广西壮族自治区南宁市五一西路学校2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市五一西路学校2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，若z的最大值为12，则z的最小值为（

）A．-3 B．-6 C．3 D．6参考答案：B2.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D3.设a，b∈R，则“a+b≥4”是“a≥2且b≥2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=1，b=5满足条件．a+b≥4，但a≥2且b≥2不成立，即充分性不成立，若a≥2且b≥2，则a+b≥4成立，即必要性成立，即“a+b≥4”是“a≥2且b≥2”的必要不充分条件，故选：B．4.设（是虚数单位），则

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.函数的单调增区间是A.(－∞,2]B．[0,2]C．[2,4]D．[2,+∞)参考答案：B6.已知映射．设点，，点是线段上一动点，．当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为

（

▲

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案： A8.若为第二象限角，则复数（i为虚数单位）对应的点在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D为第二象限角，，对应的点应该在第四象限。故答案选

9.设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．参考答案：A

考点：集合的运算，指数不等式，对数函数的定义域．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，对任意的恒成立，则x的取值范围为__________．参考答案：略12.下列说法中错误的命题是

.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②命题“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x∈R,x2-x≥0”;③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题;④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件.参考答案：2,3,4略13.（2009福建卷理）某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算失误，则数字应该是___________参考答案：解析：观察茎叶图，可知有。14.向量，若，则实数等于

；参考答案：5

15.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．16.函数的定义域为__________．参考答案：略17.如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a的值是．参考答案：0或﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式，解之即可．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，∴﹣=，解得：a=﹣1，综上，a=0或﹣1，故答案为：0或﹣1．【点评】本题主要考查了两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆的参数方程为(为参数),点的极坐标为.（Ⅰ）化圆的参数方程为极坐标方程；（Ⅱ）若点是圆上的任意一点,求,两点间距离的最小值．参考答案：（1）圆C的直角坐标方程为，展开得化为极坐标方程（2）点Q的直角坐标为，且点在圆内，由（1）知点的直角坐标为所以，所以两点间距离的最小值为略19.已知函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1x2＜a2．参考答案：（1）（e，+∞）；（2）见解析【分析】（1）先求导数，再根据导函数有两个不同的零点，确定实数a所需满足的条件，解得结果，（2）先根据极值点解得a，再代入化简不等式x1x2＜a2，设，构造一元函数，利用导数研究函数单调性，最后构造单调性证明不等式.【详解】（1）∵函数，∴x＞0，f′（x）=x-alnx，∵函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=x-alnx=0有两个不等根，令g（x）=x-alnx，则=，（x＞0），①当a≤0时，得g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上不可能有两个零点．②当a＞0时，由g′（x）＞0，解得x＞a，由g′（x）＜0，解得0＜x＜a，则g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，要使函数g（x）有两个零点，则g（a）=a-alna＜0，解得a＞e，∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）由x1，x2是g（x）=x-alnx=0的两个根，则，两式相减，得a（lnx2-lnx1）=x2-x1），即a=，即证x1x2＜，即证=，由x1＜x2，得=t＞1，只需证ln2t-t-，设g（t）=ln2t-t-，则g′（t）==，令h（t）=2lnt-t+，∴h′（t）==-（）2＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）=0，∴g′（t）＜0，即g（t）在（1，+∞）上是减函数，∴g（t）＜g（1）=0，即ln2t＜t-2+（1，+∞）上恒成立，∴x1x2＜a2．【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合论证求解能力，属难题.20.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且S△ABC=bccosA．（1）求tan2A的值；（2）若b2=a2+c2﹣ac，b=，求c．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由题意和三角形的面积公式求出tanA的值，由二倍角的正切公式求出tan2A的值；（2）由题意和余弦定理求出cosB，由内角的范围和特殊角的余弦值求出B，由同角三角函数的基本关系求出sinA，由正弦定理求出边a，代入b2=a2+c2﹣ac求出c的值．【解答】解：（1）由题意知，S△ABC=bccosA，则bcsinA=bccosA，则sinA=2cosA，即tanA=2，所以tan2A===﹣；（2）因为b2=a2+c2﹣ac，所以a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理得，cosB==，由0＜B＜π得，B=，由（1）知tanA=2，则，解得sinA=±，因为sinA＞0，所以sinA=，由正弦定理得，，a===2，代入b2=a2+c2﹣ac得，5=8+c2﹣4c，则c2﹣4c+3=0，解得c=3或1．21.某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(奖金额3000元)、专业二等奖学金(奖金额1500元)及专业三等奖学金(奖金额600元)，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。(Ⅰ)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2联表并判断是否有99.9％的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？(Ⅲ)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望。P()0.010.050.0100.0050.001k02.713.846.647.8810.83参考答案：22.（本小题满分12分）

已知等比数列满足，且是的等差中项，（1）求数列的