第章 温度和气体动理论

第十七章

温度和气体动理论

TemperatureandKineticTheoryofGases本章主要内容

§17-1

平衡态

§17-2

温度的概念

§17-3理想气体温标

§17-4理想气体状态方程

§17-5气体分子的无规则运动

§17-6

理想气体的压强

§17-7

温度的微观意义

§17-8能均分定理

§17-9

Maxwell速率分布律

§17-10

Maxwell速率分布律的实验验证*§17-11

玻尔兹曼分布律

§17-12

实际气体等温线*§17-13

范德瓦耳斯方程*§17-14

非平衡态输运过程第十七章温度和气体动理论研究物质的热现象的理论有两个分支，即热力学和统计物理（统计力学）。统计物理——微观理论，用统计的方法研究分子原子的运动及相互作用，由此说明物质（特别是气体）的宏观性质及其变化规律。气体动理论是统计力学中最基本的内容。热力学——宏观理论，用实验的方法研究宏观热力学系统（特别是气体）所遵循的基本规律，即热力学第一定律和热力学第二定律，具有高度的普遍性。本章先从宏观角度介绍平衡态,温度等热学基本概念，再讲解气体动理论。查看第一章温度§17-1平衡态

EquilibriumState热力学系统在热学中，通常把与热现象相关的宏观物体称为热力学系统。

系统以外的物体称为外界。描述宏观系统状态的物理量称为宏观量，也称为状态参量。如：气体的状态参量有压强、体积和温度。宏观量与微观量描述分子原子运动状态的物理量称为微观量。如：分子的运动速率、动量、动能等。宏观量往往相对稳定，而微观量相对随机；宏观量可以用微观量的统计平均值来表示。气体的状态参量有压强、体积和温度。定义：平衡态压强——气体对单位面积容器壁的作用力。单位：Pa

体积——气体占据空间（容器）的体积。单位：m3温度的概念下节讨论平衡态——在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。(如气体的压强、体积和温度不随时间变)

宏观稳定但微观运动不停息，且纷乱无规——动态平衡平衡态是热学中一个十分重要的概念。

《大学物理》课程中涉及的热学，主要是讨论气体(单一组分)在平衡态下的性质及其变化规律。§1-1平衡态气体的状态方程实验表明，气体处于平衡态时，三个状态参量p、V、T中，只有两个是独立的，状态参量之间必定满足一个函数——气体的状态方程。理论上常用（p,V）来表示某平衡态的状态，因此可以用图上的实点来代表确定的平衡态。从一个平衡态到另一个平衡态的变化过程，称为热力学过程。.(p,V)§1-1平衡态§17-2温度的概念

ConceptofTemperature压强和体积不是热学特有的物理量（力学量和几何量），而温度是。温度是平衡态的参量，也是区别不同平衡态的重要标志。因此先引入热平衡概念：热平衡的概念两个原为孤立系统分别达到了平衡态，相互接触（容器的导热面接触，可相互交换能量）后，各自的状态会发生变化，经足够长时间又达到新的平衡态，称这两个系统处于热平衡。抽去绝热隔板绝热板导热板导热板§1-2温度的概念热力妄学第张零定辈律与园温度定律：如塌果系县统A与系渡统C处于距热平诸衡，叛同时B系统虽也与藏系统C处于棉热平姜衡，璃则系倒统A与系居统B也处悠于热伍平衡律。定律诸表明忍，任宵意两害个系疗统处拢于热掠平衡左，意表味着昨它们青具有色某种顶共同要热力堤学性铜质，余可以诊引入码一个泛物理课量来稼描述锁这种阀物理致性质割，即笛：温度——决定寸一个浸系统祥是否泽与其栽他系钉统处恶于热裁平衡婚的宏石观性隐质。说明米：借助胡热力第学第地零定杰律引控入温陶度概扇念，多这是康宏观旋上对温度炼的定缘瑞性定杠义。芽其微匙观本跑质和拐分子沿的运袖动有秆关。处于倍热平懒衡的虏诸个驴系统进具有简相同滚的温率度。温度处的测粱量也败是基斜于热深力学逆第零税定律成实现恋的。沾选择建合适铁的系绑统作仗为标从准，摸称为温度牧计。测述量时城，使伯得温度熊计和趣待测叙系统蠢达到融热平拆衡。§1语-2妥温度纲的概筝念§1影7-破3理想取气体亩温标Te脊mp枯er掏at竿ur守e意Sc繁al穗e语of洽a迟n允Id拒ea美l胶Ga岛s为了尘对温畅度定齐量测条量，紫就是莫用数杀值来修表示兰温度胆。标粗定温自度数妖值的丘方法摸称为温标。理潜想气超体温劝标是风其中杂的一神种。Bo沃yl猎e定律：当醉压强替很小漂时，荒对于凶一定锯量气臭体，仪在温胜度不膛变的筑条件愉下，止它的戚压强届与体予积的动乘积仓是个瓣常量您，即pV=常量(一定睛质量狸，T不变)Bo乱yl认e（玻浙意尔述）定律近和理皆想气钢体理想闷气体——严格椅遵从Bo毛yl霸e定律耳的气铃体，若是一施种理拢想模挂型。（p0时实壳际气垮体的责近似）。理想柜气体罪温标对于摧一定问量的吊理想霞气体零，可棒以规定：pVT，于匀是有常量(一定量)§1岁-3惜理想喜气体烂温标规定跪一个标准慌温度担定点——纯水汪的三袄相点镇，即设：冰笋、水箱、汽技共存柱的系敏统所愁达到玻的平兄衡态听。统姥一规澡定三差相点鹿的温后度为:Ttr27奇3.舌16扒K设有晋一定漫量理伪想气蔬体，壶它在毕水的键三相废点温闷度下别的压浅强和亿体积秤分别嚷为ptr和Vtr，则有(一定赢量)理想鸽气体泰温标晌存在量一个璃最低估温度牙的极摩限。顶如选锻择氦默气He最低柱极限避为1K。据此讲定义宅的温件标，通称为理想导气体虎温标。定体掀温度丧计V=Vtr§1涉-3驱理想扮气体宽温标热力念学温涝标女摄漆氏温垄标与贩其之驻间的啦转换气体闭温标再虽不赛依赖决于气鸡体的豪个性而，但鸣毕竟暴依赖骑于某悲种测污温物甜质，箱而温肆度本芦身并逆不要把求如货此。魔在热潜力学虾第二防定律责的基报础上挽，可球以引还入一累种不着依赖杀于任暗何测只温物塞质特向性的两温标怎，即热力侮学温伐标（也割称Ke腊lv逐in温标质），用背此温东标确柳定的捆温度瞧称为热力组学温强度。单位缓：K（Ke冻lv恰in）水的毙三相耐点的轻热力守学温界度=27败3.菠16隶K。可以氧证明嫩，理洲想气末体温货标在台其所瞒能确曾定的吉温度舒范围阴内，震与热色力学创温标腊完全森一致袜。都用T表示库、K作单诸位。摄氏温标

(Celsius)：§1脏-3体理想靠气体俱温标§1塞7-激4理想猎气体泻状态轨方程Eq锹ua净ti浩on病o界f皂St游at假e打of酒a狱n溜Id冠ea亭l属Ga逆s对理阀想气析体（p监,V术,搏T），虾取标警准状艇态（p0,T0）为参系考：Avogadro定律：在一定的压强和温度下（压强趋于零），1mol的各种理想气体的体积都相同。（水的冰点温度）有由Avogadro定律可知，标准状态的摩尔体积Vmol,0是普适的：，于是令普适气体常数理想气体状态方程：查看§1喘-4战理想阶气体储状态虽方程摩尔诞（mo泪l）：津表示松物质风的量裙的单键位，1m戏ol物质齿含有Av挠og挎ad香ro常数讨（NA=6受.0逆23×1023/m辉ol)个微锄粒（维分子呼或原会子）告。或翅者说张，科翻学上闸把含排有NA个微寨粒的样集体蓝作为剪一个删单元绑，称前为1m婆ol。摩尔铺质量温（M）：贺就是1m精ol任意能物质鼠的质鹿量，指以g/延mo状l为单吊位,数值捎上等贴于物彩质的值分子功量。奥例：咬水的待摩尔疤质量麦为18恨g/威mo滩l.（含某义）摩尔桂数（违）耗：摩尔晃体积投（Vm）：侨就是1m渣ol任意丧物质篇的体少积。返回理想厚气体菌状态防方程扩也使韵用于混合腹气体，如吨空气镇。平均摩尔质量引入分子数密度：和Boltzmann常数：理想气体状态方程还可以表示为：§1精-4性理想隙气体蛋状态档方程[例]一容倒器内虽贮有丈氧气0.弹10失0k宗g，压强奶为10仰at今m，温度嫌为47°C。因容豪器漏柴气，触过一侍段时辛间后分，压效强减胳到原纤来的5/封8，温拖度降且到27°C。若把剪氧气愿近似秋看作柄理想现气体守，氧芝气的雄摩尔灰质量劲为M=途32唯.0份10-3kg哗/m察ol。问：疗（1）容法器的愿容积搏为多伙大？肆（2）漏屡出了夺多少圆氧气券？解：设原备来状或态为(P,V,T)，后来膨的状避态为(P’,V,T’)。（1）由理想役气体拔状态每方程筐：（2）漏气滨后剩预下的盐氧气兰质量筹为m’漏出尝的氧伴气质知量为§1掀7-图5气体害分子友的无辩规则迁运动Me嫌an订C逗ol错li茎si臣on洗F代re莫qu领en懂cy雾an众d显Me绒an袭F文re谈e菌Pa制th气体纽奉中的煌分子蓄存在废着剧胆烈的拘、无冻规的锣碰撞（香欲水气倘味的厕扩散辈）。平司均自湿由程醒和平宿均碰咬撞频制率是兵研究赠分子妹碰撞鸦统计勺规律互的基删本概放念。平均自由程——分子在连续两次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。记为平均碰撞频率——一个分子在单位时间内与其他分子碰撞次数的统计平均值。记为如果分子的平均速率为，则有将分子视为有效直径为

d的刚球，可以用气体动理论的方法导出和。查看§2料-8孤平均扎碰撞保频率挣和平含均自丹由程返回如果拘分子今的平沟均速机率为州，则谢在赛的时北间内轮，一俩个分揭子所垦经过镜的平县均距壮离为水，而柏受到面的平榴均碰待撞次吹数为。由川于每誉一次激碰撞跟都将叛结束改一段防自由航程，渣所以绞平均疗自由选程为跟踪一个分子A，假设其他分子均静止不动。分子A的相对于其他分子的相对速率的平均值为

。以分粒子有飞效直做径d为底织面半建径，役以分仅子运昼动路芬线为适轴做迹圆柱刷体。崖如果荡其他荣分子练的中摩心处勺在此雄圆柱述体内骑，将劳与分祸子A碰撞该。在确定的时间

Dt里，圆柱体的总长为，体积为。

Dt时间里与A碰撞的分子数，即分子A的碰撞次数为

，所以可以用证明吼：下，党于是§2挣-8输平均雁碰撞浊频率驰和平光均自千由程讨论1)平衡竖态下涌，对桥确定虽的气浅体，傻是讯确定爆的值棉。2)当平销均速破率蜜增池大时污，平须均自串由程缝是否驰也随楼之增霜大？估算滨氢气齿分子扮在标跪准状昏态下尿的平落均碰菠撞频列率。常温怪常压龄下，双一个泪分子盒在一辫秒内它平均只要碰兴撞几资十亿寻次，晓可见镇气体盾分子如之间乔的碰宁撞是敬多么原的频附繁！解:[例]在标狂准状暖态下悦，有对氢限气分酸子取,则由，得§1万7-叶6理想调气体剧的压溉强Pr盟es叠su怒re汤o齿f扶Id闸ea后l钢Ga坛s1.理想睁气体偷的微边观模贴型和钥统计露假设理想气体盒的微晶观模雅型—关于两单个搂分子善的力夸学性轮质的虫假设分子逆的线缴度远冰小于叫分子寨间距谱（l<<r）——质点点模型除碰碎撞外招，分肢子间锣和分坛子与替器壁冲间无完相互泽作用——刚球辅模文型（实很际分与子间雀存在葡相互践作用挖，即叶分子确力）分子鸣间和社分子凝与器买壁间培的碰遭撞是凭弹性夜的——弹性乏碰撞被假设奇（义平衡姑态条栏件所田致）定性参地说英，大谨量作梨无规均热运胞动分塘子与所器壁挎碰撞迎，对真器壁睡产生啦垂直勾方向启的、抓持续充稳定妖的冲桐力。然作用损在单迎位面有积器闸壁上查的冲搬力就塌是气伯体的冤宏观喂量压借强。爆从荒微观死角度聚出发捷，利音用气渠体动想理论雀可以克对压浅强和供温度谋作出萝微观妈解释模。§2或-1析理想圾气体素的压羞强由于饱平衡公态下母每个分子摩的位趴置、众运动冷速度唤和碰界撞是烈完全唐随机劈燕的，阻从统扩计观父点看腊：每个分子处在容器空间任意位置的概率都相等，即分子按位置的分布是均匀的：

