数学模型电子教案 m★汉魅HanMei-课程讲义3

第十一章马氏链模型11.1健康与疾病11.2钢琴销售的存贮策略11.3基因遗传11.4等级结构马氏链模型系统在每个时期所处的状态是随机的从一时期到下时期的状态按一定概率转移下时期状态只取决于本时期状态和转移概率已知现在，将来与过去无关（无后效性）描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型马氏链(MarkovChain)——时间、状态均为离散的随机转移过程通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质例1.人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8,而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，11.1健康与疾病

人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计,以制订保险金和理赔金的数额

若某人投保时健康,问10年后他仍处于健康状态的概率Xn+1只取决于Xn和pij,与Xn-1,

…无关状态与状态转移状态转移具有无后效性

120.80.20.30.7n0a2(n)0a1(n)1设投保时健康给定a(0),预测a(n),n=1,2…设投保时疾病a2(n)1a1(n)0n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关3…

0.778…

0.222…

∞

7/9

2/9

0.70.770.777…0.30.330.333…

7/9

2/9

状态与状态转移120.80.20.30.710.80.220.780.221230.10.0210.80.250.180.65例2.健康和疾病状态同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡为第3种状态，记Xn=3健康与疾病

p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1n0123a2(n)00.180.1890.1835

a3(n)00.020.0540.0880

a1(n)10.80.7570.7285设投保时处于健康状态，预测a(n),n=1,2…不论初始状态如何，最终都要转到状态3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,则对于n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即从状态3不会转移到其它状态。状态与状态转移00150

0.12930.0326

0.8381

马氏链的基本方程基本方程马氏链的两个重要类型1.正则链~从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。w~稳态概率马氏分链的深两个居重要艇类型2.吸收揉链~存在粒吸收苍状态逆（一墓旦到龄达就切不会郊离开忍的状福态i,pii=1娃）,且从任帅一非桑吸收悄状态吐出发专经有菠限次季转移康能以拒正概址率到境达吸开收状尿态（幅如例2）。有r个吸练收状酸态的称吸收逝链的钟转移恼概率奖阵标大准形监式R有非摆零元促素yi~从第i个非侨吸收备状态全出发邀，被突某个羞吸收朽状态邻吸收塔前的傍平均鹊转移偿次数拿。11拜.2钢琴罪销售即的存波贮策厨略钢琴蔽销售逮量很宇小，镇商店职的库浮存量过不大取以免尿积压歇资金一家纲商店膝根据宪经验块估计就，平侮均每她周的宜钢琴粱需求陡为1架存贮户策略：每姐周末归检查茶库存疮量，盈仅当俱库存杜量为碎零时打，才及订购3架供拘下周纳销售阀；否亩则，省不订耀购。估计番在这慨种策悠略下肺失去核销售征机会孕的可登能性农有多掘大，圾以及度每周紫的平耽均销连售量辱是多针少。背景造与问恶题问题幸分析顾客开的到局来相称互独叶立，择需求敲量近挡似服移从波描松分畜布，守其参哪数由跟需求壁均值描为每煎周1架确秘定，摔由此要计算它需求亮概率存贮续策略扮是周涂末库沿存量猫为零灾时订粥购3架周末圾的库筹存量靠可能胆是0,诸1甘,则2,坑3，周隶初的塞库存去量可涉能是1,婚2耕,煎3。用马武氏链雁描述澡不同摇需求朵导致刊的周备初库绿存状逮态的档变化瓦。动态避过程丝式中每苹周销深售量淋不同竹，失剩去销河售机术会（刮需求践超过师库存造）的轮概率赚不同竟。可按科稳态总情况庄（时瓦间充萝分长熔以后至）计仗算失铜去销久售机乖会的场概率荐和每节周的丛平均检销售撇量。模型牺假设钢琴找每周赏需求轻量服茫从波蜻松分撞布，梁均值缴为每湖周1架存贮桶策略：当黎周末灭库存忠量为贷零时势，订疮购3架，科周初盏到货戚；否菌则，伍不订愿购。以每利周初稼的库瓜存量卵作为古状态钢变量烫，状苦态转罢移具荷有无暂后效遇性。在稳备态情去况下获计算随该存墨贮策巩略失较去销胳售机据会的狂概率针，和锅每周钳的平垄均销便售量洋。模型尺建立Dn~第n周需鸭求量，均值控为1的波培松分沾布Sn~第n周初香库存虑量(状态灵变量)状态租转移盒规律Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019状态转移阵

…触…模型混建立状态概率

马氏寒链的史基本楼方程正则链

稳态概率分布w满足wP=w已知展初始皮状态镇，可席预测逃第n周初义库存恶量Sn=i的概铺率n,状态概率

第n周失未去销矿售机瘦会的岔概率n充分大时

模型菠求解从长配期看是，失闪去销跪售机寄会的警可能徐性大桶约10环%。1.估计厨在这裳种策吼略下术失去览销售摆机会继的可皇能性D

0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019模型慢求解第n周平早均售谅量从长伞期看棒，每红周的霜平均隶销售蔽量为0.洁85售7(糟架)n充分大时

需求不超过存量,销售需求需求超过存量,销售存量

思考仁：为躲什么糟这个保数值炊略小政于每左周平鸭均需淘求量1(镰架)?2.估计寺这种闻策略钥下每而周的球平均妄销售盗量敏感贝性分糊析当平垄均需妇求在业每周1退(架地)附近船波动镇时，匆最终展结果骗有多汇大变气化。设Dn服从届均值候为的波走松分析布状态捉转移死阵0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去销售机会的概率

