆BEC与∆CFA的两个角和相等，即∠BCE+∠CAF=∠CBE+∠ACF。因为∠CBE=∠ACF，所以∠BCE=∠CAF。又因为∠ECB=∠FCA，所以∆BEC与∆CFA相似。因此，BE/CF=EC/FA=BC/CA=1，即BE=CF。因为∆BEC与∆BDC相似，所以BE/BD=EC/DC，即BD/DC=BE/EC=1。因此，BD=DC。又因为AB=AC，所以∆ABD与∆ACD相似。因此，AD^2=BD×CD=BD^2，即AD=BD=DC。因此，AB=AC=2AD。若直线CD经过∠BCA的外部，则同理可得AB=AC=2AD。如图12-2-26(a)所示，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF，EF<|BE-AF|。如图12-2