高中数学一轮复习之函数的周期性

高中数学一轮复习之函数的周期性

第8节函数的周期性【基础知识】1.周期函数：如果对于函数y=f(x)，存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。3.关于函数周期性常用的结论(1)若满足f(x+a)=-f(x)，则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(2)若满足f(x+a)=f(x)，则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(3)若函数满足f(x+a)=-f(x)，同理可得2a是函数的一个周期(a≠0)；(4)如果y=f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x±nT)=f(x)(n∈Z)；(5)函数图像关于x=a,x=b轴对称，则T=2(a-b)；(6)函数图像关于(a,b)、(b,a)中心对称，则T=2(a-b)；(7)函数图像关于x=a轴对称，关于(b,0)中心对称，则T=4(a-b)。【规律技巧】1.求函数周期的方法：求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y=Asin(ωx+φ)，用公式T=|ω|^-1计算。递推法：若f(x+a)=-f(x)，则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)，所以周期T=2a。换元法：若f(x+a)=f(x-a)，令x-a=t，x=t+a，则f(t)=f(t+2a)，所以周期T=2a。2.判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题。3.根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想。【典例讲解】例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)。当x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2。第8节函数的周期性【基础知识】1.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。3.常用的函数周期性结论：(1)若满足f(x+a)=-f(x)，则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(2)若满足f(x+a)=f(x)，则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(3)若函数满足f(x+a)=-f(x)，同理可得2a是函数的一个周期(a≠0)；(4)如果y=f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x±nT)=f(x)(n∈Z)；(5)函数图像关于x=a,x=b轴对称，则T=2(a-b)；(6)函数图像关于(a,b)、(b,a)中心对称，则T=2(a-b)；(7)函数图像关于x=a轴对称，关于(b,0)中心对称，则T=4(a-b)。【规律技巧】1.求函数周期的方法：求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y=Asin(ωx+φ)，用公式T=|ω|^-1计算。递推法：若f(x+a)=-f(x)，则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)，所以周期T=2a。换元法：若f(x+a)=f(x-a)，令x-a=t，x=t+a，则f(t)=f(t+2a)，所以周期T=2a。2.判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题。3.根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想。【典例讲解】例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)。当x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2。1.求证f(x)是周期函数；2.当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；3.计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)。解：1.判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题。2.当x∈[2,4]时，f(x)=f(x-4)。因为f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)=f(x-4k)，其中k为任意整数。因此，当2≤x≤4时，f(x)=f(x-4)=f(x-8)=…=f(x-4k)，即f(x)的解析式为f(x)=f(x-4k)，其中k为满足2≤x-4k≤4的最大整数。3.已知f(0)=0，f(1)=1，f(2)=-1，f(3)=-1。又f(x)是周期为4的周期函数，因此f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0。所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(0)+f(1)=1。1.格式错误已删除，改写后：已知函数f(x)在R上连续，且满足以下条件：①f(x)在[4.5,7]上单调递增；②对于任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)；③函数f(x+2)的图像关于y轴对称。则下列结论正确的是()A.f(7)<f(6.5)<f(4.5)B.f(7)<f(4.5)<f(6.5)C.f(4.5)<f(6.5)<f(7)D.f(4.5)<f(7)<f(6.5)【答案】D2.改写后：设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为【答案】f(x)∈[-2,7]【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键。3.改写后：定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)。当x∈[-3,-1)时，f(x)=-(x+2)^2，当x∈[-1,3)时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2015)=（）（A）336（B）355（C）1676（D）2015【答案】A4.改写后：已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)=，则实数a的取值a+1范围为()A.(-1,4)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(-1,2)【答案】A5.改写后：设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+1)=-1/x。当x∈[-1,1)时，f(x)=-4x^2+2，当x∈[1,2)时，f(x)=x，则f(0)=？【答案】16.改写后：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【答案】D7.改写后：已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x^2，则f(7)等于()A.-2B.1C.2D.无法计算【答案】A8.改写后：已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，则f(2013)+f(2015)的值为A.-1B.1C.98D.无法计算【答案】C9.改写后：设奇函数f(x