当平旨均需趋求增虽长（闭或减懂少）10妻%时，百失去搅销售贼机会赵的概啊率将国增长雪（或画减少沉）约12踢%。11逼.3基因牢遗传背景生物虑的外轧部表晕征由携内部炸相应境的基狠因决缘瑞定。基因亏分优沈势基秘因d和劣系势基贞因r两种娇。每种纸外部览表征绣由两缎个基燃因决型定，湖每个笋基因文可以汪是d,沃r中的猎任一妖个。涉形成3种基列因类垒型：dd~优种D,dr~混种H,rr~劣种R。基因替类型善为优饺种和筝混种,外部寨表征症呈优浴势；洁基因父类型洋为劣煎种,外部形表征逝呈劣腥势。生物任繁殖迷时后稠代随烂机地鸡（等颜概率暂地）送继承萍父、威母的签各一锹个基微因，扮形成拉它的竖两个畜基因哄。父狠母的祸基因尘类型突决定甩后代概基因妨类型穗的概乖率完全粗优势愤基因被遗传父母松基因萌类型镜决定役后代遵各种捷基因倚类型冰的概惕率父母基因类型组合后代各种基因类型的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011/21/200101/41/21/401/21/23种基鼓因类挠型：dd~优种D,dr~混种H,rr~劣种R完全两优势搁基因通遗传P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr)P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr)=1奴1完/2彩=1/塞2=1茎/2升1益/2尼=1/症4随机就繁殖设群输体中述雄性茫、雌拢性的们比例殊相等挨，基略因类岔型的蝇分布禁相同刻（记叛作D:H:R）每一顽雄性坐个体案以D:H:R的概醉率与泛一雌时性个牲体交具配，楚其后忆代随璃机地爆继承策它们赚的各瞧一个遇基因设初枯始一辛代基门因类睬型比谨例D:H:R=a:2b:c（a+铁2b柿+c埋=1)午,记p=届a+抚b,农q惨=b兰+c爹,则群体深中优丹势基固因和怪劣势狐基因壮比例d:r=优p:q(p+蚂q=1守)。假设建模状态Xn=1贺,2浓,3童~第n代的筝一个局体属瘦于D,地H荒,朽R状态户概率ai(n)僚~第n代的控一个裳体属说于状东态i(=市1,摆2,泛3)的概捕率。讨论京基因尖类型飘的演跳变情液况基因榨比例d:端r=凝p:菜q转移概率矩阵状态的转移睛概率随机棕繁殖马氏资链模嫂型自然辰界中鞋通常p=总q=1障/2稳态奴分布D:H:R=1雹/4筛:1胞/2凯:1棕/4基因匀类型许为D和H,优势放表征——绿色教，基因户类型促为R,劣势况表征——黄色巧。解释“豆科立植物怒的茎寒，绿根色:黄色=3服:1”(D+H):R=3:1随机大繁殖近亲读繁殖在一许对父泛母的应大量则后代描中,雄雌葬随机歼配对赚繁殖鲁，讨犬论一厌系列和后代电的基温因类伙型的虏演变帖过程蹦。状态飘定义帖为配故对的地基因费类型商组合Xn=1溪,2逗,3证,4理,5棉,6榜~配对窄基因鼓组合睁为DD财,R者R,姐DH飞,D犯R,暗HH松,H呀R状态窜转移铲概率马氏寒链模洲型I0RQ状态1(DD),国2例(RR)是吸轮收态芽，马况氏链粗是吸趣收链——不论福初始划如何贿，经啦若干执代近罩亲繁消殖，问将全帜变为炊优种年或劣扬种.计算倡从任扑一非豪吸收出态出税发，抱平均蜡经过由几代哪被吸杰收态能吸收追。纯种(优种极和劣趴种)的某终些品喜质不扇如混达种，协近亲变繁殖肢下大百约5~厅6代就合需重棕新选脏种.近亲关繁殖11症.4等级嫁结构社会售系统购中的吓等级陆结构众，适拣当、减稳定贪结构惜的意保义描述检等级榜结构严的演营变过衰程，风预测递未来险的结板构；确定案为达屠到某冈个理器想结支构应拆采取礼的策为略。引起迁等级醉结构殊变化倡的因涛素：系统悲内部附等级窑间的跃转移慢：提污升和袭降级丹；系统速内外冷的交臂流：售调入沸和退蛛出(退休乘、调仙离等).用马动氏链少模型炭描述击确定笋性转氏移问燥题——转移靠比例匠视为拥概率基本墓模型a(t)~等级们结构等级i=1桥,2挑,k（如助坏教、学讲师洪、教乎授）数量击分布n(t)=恼(n1(t),n2(t),nk(t))ni(t)延~t年属填于等屠级i的人训数，t=0奸,1亩,比例称分布a(t)=衣(a1(t),a2(t),ak(t))转移挣矩阵Q={pij}kk,pij是每死年从i转至j的比项例基本闻模型基本质模型~基本慎模型基本呈模型等级乱结构a(t)畅~状态卡概率P~转移断概率不矩阵用调笋入比形例进棍行稳戚定控锋制问题筝：给率定Q,哪些愁等级纽奉结构抗可以漠用合艳适的肝调入爪比例兼保持阴不变a为稳定结构用调君入比帜例进幻玉行稳川定控栗制求稳定结构a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*稳定扩域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行愧域A例列大轰学教豆师(助教肝、讲陵师、者教授)等级i=1敬,2苗,3，已知窄每年荐转移栋比例用调顷入比馆例进杏行稳死定控代制研究逃稳定觉域B的结蜘构