2016届高三数学一轮复习第10篇2节排列与组合课件理

第2节 排列与组合最新考纲1.理解排列、组合的概念.理解排列数公式、组合数公式.能利用公式解决一些简单的实际问题.编写意图

有限制条件的排列问题、组合问题、排列组合的综合问题,是高考考查的热点内容,常与两个计数原理、概率等知识交汇命题,多以选择题、填空题的形式出现.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出求解排列问题的常用方法,即“捆绑法”和“插空法”,突出求解组合问题的常用方法,即“直接法”和“间接法”,难点突破“分组分配”问题的求解方法,转化与化归思想、分类讨论思想的应用,思想方法栏目突破了排列组合综合问题的特殊求解方法,充分体现了转化与化归思想的灵活应用.课时训练以考查基础知识和基本方法为主,精挑细选,立题新颖,题题都有可能会是高考命题点.考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干

固双基知识梳理排列与组合见附表质疑探究:如何区分某一问题是排列问题还是组合问题?(提示:看选出的元素与顺序是否有关,若与顺序有关,则是排列问题;若与顺序无关,则是组合问题)基础自测1.用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(

C

)(A)8

(B)24

(C)48

(D)120解析:分两步:(1)先排个位有A1

种排法.(2)再排前三位有A3

种2

42

4排法,故共有A1

A3

=48(种)排法.2.已知5个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建一项,其中甲工程队不能承建3号子项目,则不同的承建方案共有(

)(A)4

种 (B)16

种 (C)64

种 (D)96

种解析:第一步确定甲工程队承建的子项目,从1,2,4,5号子项目中任4选一个,不同的选法有C1

=4(种);第二步,其余4个工程队不同的排4法有A4

=24(种).由分步计数原理可知,不同的承建方案有4×24=96(种).D3.有5张卡片分别写有数字1、2、3、4、5.从中任取

4

张,共有

种不同取法;从中任取4

张,排成一个四位数,共组成

个不同的四位数.5解析:(1)从5张卡片中任取4张,共有C4

=5(种)不同取法.的四位数.答案:(1)5

(2)1204.某班3名同学去参加5项活动,每人只参加1项,同一项活动最多2

人参加,则

3

人参加活动的方案共有

种(用数字作答).解析:A3

+C2A2

=120(种).5

3

5答案:1205(2)从5张卡片中任取4张组成一个四位数,共组成A4

=120(个)不同考点突破剖典例

找规律考点一排列的应用问题【例1】(2015金华联考)有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排;

(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;

(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;

(4)全体排成一排,女生必须站在一起;

(5)全体排成一排,男生互不相邻.解:(1)从7人中选5人排列,有A5

=7×6×5×4×3=2520(种).7(2)分两步完成,先选3人站前排,有A3

种方法,余下4人站后排,有A4

种方法,7

4共有A3

·

A4

=5040(种).7

4(3)法一

(特殊元素优先法)先排甲,有

5

种方法,其余

6

人有A6

种排列方法,共有5×A6

=3600(种).6

6法二

(特殊位置优先法)首尾位置可安排另

6

人中的两人,有A2

种排法,其他有A5

种排法,6

56

5共有A2A5

=3600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有4

4A4

种方法,再将女生全排列,有A4

种方法,共有A44

4·

A4

=576(种).4(5)(插空法)先排女生,有A4

种方法,再在女生之间及首尾55个空位中任选3个空位安排男生,有A3

种方法,共有4A45·

A3

=1440(种).反思归纳求解排列应用问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法【即时训练】(1)(2014淄博模拟)市内某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是(

)(A)48

(B)54

(C)72

(D)84(2)用0,1,3,5,7五个数字,可以组成

个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数.3解析:(1)由题意,先把3名乘客全排列,有A3

种排法,产生四个空,4再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中,有A2

种排法,则共有A3

·

A2

=72(种)候车方式.故选C.3

4(2)本题可分两类:第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所以五位数的个数为A4

=24;4第二类:0不在十位位置上,这时,由于5不能排在十位位置上,所以,十位位置上只能排1,3,7之一,有A1

=3(种)方法.3又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一,3有A1

=3(种).3十位、万位上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,有A3

=6(种).根据分步乘法计数原理,第二类中所求五位数的个数为A1

·

A1

·

A3

=54.3

3

3由分类加法计数原理,符合条件的五位数共有24+54=78(个).答案:

