模糊数学(清晰易懂)

关于模糊数学(清晰易懂)第1页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三2模糊数学绪论2产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。如某员工属于优秀的程度为0.6,属于良好的程度为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度为0.1。第2页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三3模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论第3页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三4

模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离屏幕的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松软可口。第4页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三5下面我们正式走进

模糊的世界第5页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三6一、经典集合与模糊集合

模糊集合.uAA.u非此及彼第6页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三7亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的内部，则用1来记录，若x位于A的外部，则用0来记录，若x一部分位于A的内部，一部分位于A的外部，则用x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度。第7页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三8定义：设U是论域，称映射确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函数，称为对的隶属程度，简称隶属度。越接近于0,表示x隶属于A的程度越小；越接近于1,表示x隶属于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，过渡点第8页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三9模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法这里表示对模糊集A的隶属度是。第9页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三10（3）向量表示法（2）序偶表示法若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：第10页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三11例1.

有100名消费者，对5种商品评价，结果为：81人认为x1质量好，53人认为x2质量好，所有人认为x3质量好，没有人认为x4质量好，24人认为x5质量好则模糊集A（质量好）第11页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三12例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…札德给出了“年老”集函数刻画:10U50100第12页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三13再如，Y=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：

1050U第13页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三14二、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：包含：并：交：补：表示取大；表示取小。模糊集合的运算第14页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三15例3.则：0.30.910.80.60.20.10.80.30.5第15页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三16并交余计算的性质1.幂等律2.交换律3.结合律4.吸收律第16页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三176.0-1律7.还原律8.对偶律5.分配律第17页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三18三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖致使对A的隶属关系是不确定的。第18页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三19特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对A的隶属度：第19页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三20对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间，问年龄27属于模糊集A（青年人）的隶属度。第20页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三21对年龄27作出如下的统计处理：A(27)=0.78第21页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三222、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。

偏小型：适合描述“小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等

偏大型：适合描述“大”“多”“热”“深”“密”“老年”等

中间型：适合描述“中”“不太多”“不太深”“不太浓”

“暖和”“中年”等处于中间状态的模糊现象。第22页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三23常用的模糊分布第23页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三24第24页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三253、其它方法德尔菲法：专家评分法；

（1）选择专家；

（2）确定影响债权价值的因素，设计价值分析对象征询意见表；

（3）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见；

（4）对专家意见进行分析汇总，将统计结果反馈给专家；

（5）专家根据反馈结果修正自己的意见；

（6）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。第25页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三26四、模糊关系与模糊矩阵1.模糊关系的定义所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以为论域的一个模糊子集，序偶的隶属度为

一般地，若论域为n个集合的直积，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就退化为普通关系。第26页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三27

假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给出一个0~1之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下

设有七种物品：苹果、乒球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U，并设x1,x2···x7

分别为这些物品的代号，则现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。第27页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三28四、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，称R为模糊单位矩阵。例如：第28页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三29（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义相等：包含：并：交：余：第29页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三30例4：第30页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三31（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵为A与B的合成，其中。即：定义：设A为阶，则模糊方阵的幂定义为第31页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三32例5：第32页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三33（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的转置矩阵，其中。性质：第33页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三34（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称为模糊矩阵A的截矩阵，其中显然，截矩阵为Boole矩阵。第34页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三35例6：第35页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三36截矩阵的性质：性质1.性质2.性质3.性质4.第36页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三37（5）特殊的模糊矩阵定义：若模糊方阵满足则称A为自反矩阵。例如是模糊自反矩阵。定义：若模糊方阵满足则称A为对称矩阵。例如是模糊对称矩阵。第37页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三38定义：若模糊方阵满足则称A为模糊传递矩阵。例如是模糊传递矩阵。第38页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三39模糊聚类分析一、基本概念及定理第39页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三40模糊聚类分析定理：R是n阶模糊等价矩阵是等价的Boole矩阵。意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当λ在[0,1]上变动时，由得到不同的分类。第40页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三41模糊聚类分析第41页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三42例6：设对于模糊等价矩阵模糊聚类分析第42页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三43模糊聚类分析画出动态聚类图如下：0.80.60.50.41第43页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三44模糊聚类分析第44页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三45例7：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析第45页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三46（1）Q型聚类：对多种属性指标的不同样本对象进行归类；（2）R型聚类：对多个样品对象的不同属性指标进行归类；

