数学建模的思想和方法

关于数学建模的思想和方法第1页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三玩具、照片、飞机、火箭模型……实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……物理模型地图、电路图、分子结构图……符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。

模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。1.1从现实对象到数学模型第2页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三启示：

很多同学，尤其是非数学专业的同学，把数学建模看得很神秘，总以为它高深莫测，其实并非如此。实际上，数学建模就是发生在我们身边的事情，可能你不经意间就在进行着数学建模和求解，只不过你不知道罢了。可以毫不夸张地说：数学建模无时不在，无处不在!数学建模无时不在，无处不在!第3页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.航行问题:甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解数学建模无时不在，无处不在!第4页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三航行问题求解过程分析:

作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20千米/小时）。在解决这个问题的过程中，我们经历了如下的步骤：实际上，上述过程就是数学的建模和求解过程，连这样的小问题都是数学建模的问题，那么关于数学建模的广泛性和普遍性，大家就可想而知了。第5页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三数学模型和数学建模对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling)第6页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.2数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展；

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域数学建模大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第7页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三数学建模的具体应用

分析与设计预报与决策控制与优化规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第8页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.3数学建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗?问题分析模型假设通常三只脚着地放稳四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。第9页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()xBADCOD´C´B´A´椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转四个距离(四只脚)两个距离正方形对称性第10页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，

f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来第11页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键:和f(),g()的确定.模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法第12页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.3.2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策:每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求:在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)第13页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三模型构成Xk--第k次渡河前此岸的商人数yk--第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)--过程的状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S--允许状态集合uk--第k次渡船上的商人数vk--第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)u+v=1,2}--允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k--状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题第14页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三模型求解xy3322110穷举法----编程上机图解法状态s=(x,y)--16个格点--10个点允许决策--移动1或2格;k奇,左或下移;k偶,右或上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广d1d11允许状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}第15页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.3如何预报人口的增长第16页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)--时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长第17页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三指数增长模型的应用及局限性

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第18页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r--固有增长率(x很小时)xm--人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第19页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)--S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)第20页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位--百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计r=0.2557/10,xm=392.1阻滞增长模型(Logistic模型)第21页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三模型检验把模型计算结果

与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用--预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数r=0.02490,xm=434.0x(2010)=306.0阻滞增长模型(Logistic模型)第22页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。我们所指的建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4

数学建模的方法和步骤第23页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’第24页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具

数学建模的一般步骤第25页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用

数学建模的一般步骤第26页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践第27页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.5

数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性数学模型的特点第28页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续数学模型的分类第29页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际题目第30页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三2.数学建模竞赛的的思想和方法

全国大学生数学建模竞赛是由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向大学生的课外科技活动,是全国高校规模最大的课外科技活动之一,居教育部四大学科竞赛之首。本竞赛在每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。

2008年全国有31个省/市/自治区(包括香港)1023所院校、12846个队（其中甲组10384队、乙组2462队）、3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的一次！可以说，大学生数学建模竞赛是我国高等教育改革的一次成功实践。第31页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三2.1参赛目的和原则提高对数学知识应用性的认识提高对专业知识应用性的认识培养应用能力和探索精神培养创新意识和创新精神提高独立解决问题的能力提高分析问题解决问题的能力培养团队精神培养编程能力提高表达及写作能力参赛目的参赛原则继承和创新相结合的原则理论与实践相结合的原则普遍和特殊相统一的原则分工和合作相统一的原则第32页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三2.2数学建模队伍的组织组队时，要统筹兼顾，充分利用现有的师生资源。既要考虑到每个队伍中学生的年级情况，又要考虑到其学生的学习情况、专业背景等，一般来讲，三个学生最好来自不同的专业，每个队伍中既要有理论知识雄厚的学生又要有编程能力较强的学生，既要有精通理工科知识又要有文笔出众的学生，对于教师亦是如此，既要考虑到教师的经验和能力，又要考虑到教师的年龄和体力，既要考虑到与学生的熟悉和默契程度，又要考虑到师生的专业，保证师生资源的合理配置，使师生资源能够最大地得到利用，确保参赛队伍具有很强的战斗力。第33页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三2.3数学建模竞赛的步骤和方法