(1)C

(2)78考点二组合的应用问题【例2】某课外活动小组共有13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依据下列条件各有多少种选法?(1)只有2名女生;

(2)两队长当选;

(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选.解:(1)由题意,需选2名女生,3名男生,不同的选法有C2

·

C3

=5

810×56=560(种).(2)两队长当选,则只需从其他11人中选出3人即可,故不同的选法有11C3=165(种).(3)法一

(直接法)至少有一名队长当选,可分恰有一名队长当选与两名队长都当选两类.①恰有一名队长当选,先从2名队长中选1人,然后从11名队员中选4人,不同的选法有C1

×C4

=2×330=660(种).2

11②两名队长都当选,则只需从其他11人中选出3人,不同的选法有11C3=165(种).由分类加法计数原理可知,不同的选法共有660+165=825(种).法二

(间接法)从

13

人中任选

5

人,不同的选法有C5

=1287(种).13而两名队长都未当选,即只从11名队员中选取5人,不同的选法为11C5=462(种).所以至少有一名队长当选的选法共有:1287-462=825(种).(4)至多有两名女生当选可分为三类:①没女生当选,即从男生8人中选取5人,不同的选法为C5

=56(种);8②恰有一名女生当选,则需从男生中选取4人,不同的选法为C15

8·

C4

=5×70=350(种);③恰有两名女生当选,则需从男生中选取3人,不同的选法为C25

8·

C3

=560(种).由分类加法计数原理得不同的选法共有:56+350+560=966(种).反思归纳

组合问题常有以下两类题型:“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.“至少”或“至多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解,用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.【即时训练】(1)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有(

)(A)140种(B)120种(C)35种(D)34种(2)(2013高考重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是

(用数字作答).解析:(1)法一将此问题分类,用分类加法计数原理4

3①选出的4人中有1男3女的情况有C1

C3

=4(种),4

3②选出的4人中有2男2女的情况有C2C2

=18(种),4

3③选出的4人中有3男1女的情况有C3C1

=12(种),所以适合条件的不同选法共有4+18+12=34(种).故选D.法二

采用间接法不考虑任何条件,从4男3女7名同学选出的4人中全是男同学的情况4有C4

=1(种),所以满足条件的不同选法有C4

-C4

=35-1=34(种).7

4故选D.(2)选派骨科、脑外科、内科医生的人数依次为3,1,1;2,2,1;2,1,2;1,3,1;1,2,2;1,1,3.5所以选派种数为C3

·

C1

·

C1

+C2

·

C2

·

C1

+C2

·

C1

·

C23

4

5

3

4

5

3

4+

C1

·

C3

·

C1

+

C1

·

C2

·

C1

+

C2

·

C1

·

C3

=590.3

4

5

3

4

5

3

4

5答案:

(1)D

(2)590考点三排列与组合的综合应用问题【例3】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;

(3)平均分成三份,每份2本;

(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;

(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.解:(1)无序不均匀分组问题.6先选1本,有C1

种选法;5再从余下的5本中选2本,有C2

种选法;3最后余下3本全选,有C3

种选法.6

5

3故共有C1

C2C3

=60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有C1

C2C3C3

=360(种).6

5

3

3(3)无序均匀分组问题.C2C2C2A3分配方式有

6

4 2

=15(种).共有分配方式

6

4

233(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人,C2C2C2A3·

A3

=C2C2C2

=90(种).3

6

4

22C4C1

C1A2(5)无序部分均匀分组问题.共有

6

2 1

=15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人,C4C1

C1A23共有分配方式

6

2 1

·

A3

=90(种).2(7)直接分配问题.甲选1本,有C1

种方法;乙从余下的5本中选1本,有C1

种方法,余6

5下4本留给丙,有C4

种方法,故共有分配方式C1

C1

C4

=30(种).4

6

5

4反思归纳 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关;有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.【即时训练】4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.

(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?

(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?

(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?解:(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有C1

C2C1

×A2

=144(种).4

4

3

2(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C2

种方法.44个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分3

1

24

1

2组有C

C

A

种方法;第二类有序均匀分组有

4

22C2C2A22·

A2

种方法.故243

1

24

1

2共有C

（

C

C

A

+

4

22C2C2A22·

A2

）=84(种).助学微博

1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑:

(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件.思想方法

融思想

促迁移特殊元素(位置)优先安排法【典例】3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数为(

)(A)360

(B)288

(C)216

(D)963解析:3位男生排成一排有A3

种排法,3名女生分成两组.