包含足够多分子“宏观小微观大”每个阔分子杯运动担速度超取向肠沿任才意方灾向的却概率土都相零等，皆即分子丸速度纵按方且向的弦分布动是均木匀的：理想气体蝇的微挖观模到型—关于枯分子来集体涉的统瞎计性猎假设到处顷一样府。§2肌-1宫理想读气体史的压疑强2.理想悄气体愧压强俯公式聋的推牙导设有白一个做长方得形容扒器，编如图绸，内壶部有N个同倚种分暗子，麦每个极分子籍的质询量为m。XYZA1A2mvx-mvxl2l1l3考查A1所受卷压强翻。第i个分李子的明速度为vi,在X、Y、Z三个呀方向对上的粥分量为vix,viy,viz。考虑第i个分子与器壁的碰撞，由于碰撞是弹性的，碰撞前后x方向的动量分量分别为和。该分歌子在预碰撞汽中受色到的哗冲量鸦为§2神-1惕理想龟气体遵的压鼻强XYZA1A2mvx-mvxl2l1l3第i个分帖子被A1面弹澡回与A2面碰坝撞，被弹经回，闭再与A1面碰灵撞。河（假坏设过程确中不仿与其拦他分臣子碰章撞）乐。与A1面碰侨撞一逢次所除需的团时间逼为单位古时间驳内，同第i个分嚼子与A1面碰椅撞的秀次数增为克。单位睬时间杨内，桥第i个分水子受骂到的宏总冲臭量为即，携第i个分扶子受鲜到A1面的平准均作匹用力抛。因此,A1面受到第i个分随子的顿平均霉作用稻力为为分与子的驻平均乒平动隙动能予。于是A1面受救到的抵压强砍为A1

面受到第i个分子的平均作用力为:容器内A1面受到N个分子的平均作用力§2浑-1胡理想驴气体谷的压糖强压强售公式即是用勾统计面方法誉得出厘的结丘果，蠢只适俘用于酒大量淘分子夫的集较体。说明：

压强公式给出宏观量

p与微观量的统计平均值（n，和）之间的关系，这也是气体动理论的主要任务。理想疯气体飞的压丧强公桂式：§2息-1萝理想骂气体抱的压驱强§1摸7-胸7温度保的微寒观意讯义Mi祥cr亲os坑co页pi听c昨Me患an此in复gs返of珠th释e另Te迎mp得er猾at轻ur叉e1.理想混气体睛的温歌度与层平均膏平动鉴动能哄关系俗式理想气体树的平击均平割动动征能只恰与其狼热力矿学温登度有羡关，路且与替温度葛成正危比。温度筒的微昂观意盛义：热力绒学温词度是厌气体翁分子日平均太平动碰动能惧的量呜度。或窃解释宽为：宏观新量温闹度反迁映了长气体尼分子属无规巨热运确动的拜剧烈鞋程度。由理想气体的压强公式

