备战2024年高考总复习一轮（数学）第6章 数列 第2节 等差数列

高考总复习GAOKAOZONGFUXI第二节等差数列第六章2024内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.理解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的基本运算2.等差数列的判定与证明3.等差数列的性质及应用4.等差数列前n项和的最值问题1.数学抽象2.逻辑推理3.数学运算强基础固本增分1.等差数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从

起,每一项与它的前一项的

等于

,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的

,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d

(n∈N*),d为常数.

(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是

,其中A叫做a,b的

.

第2项

差

同一个常数

公差

等差中项

2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=

.

(2)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(3)前n项和公式:

.

利用倒序相加法推导

a1+(n-1)d3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.(2)数列{an}是等差数列,且公差不为0⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).常用结论1.已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.(1)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈N*).(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N*).(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.研考点精准突破考点一等差数列的基本运算例1(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-5,S9=-27,若an≤0,则n的最大值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8(2)(2022安徽合肥二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S15=5(a3+a8+am),则m的值为(

)A.10 B.12 C.13 D.14(3)(2022全国乙,文13)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=

.

答案:(1)B

(2)C

(3)2规律方法等差数列基本运算的常见类型及解题策略

求公差d或项数n一般运用方程思想求解求通项公式a1和d是等差数列通项公式的两个基本元素求特定项利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解求前n项和利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解对点训练1在等差数列{an}中,已知a2=-9,a3=-7.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求满足Sn>an的n的最小值.解:(1)根据题意,公差d=a3-a2=2,a1=a2-d=-11.则an=a1+(n-1)d=-11+2n-2=2n-13.(2)由(1)可得Sn=(-11-13+2n)·

=n2-12n,则Sn-an=n2-12n+13-2n=n2-14n+13,令n2-14n+13>0,解得n<1或n>13.又因为n∈N*,所以n的最小值为14.考点二等差数列的判定与证明例2(2021全国甲,文18)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.证明:若选①②⇒③

∴a2=a1+d1=3a1.若选①③⇒②设等差数列{an}的公差为d.∵a2=3a1,∴a1+d=3a1,则d=2a1,若选②③⇒①

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,当n=1时,a1=S1=a1,符合式子an=(2n-1)a1,∴an=(2n-1)a1,n∈N*,即数列{an}是等差数列.规律方法1.等差数列的判定与证明方法

方法解读适合题型定义法对于数列{an},an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn=An2+Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列2.若证明一个数列不是等差数列,则只需证明存在连续三项不成等差数列即可.(2)判断数列{an}是否为等差数列,说明理由.(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,

(2)解:数列{an}不是等差数列.理由如下:

所以当n≥2时,an+1-an的值不是一个与n无关的常数,故数列{an}不是等差数列.考点三等差数列的性质及应用规律方法1.利用等差数列的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,p∈N*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,q∈N*)相结合,可减少运算量.2.在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an.对点训练3(1)(2022广东广州二模)已知数列{an}是等差数列,且a2+a5+a8=π,则tan(a1+a9)=(

)考点四等差数列前n项和的最值问题例4(2022陕西西安西北工业大学附中二模)已知数列{an}的前n项积(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn