理论力学习题6

2.1求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a，所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。解：如图所示。以扇形薄片顶点为坐标原点，建立坐标轴ox，由对称性知，质心必在x轴上。对于半圆片

设均匀扁形薄片面密度为，则：

2.3重W为的人，手里拿着一个重为w的物体，此人用与地平线成角的速度向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？解：如图所示，建立固定坐标系

设人抛出物体后的速度为，物体抛出后相对于地面的速度为，方向如图所示，且：

Oxy人抛出物体前后水平方向无外力作用，动量守恒。则有：

所以人落地时跳的距离增加为：

到达最高点时，则：

比不抛重物速度增加：

2.4质量为m1的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求：(a)质点水平方向的加速度；(b)劈的加速度；(c)劈对质点的反作用力R1；(d)水平面对劈的反作用力R2。

解：取隔离体，受力分析如图所示。建立固定直角坐标系，动系

质点m1的运动微分方程为：

方向

方向：

以上六式联立可解出：

方向：

方向：

直角劈的运动微分方程为：2.5半径为a，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。解：如图所示，将圆片分成许多小圆环，厚度为，薄圆片面密度:

半径为r的小圆环的质量：

O速度为：动量矩：其大小：

整个圆片对轴的动量矩方向相同，则大小为：2.7质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上，有一质量为m的质点沿此半球面滑下，设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为，并且初始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为时之值。解：如图所示，设质点相对半球的速度为（沿切线），半球相对地的速度为，方向水平向左，取地面为惯性参照系，水平方向合外力为零，动量守恒，有：

只有保守力作功，机械能守恒。

（1）（2）（1）（2）两式联立得：（1）（2）

2.8一光滑球A与另一静止的光滑球B发生斜碰，如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰后的速度互相垂直，试证明之。证明：由动量守恒得：

由机械能守恒得：

(1)(2)整理得：

(4)(3)用分别点乘（3）式后相加得：

由（4）式知：又证：由（3）得：

由（4）式知：

(4)(3)用分别点乘（3）式后相加得：

你觉互得这语种看偿法对光吗？宏如不求正确老，错喜在什吧么地惨方？答：书此看悔法不架对。局题中篮在利拨用对皮固定辨点（网岸）圈的动淘能定捧理时详，没访有考毯虑铁坚球抛打出前市后船嗽和人翅的速扶度变郑化，茂从而挨未计债入船毙和人革的动益能，昂造成淘错误信，正称确做胶法是述：设船慨和人尚的质香量为M，球的桌质量享为m，以岸绣为参山照系秒，设顶铁球蹈抛出狂后船夹和人来的速版度为U，而铁筑球相外对船被的速讨度为v，方向奖如图舒所示螺。2.蛛8轮船测以速饶度V行驶衔，一卖人在瞒船上盟将一涨质量肝为m的铁呢球以离速度v向船港首抛皇去，怕有人惰认为子：这宿时人掉做的录功为州：如果：在此泽过程忙中，炒人所凝作的愧功为挪：将代入中：此过途程中售，水祥平方桨向无驶外力浙作用四，动疮量守餐恒则敌：在铁昼球抛棉出前殃后，廊其初垄动能注和末喷动能紧为：2.倍11在光坟滑的本水平闪桌面显上，面有质松量为m的两拆个质弊点，跃用一送不可精伸长航的绳唱紧直医相连喉，绳富长为a，设其衣中一琴质点漆受到刻一个绕与绳叼正交假的冲忍量I的作东用，胸求证封此后渣两质岸点将誓各作局圆滚蹈线运患动，扫且其搅能量纷之比摔为：啊，式央中t为冲熔力作远用的密时间毛。证：鸡设体阴系质粥心速球度为vc，则：所以杂质心准作匀银速直雅线运评动.在质心系中，由动量矩守恒得：

——两质点绕质心转动的角速度，上式表明为常数，表明两质点绕质心作匀速圆周运动，且：由科承尼希估定理撕得：（1）（2）两手式代凤入（3）得翠：在质艘心坐盛标系冲中，颈两质奥点的虾坐标夹为：在静庙止坐历标系o-水xy中，医两质恨点的默坐标暑为：这两江组方剪程均亿为摆妥线的权参数员方程绵，故气两质桐点作冤摆线垫运动尽。两质汇点的讯能量究为：其能量之比为：

2.凭6一炮眼弹的晕质量衡为M1+M2，射出蚂时的盒水平搬及竖彩直分睬速度枯为U和V，当炮来弹达订到最排高点扑时，其其内站部的狱炸药挎产生赏能量E，使此箭炸弹揉分为M1及M2两部漫分，构在开咸始时满，两惩者仍旱按原豆方向样飞行共，试勉求它坝们落斯地时寇相隔谋的距续离，锅不计揪空气英阻力摄。解法1：选地晚面为月参照日系，崖建立制坐标般系设炸惨药分冶为M1、M2两部瞒分后搭，其稿相对介地的她速度逼为U1、U2，方向鸽沿原软方向怒，如伯图所之示.能量守恒：

(2)水平方向动量守恒:(1)xyOM1、M2

落地时相隔的距离为：竖直方向速度：

⑴、⑵两式联立求出U1和U2，则M1、M2两者之间速度差为：

(1)(2)解法2：选M1、M2构成膝的质哥点组邀的质财心为沫参照吧系，矛设炸敲药爆壶炸后羊相对遗质心板的速应度分剥别为碍和迅，歪方向揭相同他。在质壮心坐棍标系响中，膀水平求方向吊动量蝴守恒装：由动能定理有：

(2)(1)故落诱地时甘两者疑相隔逮的距葛离为荐：到达最高点：

⑴、⑵两式联立求出，则两者之间速度差为：(2)(1)2.产10质量柏为m2的光驳滑球恋用一涨不可颠伸长创的绳束系于眠固定移点A，另一锤质量恋为m1的球长以与炊绳成霜角的译速度贪与m2正碰圣，试悼求m1及m2碰后仇开始领运动今的速贼度熄及毫，纺设恢编复系怖数e为已泻知。解：m2被限亚制在劈燕圆周附上运狮动，挺在垂杠直于漂绳的启方向塌上动欲量守踏恒：(1)在两店球心蹦连线序上，锄由恢援复系何数e的定嫩义有写：(2)（1）（2）两电式联掀立得欧：(1)(2)2.擦12质量国为m1的球莫以速划度灿与畅质量驱为m2的静蜜止球妇正碰米，求踩碰撞信后两御球相设对质雾心的蚁速度沃和。又蠢起始董时，斗两球政相对死于质图心的传动能巾是多之少？肝恢复畜系数甲为e已知虽。解：设两销球碰待撞前艳、后坡相对骡质心助的速倚度大智小为V1、V2及肠、沈方刮向相漂同则两爸球碰养前相静对质默心的母速度裂：质心速度为：与同向碰前两球相对质心的动能：

（1）（2）两式联立得：(2)在质心系中：(1)由恢复系数定义有：

2.披13长为l的均烟匀细减链条保伸直性地平阶放在此水平陕光滑请桌面佳上，婆其方纪向与转桌边学缘垂流直，进此时熊链条甘的一佳半从敢桌上舰下垂陵，起娇始时堡，整杜个链剪条是早静止疫的，点试用摊两种焰不同累的方乒法，庙求此厅链条难的末赤端滑永到桌渗子的屡边缘开时，渴链条杰的速价度v.解：方法1，用质铸心运揪动定凶理求萍解如图所示，建立坐标ox，以整个链条为研究对象，任意时刻垂下链条受到的力为：由质心运动定理有：积分：方法2：由日动能眠定理舱得：方法3：由换机械剧能守零恒得宇：（轿以桌射面为撑零势缠面）方法4：由页变质织量动炒力学业方程画求解本问狐题属帅于：修，其开动力方学方雹程简抗化为南：以垂下链条为主体，（为链条的线密度）对（1）式投影：（2）（3）两式联立得：对竖直方向的链条有：(2)对桌面上的链条有：(3)(1)2.券16雨滴扣下落借时，运其质胜量的澡增加供率与些雨滴蔽的表凡面积肥成正今比，蹄求雨