和状态方程

得:§2牌-2网温度琴的微毅观意俗义分子剧的无诱规则热运敲动，是挤指物繁体内敏部的息分子公相对铃物体定质心顿系的脉运动际。区惭别于越物体撒整体求的运她动（挪机械熊运动荐）。说明：与压强公式类似，温度与公式也是用统计方法得出来的。也只适用于大量分子的集体。分子占平均妹平动煤动能供是指兰分子旧质心至运动盖的动燥能，罗不考崖虑分宜子本活身的应转动绑和内欣部原违子振裹动的股能量曾。实巩际上澡，分劝子转待动和毕振动次能量响都与切温度麦有关闻。下一谦节§2凡-2冈温度则的微弦观意云义得分叶子的方均孙根速胜率：说明：方均盆根速惰率是旁一种摇速率虎的统周计平祸均值拖。它盗可以议被用导来估本计气铺体分镜子热候运动温的快屿慢程仪度。2.气体蔽分子演的方辫均根桶速率因，有同一宪种气考体，戒方均舞根速宪率随作温度南增高左而增粪大；直同一办温度继下，慎质量村较大致的分母子方移均根悉速率择相对寒较小置。§2陵-2遗温度变的微规观意瓣义§1蜻7-汗8能量蛾均分佩定理Eq斗ui德pa共rt展it胁io裳nTh毒eo倍re友m灭of剂E伪ne川rg痛ie初s1.气体帜分子须的自毅由度自由仓度——确定袍物体锄空间必位置纵所需缸的独佣立坐碎标数怜目。xyzO例：生确定披刚体撤（既冷有平狭动又元有转透动）厨的位筝置需翼要的颤坐标凡：(1厘)确定消刚体爷质心C的位佩置，洽需要昨三个概独立填坐标x，y，z。刚体脏有三慈个平鸡动自魄由度以，三库个转疲动自仓由度偷，共婚六个董。xyzOC(2)确定刚体转轴的方位，需要三个方位角，其中只有两个是独立的，所以确定转轴需要两个独立坐标。(3)刚体绕轴转动的独立角坐标。§2跌-3杨能均掘分定晴理分子尼模型摊及其坐自由生度（春与结兰构有鱼关）册：单原听子分塞子（He懂,Ne,Ar）i=3i=5i=告6可看聚作质秒点，坚有三免个平诸动自我由度柄。t=含3刚性蚂双原鄙子分芒子（H2,极O2,邮N2,胸CO）确定宅质心绘需要笔三个而平动丹自由培度t=希3；确定钢两原共子连年线的征方位火需要装两个谱转动拥自由轰度r=蔽2。刚性炉多原堵子分算子（H2O,蚕C纱H4）可视聚为自虽由运视动的普刚体凡。t=复3,滑r挤=3刚性适分子远：各垃原子炒间的秒距离星都保镰持不宅变。夺对于而刚性调分子忆，不考停虑内盾部原耽子的饺振动慰。2.能量励按自权由度太均分依定理定理——在温度为T的平衡态下，气体分子每一个自由度的平均动能都相等，且等于。表明作：分徐子的照每个差平动鸭自由梳度的访平均做动能滩均为kT/2。由于座气体织分子渣的无烫规则交的碰尤撞，宰会使尝得分护子的蓝能量笛在尿平动若、转锦动和悦振动赌自由羽度之慨间转予移。梯就能溉量来吹说这讽些自依由度渴没焦有哪似个是玻特殊堤的。蜜因而睁有更命一般揭的结再论：唐各自泼由度众的平棵均呈动能洲都是亮相等攻的。§2错-3屑能均快分定饺理定理——在温度为T的平衡态下，气体分子每一个自由度的平均动能都相等，且等于。如果本一个搁气体眉分子才的总含自由菠度数州是i，则司它的岔平均户总动勉能为单原鹊子分欺子的月平均泄总动溪能：其中嫩包括才了平异均平下动动晓能和卷平均书转动存动能签。刚性叉双原喊子分烟子的慈平均江总动荒能：刚性断多原邪子分雪子的构平均贩总动彼能：气体术的内能是下朵列能况量的宽总和撤：①气体仪分子闹的动选能（针平动剧动能朱、转墓动动酱能和陈振动努动能贞）；②分子姥之间誉的相扣互作边用势享能。3.理想刻气体唱的内愉能in丧te何rn兔al响e砌ne价rg杀y对于梨理想掀气体旦，除碰铺撞外挺，分楼子之茂间的氧势能②忽略钻不计乔。设系统共有N个分子，每个分子的平均动能为，则内能为。理想拾气体凑内能：结论：理雪想气安体内洞能只却是温择度的师单值姑函数醒。§2爸-3陵能均庭分定握理[例1]计算难室温监（27C）下1mo开l氢气烛、氦团气、铸氧气婚和二妄氧化私碳的满内能延。设恶上述它气体屑为理佩想气奥体。解：些氢气百和氧槽气：i=5，内能快为解：耻空气奋是氧臣和氮鸭两种流双原娘子分污子组剂成的娇混合园气体。氦气：i=3，内能为二氧化碳：i=6，内能为[例2]求18足L空气劈燕在标妖准状婶态下誉的内勾能和饱等质捏量的尸氢气冲在标亮准状色态下浆的内勿能。床已知垫空气赔的平盛均摩遮尔质专量为M空=炼28训.9满103kg舅/m索ol。，M氢=扬2.疼0遣103kg炕/m进ol§1改7-逗9Ma范xw肯el轮l速率舅分布Ma宵xw创el您l’划s安La察w版o纸f歇Sp策ee虾d兆Di索st沫ri触bu跨ti糠on为定启量描掏述此身分布郑情况泽，引心入速索率分迷布函房诚数：分子妻的运惜动具评有无度规性降，如坏果跟往踪每恩一个阿分子参，其咏速率勤也表魂现出仍随机快性，绳但大肯量分光子的底集体熟会表知现出践一定辉的规切律。英将凤速率跃的可铁能取涌值[0,）分篇成许度多小项区间古，大滋小为Dv，统体计出李每一墙个速表率区讲间的朴分子访数DN占总隔分子厚数N的百给分比(DN/N)，这笛些百脱分比炕就能卵够反要映分子俘按速沟率的附分布情况嘉。vO考虑速率唱处于vv+dv区间荡的分庙子数dN占总题分子追数N的百拥分比可记钳为1.速率句分布食律和份分布门函数§2肤-4到Ma勺xw哑el谣l搞速率摇分布田律引入速率柄分布逢函数：f(v)的意广义：损速率贵处在v附近豪单位甜速率苹区间雕的分膝子数占总袭分子班数的百谎分比厉；或负表示简单个概分子保速率蛮处于v处单询位区圾间的概率。

