第四节闭区间连续函数性质

闭区间上连续函数的性质一、函数的一致连续性一致连续的概念证证于是证′

在（0,1]上，注如果是开区间，或者是无穷区间，则上述结论未必成立.上连续,则上一致连续.定理（一致连续性定理）若函数f在闭区间(i步)最州大值认与最屑小值识的概陵念定义1对于演在区摆间D上有躺定义收的函辛数f(x)，如果杨有x0D，使得牧对于急任意xD都有f(x)f(x0)竖(f(x)f(x0)绵)则称f(x0)是厚函数f(x)在弹区间D上的最大刻值(惕最小未值)最大慎值与替最小宅值举习例:例如函数f(x)=算1+患si鸟nx在区扰间[疯02p]上克有最毛大值望2咏和橡最小陈值屿0二招闭奇区间津连续爱函数魔的性警质1.母最值爷定理洲和有味界性红定理再如函数y=s量gnx在区筝间(朝−+)内冤有最虾大值帆1和图最小江值−或1但在指开区合间(笔0+)内，它的惜最大骄值和中最小巷值都跳是1注并非仇任何猾函数叹都有虏最大消值和仰最小潮值例如记，函数y=x在开畏区间奶(ab)内拉既无净最大被值又捷无最谋小值(i走i)最大爪值和川最小刊值定鹊理定理在闭赌区间[a,b]上连拴续的印函数迷在该询区间缺上一房诚定能推取得灵它的两最大算值和宴最小购值又至猜少有放一点x2至少酱有一定理说明如果退函数f(x)在让闭区铁间[ab]上温连续，那么点x1[ab]，使f(x1)是f(x)在垃[ab]上丢的最藏大值，[ab]毒，使f(x2)是f(x)在桥[ab]上句的最遭小值该定森理可隆用确议界原筹理证落明，区参见迹P6括9注如果剥函数猾仅在足开区捞间内秒连续，或函便数在叉闭区烘间上笨有间迫断点，那么卫函数逼在该辣区间倚上就骄不一叉定有染最大显值或弹最小君值例如，函数y=x在开侨区间湿(ab)内婚既无黄最大用值又恨无最碰小值又如，如队下函数劣在闭比区间师[02]奋内既膨无最逐大值咱又无帖最小卫值推论陕(有代界性泄定理读,P吨76脊)在闭盏区间民上连若续的窃函数哨一定原在该弯区间拾上有恭界证(补洗充)设函鸽数f(x)在厉闭区说间[ab]上虚连续根据碗定理房诚4.孤6存在f(x)在室区间肃[ab]上泥的最遇大值M和最岭小值m使任买一x[ab]满市足mf(x)M上式瓣表明f(x)在荐[ab]上谷有上勤界M和下竞界m因此践函数f(x)在够[ab]上有纵界2.根的宜存在定理熊与介杏值定权理其中意：如计果x0使f(x0)=0，则x0称为骨函数f(x)的零点定理2.脱4.宵8(父根的箩存在裳,零点定理鲜)设函肯数f(x)在舟闭区化间[ab]上岔连续，且f(a)与f(b)异栗号，那么曾在开区限间(ab)内闻至少纠存在罪一点x0，使f(x0)=0几何纺解释巧:例证明电方程x3-4x2+1=0里在区炸间(坊01)度内至脚少有初一个再根证设f(x)=x3-4x2+1，则f(x)狼在闭父区间滨[01]芝上连祖续，并且f(0臂)=1焰>辩0，f(1咐)=秆-2我<展0根据羞根的枝存在嫂定理，在(序01)逝内至弃少有是一点x0，使剑得f(x0)=0，即x03-4x02+1=0这说戏明方绑程x3-4x2+1=0仁在区膀间(些01)暖内至许少有镜一个疫根是x0证由根的面存在定理没，定理脚(宾介值元性定牲理)设函滋数f(x)在旋闭区垦间[ab]上镇连续，且f(a)f(b)，则对耕于f(a)与f(b)之峡间的俘任意晌实数，在开塌区间怪(ab)内锐至少性有一另点x0，使得f(x0)=即途[f(a),f(b)]f([a,b])拒.推论故2(剂P7破6)在闭看区间油上连咱续的亮函数姑必取片得介邻于最诉大值M与最称