R型聚类分析的主要作用是：

1、不但可以了解个别变量之间的关系的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。

Q型聚类分析的优点是：1、可以综合利用多个变量的信息对样本进行分类；2、分类结果是直观的，聚类谱系图非常清楚地表现其数值分类结果；3、聚类分析所得到的结果比传统分类方法更细致、全面、合理。模糊聚类分析Q型与R型聚类分析：第46页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三47二、模糊聚类的一般步骤１、建立数据矩阵模糊聚类分析第47页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三48（1）标准差标准化模糊聚类分析第48页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三49（2）极差正规化（3）极差标准化（4）最大值规格化其中：模糊聚类分析第49页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三50２、建立模糊相似矩阵（指标属性点间的距离）（1）相似系数法①夹角余弦法②相关系数法模糊聚类分析第50页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三51（2）距离法（样本点间的距离）①绝对值距离②欧氏距离④切比雪夫距离模糊聚类分析③闵可夫斯基距离第51页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三52（3）贴近度法①最大最小法②算术平均最小法③几何平均最小法模糊聚类分析第52页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三533、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法（将相似矩阵化为等价矩阵）步骤：模糊聚类分析第53页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三54模糊聚类分析第54页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三55解：由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析第55页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三56用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊聚类分析第56页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三57用平方法合成传递闭包第57页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三58取，得模糊聚类分析第58页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三59取，得取，得模糊聚类分析第59页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三60取，得取，得模糊聚类分析第60页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三61画出动态聚类图如下：0.70.630.620.531模糊聚类分析第61页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三62><(2)最大树法由我国吴望名教授提出,设R是有限论域X上的模糊关系,称二元有序组G=(X,R)为模糊关系图.给定X上的模糊关系R后,可根据Kruskal法得到图G=(X,R)的一棵最大树,具体做法如下:第62页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三63><先画出被分类的元素集.从R中按rij从大到小的顺序依次连枝,标上权重.若在某一步会出现回路,便不画那一步.直到所有元素连通为止,这样便得到一棵最大树.取定[0,1]，砍断权重低于的枝,就可得到一个不连通的图,各连通分支就构成了在水平上的分类.这种模糊聚类方法叫做最大树法.第63页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三64><第64页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三65><(3)编网法由我国赵汝怀教授提出,它是直接由模糊相似矩阵R出发，经过“编网”直接完成聚类的。具体做法是：取定水平[0，1]，求得截矩阵R，并将R的主对角线上填入元素，在主对角线的下三角部分，以“*”号代替R中的“1”，而“0”则略去。由“*”号向主对角线上引经线（竖线）和纬线（横线），即称之为“编网”，凡能由经线和纬线互相连结的元素则属于同类。(上例)第65页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三664、最佳阈值的确定（确定多少类才合适）模糊聚类分析（1）按实际需要，调整λ

的值，或者是专家给值。（2）用F

-统计量确定最佳λ值。第66页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三67模糊聚类分析第j类中第k个变量的平均值:

设对应于λ的分类数为r，第j类的样品数为nj,j类的样本记为:第67页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三68模糊聚类分析定义F-统计量为:表征了类与类之间的距离表征类内样品间的距离F越大,表明类间的差异越大,分类效果就越好。为:与的距离。为第j类中样品与的距离。第68页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三69假设各类差异不明显，对于给定的检验水平α，查Fα(r-1,n-r)分布表，得临界值Fα，若F>Fα,则认为各类之间有明显的差异。F服从自由度为r-1，n-r的F分布。第69页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三70模糊聚类分析的简要流程:YN第70页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三71模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。模糊模式识别第71页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三72模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。模糊模式识别第72页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三73在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题——点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题——集对集。模糊模式识别第73页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三74点对集——1.问题的数学模型

(1)第一类模型：设在论域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，将这些模糊集视为n个标准模式，x0X是待识别的对象，问x0应属于哪个标准模式Ai(i=1，2，…，

n)?(2)第二类模型：设AF(X)为标准模式，x1,x2,…,xnX为n个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个xi(i=1，2，…，

n)?模糊模式识别第74页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三75一最大隶属原则最大隶属原则Ⅰ：最大隶属原则Ⅱ：模糊模式识别第75页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三76

原则Ⅰ的例子在论域U=[0,100](分数)上确定三个代表学习成绩的模集糊=“优”，=“良”，=“差”。当某学生的数学成绩为88分时，该学生的数学成绩该评为优、良、还是差？为此，要先建立模糊集隶属函数。有人用指派法建立了论域U上模糊集的隶属函数为:第76页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三77第77页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三78

把x=88分别代入上述三个隶属函数，得:

据原则Ⅰ，88分相对三个模型应隶属于，即可评为优。第78页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三79原则Ⅱ的例子设论域U=｛x1,x2,x3｝(三名学生的学习成绩),在U上确定以一个模糊集=“优”，若三个学生的英语成绩分别为x1=70,x2=80,x3=90现据英语成绩从三名学生中招聘一人做翻译，应优先招聘谁？由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。据原则Ⅱ应首先聘任第三位同学。把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数:得:第79页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三80

(2)择近原则设论域U上有m个模糊子集构成一个标准模型库为待识别的对象。若存在i0∈｛1,2,…,m｝使得:

2.贴近度及其择近原则

(1)贴近度贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标,是我国学者汪培庄教授提出的,由于研究的问题不同,贴近度也有不同的定义形式,它的一般定义为:设A，B是论域U上的两个模糊子集，则称为A与B的贴近度。待识别对象归入Ai0类。第80页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三81

(3)实用贴近度实际工作中实用的几个贴近度计算公式：第81页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三82第82页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三83例：茶叶的模型识别论域U={茶叶},其等级标准模型库待识别的茶叶样品为B,衡量茶叶质量指标为:条索,色泽,净度,汤色,香气和滋味。模型库与样品的有关数据如右表。贴近度计算公式:第83页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三84按择近原则:第84页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三85贴近度计算改用：上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归类果一样，那一种更好？茶叶样品第85页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三86阈值原则：有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：第86页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三87第87页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三88例如

已知“青年人”模糊集Y，其隶属度规定为对于x1=27岁及x2=30岁的人来说，若取阈值第88页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三891=0.7，故认为27岁和30岁的人都属于“青年人”范畴。则因

Y(27)=0.862>1，而

Y(30)=0.5<1，故认为27岁的人尚属于“青年人”，而30岁人的则不属于“青年人”。若取阈值2=0.5，则因

Y(27)=0.862>2,而

Y(30)=0.5=2，第89页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三90模糊综合评判一级模糊综合评判第90页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三91模糊综合评判第91页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三92模糊综合评判第92页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三93模糊综合评判第93页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三94模糊综合评判第94页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三95根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：模糊综合评判第95页，讲稿共106页，2023年5月2日，星期三96