速率处在无限小区间

v

v+dv的分子数占总分子数的百分比为：，即窄条的面积。速率雅处在威有限罢区间[v1,v2]的分子蜡数占娃总分奋子数大的百竹分比亦为：，即[v1,v2]段曲线疯下的仙面积。v1

v

v2dvvf(v)O即曲傲线下滤总面厉积为1。速率装分布堂函数签满足归一愧化条眠件：§2弄-4亡Ma学xw鹅el勤l盟速率仙分布右律推广：如果物理量A可以表示为速率v

的函数，即，则它的平均值为例如拜：速率窝的算的术平境均值(g(v)=缎v)速率触平方字的平左均值()气体控分子庙的平屈均速亩率:大量菜气体所分子币速率掠的算继术平北均值讽。假设速率唉处于vv+dv区间幅的分旱子数努为dN，可认潜为有蛮相同辣的速仿率v,则平均冷速率为§2侵-4诊Ma醉xw推el河l刘速率氧分布他律解：（1）速率惹分布抚曲线辉：[例]有

N个粒子，速率分布函数为

（1）作速率分布曲线；（2）由N和v0求常数

C；（3）求粒子的平均速率和方均根速率。（2）由归晶一化鞋条件怒，有（3）v0vf(v)OC2.Ma际xw项el妹l速率予分布在温机度为T的平谈衡态果下，捞气体晕分子欢速率揉处于vv+dv的分子状数占视总分舟子数冰的百偶分比框为可以使用实容验方优法研困究速绵率分石布的租规律屠，测折出速贫率分炭布曲即线。炉由于世技术化原因版，直独到19狮20’s才得以共实现妙。高真购空技真术和潮测量低技术葛正传权实渔验（19年34年）窗，Mi紫ll允er和Ku梦sc坛h实验捕（19习56年）Ma扁xw仁el抹l等人吩曾从返理论便上导渐出速潜率分奔布的纱具体饿规律向，即Ma糊xw凝el链l速率印分布舰律：其中k—Bo件lt延zm宿an容n常数；m—分子案质量或分布露函数陕为§2垄-4筑Ma仇