第章 双变量回归：一些基本概念

第2章双变量回归分析：一些基本概念

回归分析是要根据解释变量的已知或给定值，去估计或预测因变量的总体均值 假如我们要研究每周家庭消费支出Y与每周可支配的家庭收入X之间的关系

假设这个国家的家体的总体由60户家庭组成。可以按收入的高低把这60户家庭分组，每一组的组内收入相差不大。假定我们得到的观察值如表2.1所示一个例子表2.1X：每周家庭收入（$）80100120140160180200220240260每周家庭消费支出556579801021101201351371506070849310711513613714515265749095110120140140155175708094103116130144152165178758598108118135145157175180—88—113125140—160189185———115———162—191共计3254644570767875068510439661211yx 表2.1的含义：它给出了以X的给定值为条件的Y值的条件分布（conditionaldistribution）

因为表2.1代表一个总体，我们可以从表中计算出给定X的Y的概率，这在统计上叫做什么？比如：

对Y的每一个条件概率分布，我们所计算出它的均值（mean或averagevalue），称为条件均值（conditionalmean）或条件期望（conditionalexpectation），记做：

比如，给定X＝80可以由表2.1绘制如右图的散点图返回 散点图表明对应于各个X值的Y的条件分布，它表明随着收入的增加，消费支出平均地说也在增加。 Y的条件均值随X增加而增加。图中的粗圆点（大的黑点）表示Y的各个条件均值 Y的条件均值落在一条正斜率的直线上，这条线叫总体回归线（populationregressionlineorcurve），它代表Y对X的回归

从几何意义上讲，总体回归曲线就是，当解释变量取给定值时，因变量的条件均值或条件期望的轨迹

图2.1可以画成图2.2的形式 可见，对应于每一个Xi都有一个Y值的总体和一个相应的条件均值。而回归直线（曲线）正好穿过这些条件均值总体回归函数（PRF，populationregressionfunction）由图2.1和图2.2可见，每一个条件均值都是的一个函数，即：（）这个方程就叫做（双变量的）总体回归函数（PRF）或简称总体回归（populationregression,PR），它表明Y的均值或平均响应（averageresponse）是如何随X而不同

的具体函数形式如何确定是一个经验问题，已知的经济理论可以给我们一些指导。假如，是的线性函数：（）和为回归系数（regressioncoefficients），（）称为线性总体回归函数，或简称线性总体回归。 在我们的课程中，回归，回归方程和回归模型将不加以区分，作为同义词使用

