高中数学-【课堂实录】曲线与方程一教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计教学目标：1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理2．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法3．培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神教学重点：理解曲线与方程的有关概念与相互联系教学难点：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础．这正体现了几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃．本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径．求曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一根据大纲要求，本节内容分为3个课时进行教学，具体的课时分配是：第一课时讲解“曲线与方程”与“方程与曲线”的概念及其关系；第二课时讲解求曲线方程的一般方法，第三课时为习题课，通过练习来总结、巩固和深化本节知识，并解决与曲线交点有关的问题。考虑到本节内容的基础性和灵活性，可以对课本例题和练习作适当的调整，或进行变式训练针对第一课时概念强、思维量大、例题习题不多的特点，整节课以启发学生观察思考、分析讨论为主。当学生观察例题回答不出“为什么”时，可以举几个点的坐标作检验，这就是“从特殊到一般”的方法；或引导学生看图，这就是“从具体（直观）到抽象”的方法；或引导学生回到最简单的情形，这就是以简驭繁；或引导学生看（举）反例，这就是正反对比，总之，要使启发方法符合学生的认知规律教学过程：创设情境、引入新课:思考1:如图:直线l与方程x-y=0之间有什么关系？l上点的坐标都是方程x-y=0的解以方程x-y=0的解为坐标的点都在l上x-y=0xOx-y=0xO11yl又说方程表示的直线是l思考2：画出函数y=2x2(1≤x≤2)的图象C，考察曲线C与方程2x2-y=0①的关系？曲线C与方程2x2-y=0(1≤x≤2)②的关系呢？1、曲线C上的点的坐标都是方程①的解。但方程①的解为坐标的点不都在曲线C上。所以方①程不是曲线的方程。2、方程②满足以上两点，所以②是曲线C的方程yyxO-128y=2x2(1x2)C2二、探究规律、形成概念定义：在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。说明:曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.练习1“方程f（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f（x，y）=0的（）A充分不必要条件B必要不充分条件c充要条件D既不充分也不必要条件练习：请标出下列方程所对应的曲线00)1(yx(2)(2)x2y2=0 (3)|x|y=0练习2：P（a+3,3)在曲线y=x2-2x上，则a的值是0或-4练习3：方程（X+y-1）=0表示的曲线是（）A两条互相垂直的直线B两条射线C一条直线和一条射线D一个点（2，-1）例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.证明已知曲线的方程的方法和步骤：1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解.2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.练习：课本37页练习1,2,本节内容回顾：1.曲线的方程、方程的曲线2.点在曲线上的充要条件3.证明已知曲线的方程的方法和步骤四、作业：作业一课本习题2.1第一题作业二，预习课本2.1.2学情分析《曲线与方程》是人教A版数学选修2-1第二章第一节内容。建立了几何中的“形”与代数中的“数”的统一关系，是解析几何教学的“重头戏”！这一部分内容是建立在学生掌握直线的方程和圆的方程基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它为下一步学习曲线方程树立了模型。效果分析教学思路能从教学内容和学生水平两个方面的实际情况出发，教学思路的层次，脉络清晰，教学措施编排合理，过渡衔接紧凑，知识安排详略得当。

在教学环节的时间分配上，教学各环节时间分配和衔接恰当，讲与练时间搭配合理；教师活动与学生活动时间分配，与教学目的和要求一致；学生的个人活动与集体活动时间的分配合理，有思维的碰撞和相应的讨论，最后在这个过程中师生相互生成许多新的知识。不同程度学生活动期间都有收获和提高。但是个别学生课堂积极性不高，没能及时生成相关新知识。教学效率：学生思维活跃，气氛比较热烈；受益面大，不同程度的学生在原有基础上都有进步，知识、能力、情感目标达成；有效利用课堂教学时间，学生学得轻松愉快，积极性高，当堂问题当堂解决，学生负担合理。课堂效果的评价，借助于课堂测试题，当堂完成，有利于了解学生的知识掌握情况，而后对课堂效果做出直观的评价。教材分析曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础．这正体现了几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃．本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径．求曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一根据大纲要求，本节内容分为3个课时进行教学，具体的课时分配是：第一课时讲解“曲线与方程”与“方程与曲线”的概念及其关系；第二课时讲解求曲线方程的一般方法，第三课时为习题课，通过练习来总结、巩固和深化本节知识，并解决与曲线交点有关的问题。考虑到本节内容的基础性和灵活性，可以对课本例题和练习作适当的调整，或进行变式训练针对第一课时概念强、思维量大、例题习题不多的特点，整节课以启发学生观察思考、分析讨论为主。当学生观察例题回答不出“为什么”时，可以举几个点的坐标作检验，这就是“从特殊到一般”的方法；或引导学生看图，这就是“从具体（直观）到抽象”的方法；或引导学生回到最简单的情形，这就是以简驭繁；或引导学生看（举）反例，这就是正反对比，总之，要使启发方法符合学生的认知规律评测练习1．如果曲线C上的点满足方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（）A.曲线C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲线是CC.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上D.坐标不满足方程F（x,y)=0的点不在曲线C上分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程和曲线解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性.故选D2.判断下列结论的正误，并说明理由.（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=0;(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;(3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;(4)△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC中点，则中线AD的方程为x=0分析：判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲线上的点的纯粹性和完备性.解：（1）满足曲线方程的定义.∴结论正确（2）因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个；y=2，即不具备完备性.∴结论错误.（3）到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为｜x｜·｜y｜=1,即xy=±1.∴所给问题不具备完备性∴结论错误（4）中线AD是一条线段，而不是直线，∴x=0(-3≤y≤0),∴所给问题不具备纯粹性.∴结论错误.3.方程（3x-4y-12)·［log2(x+2y)-3］=0的曲线经过点A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个分析：方程表示的两条直线3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但应注意对数的真数大于0，∴x+2y＞0解：由对数的真数大于0，得x+2y＞0.∴A(0,-3)、C()不合要求将B（0，4）代入方程检验，不合要求.将D（4，0）代入方程检验，合乎要求.故选B.4.已知点A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3secθ,tanθ),其中在曲线上的点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满足这个方程，说明这是这个方程的解，这个点就在该方程表示的曲线上.解：将点A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D（3secθ,tanθ)代入方程检验，只有点A和点B满足方程.故选B.5.如果两条曲线的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它们的交点M（x0,y0)，求证：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲线也经过M点.（λ为任意常数）分析：只要将M点的坐标代入方程.F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看点M的坐标是否满足方程即可证明：∵M(x0,y0)是曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点，∴F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R)∴M(x0,y0)在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲线上.评述：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也称为过曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点的曲线系方程

1．了解学生基本情况是进行教学设计和实施教学的重要条件

在设计和实施教学时，不仅关注概念的形成，而且充分关注知识间的联系以及知识所体现出来的思想方法．但是，如果设计离学生原有的认知环境、认知水平有较大差异的话，在教学实施时是很难达到预期目标的．因此，进行教学设计时，了解学生是非常重要的．

例如，练习3，由于对学生了解不够充分，这点道题耗时较多。由此可见，应充分重视了解学生、根据学生的认知水平设计问题的重要性．

2．数学内容的地位与作用决定教学目标，教学目标的份量产生教学重点

如果不明确教学过程中的数学内容，或者不明确数学内容的地位与作用，我们就不可能制定出恰当的教学目标，就不可能通过教学培养学生的能力与素质．因此，对教学内容的解析，不仅可以明确内容中所涉数学概念的核心是什么，概念是否是核心概念，而且还是确定教学目标的依据．但有些情况下教学目标在教学中所占的份