空间向量与垂直关系

理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章考点一考点二3.2第二课时考点三第二课时空间向量与垂直关系直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．证明垂直关系的向量方法线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线的方向向量垂直证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量证明两个平面的法向量垂直用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．[例1]在棱漆长为a的正征方体OA捧BC－O1A1B1C1中，E，F分别夹是AB，BC上的巷动点撞，且AE＝BF，求倾证：A1F⊥C1E.[一点赴通]利用啦向量衫法证遭明线购线垂土直往丘往转患化为唱证明呢直线侍的方元向向远量垂铺直，距即证台明它晌们的表方向己向量嘉的数冬量积资为0.证明曲的关娘键是皆建立骆恰当衣的空贺间直叔角坐婚标系山，正衬确地进表示圈出点拿的坐娘标进欺而求孝直线币的方汇向向僻量．1．设芒直线l1的方井向向册量为a＝(2任,1，－2)，直苗线l2的方无向向量为b＝(2爸,2，m)，若l1⊥l2，则m＝()A．1B．－2C．－3舍D．3解析吓：l1⊥l2⇔a⊥b，∴2×证2＋1×牧2＋(－2)洁×m＝0，∴m＝3.答案匆：D2.正方极体AB声CD－A1B1C1D1中，E为AC的中咸点.证明攀：(1卸)BD1⊥AC；(2扮)BD1⊥EB1.[例2]如图传所示得，在肉正方隶体AB独CD－A1B1C1D1中，E，F分别另是BB1，D1B1的中点凉．求证胖：EF⊥平遥面B1AC.[一点佣通]法一胆选基诱底，勒将相罢关向垮量用乒基底磁表示手出来影，然膝后利庄用向告量的储计算能来证停明．事法二睡、法某三建芬立空演间直调角坐典标系曲，利冠用坐貌标将抚向量奇的运您算转据化为拌实数(坐标)的运吊算，狭以达惊到证鱼明的弃目的泻．3．已壁知直谁线l与平勾面α垂直更，直兔线的忙一个茅方向丛向量槽为u＝(1育,3，z)，向插量v＝(3，－2,繁1)与平微面α平行补，则z＝__踏__怀__瘦__多.解析集：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴(1泊,3，z)·礼(3，－2,配1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.答案简：34.如图姿所示琴，在哲正方销体AB从CD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点涉，G为CC1的中送点，量求证秃：A1O⊥平施面GB戒D.同理旋可证再，A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，∴A1O⊥平匀面GB把D.法二竿：如图浊，取D为坐仙标原季点，DA，DC，DD1所在耀的直旬线分枯别为x轴，y轴、z轴建超立空穴间直迎角坐量标系乖．设正魄方体眠棱长描为2，则O(1其,1付,0鹿)，A1(2蚀,0辉,2撤)，G(0肌,2怠,1资)，B(2做,2私,0惊)，D(0广,0强,0碑)，[一点稳通]证明商面面漏垂直刷通常灯有两倾种方去法，忆一是演利用姜面面们垂直很的判稳定定控理转绳化为新线面精垂直席、线语线垂队直去差证明街；二脸是证稠明两仙个平项面的四法向心量互客相垂谱直．5．在予正棱妇锥P－AB竹C中，王三条肿侧棱侵两两拒互相波垂直瓜，G是△PA甚B的重煎心，E，F分别孙为BC，PB上的腥点，择且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证跃：平写面GE雀F⊥平介面PB桂C.证明筹：法蹲一：如图烫，以狐三棱筹锥的木顶点P为原抖点，图以PA，PB，PC所在伞直线音分别作晕为x轴，y轴，z轴建次立空拢间直很角坐淋标系焰．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3启,0叫,0绣)，B(0总,3鄙,0衰)，C(0幕,0萍,3肠)，E(0赛,2绪,1滩)，F(0，1,叙0)，G(1哈,1阵,0傍)，P(0散,0词,0窑)，6．正代方体AB蛛CD－A1B1C1D1中，E、F分别乌是BB1、CD的中点，富求证途：平岩面AE亡D⊥平该面A1FD1.1．用敢向量县法证务明线萄面垂爆直的坟方法脉与步吧骤2．利起用空映间向么量证雕明面将面垂民直，宜通常内可以铲有两锅个途锯径，咽一是仆利用辈两个羽平面谈垂直泽的判月定定非理将面面面枯垂直符问题腐转化男为线殃面垂