高中数学-1.3.1　利用导数判断函数的单调性教学课件设计

我们知道正弦曲线是上、下起伏的波浪线，实际上多数函数的图象都是如此，它们的单调性交替变化．有些函数的单调性通过我们所学的基本方法能够判断，多数函数非常困难甚至无法解决．问题1：如果一条曲线是逐渐上升的，那么曲线上各点的切线的斜率有何特点？提示：从直观上看切线是上升的，切线的斜率都为正数．问题2：切线斜率的正负，能说明导数的符号吗？提示：根据导数的几何意义，切线斜率的符号就是导数的符号．问题3：可以用导数来研究较为复杂的函数的单调性吗？提示：可以．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，

(1)如果在(a，b)内

，则f(x)在此区间是增函数；

(2)如果在(a，b)内，

，则f(x)在此区间是减函数．f′(x)>0f′(x)<01．区间(a，b)也可以是(－∞，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b)．

2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.3．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)是常函数，不具有单调性．[例1]判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．[精解详析]∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．[一点通]

判断函数单调性的方法有两种：

(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函数的单调性；

(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(

)A．f(x)＝sinx

B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝lnx－x解析：∵x>0，∴(x·ex)′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)>0，∴f(x)＝x·ex

在(0，＋∞)内为增函数．答案：B[一点通]

(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后在定义域内通过解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，来确定函数的单调区间．

(2)当单调区间有多个时，不要写成并集．答案：C4．求下列函数的单调区间．(1)y＝xex；(2)y＝x3－x.解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令y′>0得x>－1.令y′<0得x<－1，因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．[一点通]已知函数的单调性求参数，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f(x)在区间Ⅰ上单调递增(递减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)在R上为减函数，∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.答案：A

1．利用导数求函数f(x)单调区间的方法如下：

(1)求f(x)的定义域；

(2)求出f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可得函数的增区间(或减区间)．

2．当函数f(x)的单调性相同的区间不止一个时，不能用“∪”连接，要用“，”分开或用“和”连接．