“线性”一词的含义 （）式被称为“线性”总体回归，其中的“线性”的含义是什么？ 它可以作两种解释： （1）对变量为线性 即：Y的条件期望值是

的线性函数，从几何意义上看，这样的回归曲线是一条直线。 诸如：这样的回归函数，就不是线性的。（2棕）对吧参数探为线吊性即Y的条职件期郊望朽是干参数岗的很一个怀线性对函数虏；它竟既可陶以是牌也可炎以不宿是变士量X的线业性函选数这样揉以来若，就是理一个帽线性仓回归里模型坝，而则不膝是线旱性的逮。在今裤后的呆课程条中，支我们蹲讲的佣“线联性”抛指的妥是对项参数到为线体性的拣情况活，对棵解释师变量则可无以是拜也可箩以不臣是线竟性的怜。如：是一愁个LR散M（li敌ne厚ar违r水eg例re敞ss羡io糟n营mo虹de殃l）PR盾F的随揭机设封定我们础现在赤再回匆到表2.闯1和图2.呼1，可沈见，乔随着料家庭约收入珠↑，迫家庭谢消费鬼支出屿平均猫地看陈也会辉↑；绑但是鄙对具程体的腊某一桐个家服庭的贩消费盛支出任却不气一定浇随收锻水平尘↑而载↑给定葵收入饮水平的个遍别家劳庭的亿消费副支出哥，聚凝集在锯收入突为的所恰有家导庭的麦平均输消费巡寿支出贝的周痰围，增也就颠是围彻绕着乳它的吴条件赚均值个别棍的Yi围绕狐它的闷期望序值的算离差缩慧（de墓vi叼at尿io奏n）可以踩表示闯如下洁：或植（）离差ui是一气个不溉可观浩测的斜随机怨变量斯，称慈之为泥随机康干扰宁（st螺oc盖ha决st自ic丧d俭is凡tu寺rb店an复ce）或随河机误建差项乞（st尸oc班ha句st的ic唤e槽rr割or）从计羡量经削济学惕上看屋，对床于给夜定的X水平盯，个拼别家膏庭的巾支出哪可以嚼分解雾为两粒个部慕分：①表岩示收挪入相税同的影所有置家庭顷的平湖均消杠费支妨出，笋称为狂系统墙性（而sy垂st纲em槐at苦ic久）或圈确定沃性（饮de尚te苦rm耻in补is庭ti茄c）项成分江（c授om事po堵ne尤nt君）。②ui为随蓝机的棚或非基系统嗽性成易分（no峰ns观ys除te悠ma修ti畏c盼co及mp杠on麦en乌t）。劈燕它是天代表印所有霉可能耗影响Y的，晨但又阵没有物包括茎到回夜归模恰型中预的替益代（su刊rr牧og部at换e）或然代理揉（pr皇ox汽y）变奥量假定区对丝式是线悉性的柜，（侧）式菜便可研以写硬为：（）它表奋示消范费支仰出Y茫线性蕉地依搁赖于咐相应祖的收拍入敢和随箱机扰牧动项由（摸）式挪：袋两边狱取期幻玉望值根得：而竹也争就是放，所受以有仓：（）这就咽是说泰，给摊定Xi，ui的条放件均国值等迎于零晓。随机敬干扰校项的谜意义干扰渔项是况模型锦中省革略掉翠的，秋又集死体地旨影响Y的全肾部因劳素（糟变量姜）的皂替代趣物（su柄rr渐og挂at氏e）那么馅，为缓什么合不构蓬造一添个含船有尽漆可能佩多的好解释常变量豪的复案回归砍模型杠呢？走原因贺如下哑：理论蛮的含皆糊性玻：现有悔的理迈论往躺往是皮不完茫全的榴。物向理学峡上有叮个“叨测不糊准定雀理”管：我郊们永抓远不拿可能娘接近枯真实麦的世衰界，覆因为捆我们项的观孔测总哥是要融借助膊于工锣具和零环境数据朱的欠赢缺：比如便，在和分析奸影响番家庭牵消费终支出录的例撇子中单，应杨该加傲进“炒财富锐”变拥量，色然而第，人助们总丘是怕廊“露委富”防，有胞些人细“班装富给”，畅所以勉，一考般很霉难得观到有拦关家版庭财边富的逼确切夏数据核心隐变量门与周富边变震量（Co遵re修v少ar急ia拆bl精es抱v亩s.芝p脖er载ip它he钢ra烦l截va扁ri盾ab册le田s）：在消加费——收入库的例肺子中看，除每了X1（家庭乌收入斧）外励，家切庭的连儿童晋数X2，性别X3，宗教X4，教育X5和地倍区X6也影盘响支萍出。元但这钥些变势量的御影响冠可能扬很小最，以晃至于逢可以刷忽略肚不计凤，因刚此称波它们团为周屑边变驼量（pe压ri啦ph隆er绵al检v储ar吉ia芬bl浪es）还有晋一个杰原因屡：性朽别、蔬教育矿、宗逗教等葵变量着难以羞数量录化（di嚼ff护ic芽ul冈t忘to刑q帐ua挡nt洪if雾y）人类夏行为绘的内弯在随造机性：社践会科叹学研拼究的责是人待类的疾行为趟。人犹为什森么如柱此行涌动，刃有时穗连他悠自己跃都说道不清厨楚糟糕汇的替搞代变逐量（po恨or储p近ro桃xy美v家ar国ia齿bl源es）：举个块例子Mi妥lt垮on饲F锁ri赵ed防ma亭n（弗里挽德曼桶）的砍消费孝函数炸理论含把永认久消酒费（YP）（pe痕rm尿an臣en倦t疑co胸ns廊um向pt坊io移n）看作享是永落久收户入（XP）（pe阁rm床an形en考t悔in子co坟me）的函淋数“永纤久消拾费”膏和“件永久耍收入丘”是夹两个法抽象凡的概倘念，伞不可拢以观理测，乌实际桥上，脂只能沈用可赢以观党测到梁的当哑前消所费Y（cu映rr抗en久t氧co筹ns犁um牙pt乏io费n）和当油前收袋入X（cu息rr庙en坊t档in茄co活me），或者n个时披期的渴平均另值去桂替代忙。这达便有州个测母量误警差。剂∴干边扰项ui也用省来代荡表测梳量误久差节省种原则取：做回谢归模慢型，针在许挤可的无范围拖内尽妥量节股省——减少滴变量虎的个谁数。哭这也叨有个蚕“投贪入产嫁出”划的问首题。首当然芽，不淹能为舞了简倘单而寻省去店有关摧的和迹重要笋的变初量错误早的函英数形坝式：比如牺：到底劳是哪兽一种迅，可葛能我茄们并班不是沉十分惑清楚清，借龙助于券经济予理论你，散栗点图苦会有据助于夕我们撕的分惜析样本仓回归搁函数廊（SR填F，Th臂e改Sa私mp岭le辜R垄eg番re悄ss间io衔n翼Fu牢nc榴ti谱on）表2.挎1是一穗个总居体，届这是恰一个假定的总燥体，哭在现躬实的登经济臂生活梁中总首体的督所有啦观测潮值往目往是延不能主够全昨部获浇得的屑。在大庄多数换情况毅下，雾我们照只有悠对应奴于某忠些固狂定的X的Y值的却一个仇样本驼。比赛如，杆对于依表2.铺1的总掌体我涝们只拿知道戴如下茂的抽浸取的掘样本:YX7080651009012095140110160115180120200140220155240150260表2女.4竹表2能.1吵总体注的一扬个随吸机样耻本各次过抽样坡之间暴总存摘在波枣动（穷误差稻），旬表2.牺5是另鞠一个删随机场样本表2.勾5表2.铁1总体拾的另追一个嫂随机趣样本那么肌，我成们能备否从局上表鸡的样骑本数需据预她测整异个总缸体中咽对应垂于选者定X的平支均的脾消费死支出Y呢？馅或者视说，抚能否熟估计瓶出PR随F？YX5580881009012080140118160120180145200135220145240175260根据针表2旺.4厕和表图2.舱5可妥以得邀到如友下的梢散点寄图。SR笋F1是根影据第恭一个聚样本速画的跪；而SR稍F2是根还据第二个样雨本画狭的。忘图中的回饲归线俘叫样薪本回督归线况（sa污mp蠢le榨r查eg班re途ss煤io加n屯li廊ne纹s）对应俱于样塘本回差归线顺的方复程叫肥样本慢回归成函数熟（s败am客pl唇e刊re猫gr楼es雹si恼on钞f虽un洁ct覆io碧n，届简记鬼S否RF毙）：（）表示希的估胖计量档(全在惕SR疮F上)表示仙的汁估计矿量表示冠的估术计量估计耽量（熊es买ti席ma啦to摸r）腥，也板称样门本的顿统计引量（紫st芬at垮is快ti醉c）爆是总养体参锡数的宫一