数学建模竞赛一般在每年9月中旬举行(某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时。周一上午在网上递交电子版的竞赛论文）。

2009年数学建模竞赛定于9月11日上午8：00开始，赛题将同时在全国大学生数学建模竞赛、高等教育出版社和中国数模以及数学中国等网站发布。

(1)选题

拿到赛题后，学生和指导教师要一起来分析和研究各个赛题，要根据各赛题的难易程度和知识成分并结合本队学生的知识特点和特长来进行选题。

(2)赛题分解

对赛题进行必要的分解，然后根据学生的专业、知识结构和能力进行合理的分工，谁干什么，怎么干，都要心中有数。要有主要负责建模的，主要负责编程的，主要负责写作的。但切记分工是相对的，合作是绝对的，怎么配合，怎么互相帮助，事先都要有充分的考虑。第34页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

(3)查阅资料

在开始解决各个问题之前，所有学生都必须要先查阅资料，只有掌握具有针对性的第一手资料、阅读和理解了资料，工作才能进行下去。查阅资料时，可以利用goole和baidu等搜索引擎搜索相关网页，也可以通过校园网图书馆内电子资源中的CNKI数据库，维普科技期刊，万方数据等数据库来查找相关的期刊论文和学位论文。

(4)分题求解

一般每个问题都包括建立模型、编程求解和答案书写等三个部分，建模时,三个学生要合作，要一起来进行思考和分析，搭建出模型的基本框架，然后把具体的细节问题交给负责建模的学生，此时负责编程的学生要基本上了解模型的结构，对于一些问题如包括哪些变量、变量之间的关系如何、要采用什么样的算法来求解等等都要心中有数，并且开始动手编程，负责写作的学生要把问题分析、模型假设、符号说明等框架写出来。第35页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三(4)模型的验证和修改建立模型、制定算法、编程求解后，一般来说，所得到的结果与问题的实际理想值都会有一定的出入，甚至有时所得的结果非常离谱，简直不可思议。此时一定不要慌，大家要集中起来认真分析，一个问题一个问题地去排除，如可以先检查一下模型是不是有问题，是不是在建模的时候有些因素没有考虑到；如果模型没有什么问题，那么再检查一下程序编写得是不是有问题等等，一个正确模型的建立，肯定不会一蹴而就的，要经过不断的修改和反复验证，直至与问题相符合为止。第36页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三（5）论文成稿与修改常言道：“编框编篓，全在收口”，一个模型建立的好坏固然很重要，但是最后论文的书写也非常重要，要注意用标准的数学语言来进行表述，各个问题的解答基本上都要包括这样几个部分：问题分析，问题假设，符号说明（通用的符号在前面统一说明，具体各分题的符号在各个问题解答之前说明）等等，每个问题的叙述都应具有独立性和自含性，即阅卷人单独阅览某个问题时不需要阅读全文，就能获得该问题必要的信息。整篇论文要内容完整，论点鲜明突出，论据充分确凿，论述条理清楚，分析透彻，具有说服力；整个推导过程要严谨，实验曲线、模拟结果和结论正确；要语言准确，语句通顺，行文流畅，叙述简明扼要，层次清晰，结构严谨；撰写规范，格式正确，曲线的线条要均匀清晰、整洁美观，问题分析假设、建立模型等各栏目齐全、合理，没有遗漏项目。一篇好的论文要经过不断的修改才能最终定稿、上交。第37页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三2.4注意事项(1)选题要慎重

一般来讲，选好了赛题后，除非万不得已，不要轻易换题，因为每个竞赛试题都有很大的难度，在规定的时间内完成任务，压力很大、时间很紧张、基本上都不够用，半道换题就不更用说了。(2)资料要充足

很多学生不喜欢查资料，上来就开始进行赛题的分析和研究，要时刻牢记：兵马未动、粮草先行。资料就是我们的粮草！我们的第一个任务就是要查阅大量的资料。第38页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三