概率论与数理统计A第章

概率论与数理统计

第5章

大数定律和中心极限定理5.1大数定律大数定律依概率收敛定义及性质随机变量序列服从大数定律大量随机试验中大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……一、大数定律定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫则对任意的ε>0，有做前n个随机变量的算术平均证由切比雪夫不等式上式中令得说明二、依概率收敛定义及性质

定义性质请注意:问题认:伯努它利设nA是n重贝毒努里趟试验脂中事敬件A发生往的次跪数，p是事叉件A发生失的概拆率，是事诊件A发生希的频项率.设nA是n次独震立重吴复试征验中遇事件A发生的扩次数断，p是事培件A在一塑次试长验中歉发生的概阀率，佛则对烤于任翅意正现数ε>怎0敢，有定理高2（贝努集里大语数定乞律）或伯努轻利证明证毕注贝努临里大抛数定验律表谨明，聋当重绑复试决验次战数n充分炒大时泰，事抢件A发生买的频枯率nA/n与事晨件A的概臣率p有较葵大偏锐差的给概率爹很小返.或下面锈给出馆的独裹立同介分布框下的访大数养定律牵，不爪要求仍随机正变量缠的方共差存蝇在.设随驻机变腹量序索列X1,X2,妇…及相互输独立歌，服佳从同绍一分劈燕布，航具有冲数学含期E(Xi)=μ,i=宽1,傍2,闸…，菊则重对于敏任意顽正数ε，有定理身3（辛钦驾大数麦定律）辛钦1、森辛钦维大数神定律暑为寻终找随社机变竖量的励期望鞠值提封供了爱一条过实际遥可行池的途夜径.注2、紧伯努鞋利大匆数定询律是弊辛钦列定理筹的特星殊情僻况.3、匆辛钦赤定理防具有溉广泛头的适蝴用性霉.要估餐计某说地区顽的平圆均亩衣产量铜，要收医割某爷些有叛代表判性块麻，例刺如n块地.开计浪算其熔平均族亩产爬量，币则当n较大时恒，可锹用它分作为污整个长地区奸平均钞亩产量唐的一轨个估珍计.三、丑小结大数定律大数蔬定律劈燕以严谣格的毫数学药形式铁表达忍了随勇机现规象最要根本选的性猪质之趣一：平均宋结果掀的稳田定性5.伐2退中心茎极限枪定理依分疗布收腐敛中心烟极限汉定理中心宗极限旱定理嗓的客择观背台景在实狱际问嘴题中翅许多鄙随机殿变量别是由窝相互陕独立哪随机棒因素佩的综蓄合（筐或和筛)影裂响所徐形成救的.例如笋：炮击弹射羽击的落点傅与目军标的余偏差节，就受灶着许模多随沟机因素（子如瞄居准，既空气阻力糊，炮私弹或罪炮身警结构塞等）青综合棍影响间的.箱每个随机趋因素去对弹着难点（娇随机畅变量素和）所起个的作售用都摩是很四小的揉.那么漠弹着项点服释从怎垃样分赤布哪皱？如果挪一个佣随机堆变量喇是由市大量醉相互合独立对的随朵机因架素的音综合勒影响钩所造粘成，悲而每抹一个皂别因干素对逝这种看综合运影响惠中所遇起的帝作用央不大过.辩则这六种随买机变糠量一辩般都除服从碰或近衰似服荡从正齐态分贞布.自从冶高斯巴指出蕉测量顽误差尿服从本正态分布渔之后异，人团们发仪现，织正态谋分布锯在自然粒界中讲极为漠常见坡.现在嫌我们坦就来恩研究皮独立读随机衫变量独之和摸所特晚有的浊规律罗性问盘题.高斯当n无限换增大松时，愁这个薯和的痛极限别分布羊是什塑么呢铸？由于愁无穷尺个随拼机变纤量之永和可袖能趋诞于∞些，故拖我们株不研值究n个随笨机变骄量之词和本富身而咏考虑榴它的烘标准朝化的启随机叨变量情.在概芝率论涂中，码习惯手于把椅和的林分布述收敛钻于正肾态分甘布这么一类侍定理至都叫严做中心羊极限躬定理.依分烟布收壳敛一、科中心绩极限居定理定理宅1（独立匹同分洪布下班的中筝心极苦限定覆理）注3、遥虽然饰在一厦般情敌况下避，我亡们很面难求谷出的分皇布的姐确切拒形式纷，但狐当n很大铅时，早可以乌求出逆近似钻分布姐.定理象2（聪李雅款普诺询夫(奇Li浊ap尿ou少no泛v)咬定理监)请注奇意色:定理去3(棣乱莫佛拥－拉罚普拉疑斯（现De家L诸ap肉la见ce危定理贵）

设随机变量(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有证定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量的分布近似正态分布N(np,np(1-p)).即下面日演示报不难未看到箭中心母极限攀定理筒的客钉观背室景例:20个0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)几个(0,1)上均匀分布的和的分布0123xfgh二、坏例题例1于是解例2.限(供分电问厉题)宗某车兵间有砍20治0台像车床捉,匆在生咳产期馋间由破于需舅要检例修、之调换系刀具的、变离换位蚁置及芝调换峰工件单等常阵需停店车.勉设幕开工质率为满0.选6,零并设荷每台埋车床扯的工切作是齿独立销的，摇且在辅开工丝式时需予电力忙1千请瓦.问应支供应阶多少档瓦电夕力就何能以初99桨.9行%的彼概率划保证可该车透间不男会因拘供电雨不足蜂而影咽响生割产?用X表示膛在某绩时刻很工作钓着的舟车床督数，解：厚对每井台车吃床的理观察炼作为摘一次摆试验环，每他次试汤验是观满察该太台车贝床在驴某时宴刻是待否工粘作,固工作掠的概症率0踢.6茎,共戒进行薯20通0次泰独立暗重复燃试验盾.依题耕意，X~B(2莲00迫,0杂.6帮),现在样的问遗题是加：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求满历足设需N台车尺床工弯作，（由贫于每满台车颈床在卸开工肿时需粱电力适1千旗瓦，N台工亮作所乔需电旋力即N千瓦伙.）由德赏莫佛沈-拉怜普拉枯斯极科限定煤理近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0贯≤X≤N)这里np=1吐20辆,np(1坊-p)=逮48由3冬σ准蝴则，此项告为0隔。查正仙态分你布函秤数表堂得从中萄解得N≥1宰41山.5沟,即所勤求N=1用42.也就但是说毒,货应供贵应1廊42浸千玩瓦电穿力就川能以墨99积.9欧%的纺概率淡保证孟该车卡间不将会因删供电炼不足心而影锅响生心产.≥3.1,故例3解例1根据叶以往紧经验最，某筋种电朗器元趁件的际寿命傲服从纪均值跑为1叶00格小时穿的指嫩数分稼布.膊现彻随机伍地取碍16锐只，狐设它讽们的溉寿命拥是相鹊互独歉立的铃.怨求这到16幼只元将件的沾寿命牧的总衔和大撑于1跪92炒0小色时的退概率饶.三、予课堂母练习例2在一停个罐日子中唯,装鼻有1碌0个左编号忽为0政-9静的同泊样的刑球，作从罐层中有卖放回沈地抽绳取若竭干次糊，每鸭次抽睛一个棕，并露记下惑号码辫.

设，k=1,2,…(1偏)母至少疼应取誓球多煎少次藏才能专使“术0”励出现脂的频豆率在馅之间狗的概宜率至赌少是您0.剪95凶?(2旨)用庙中心浩极限臭定理易计算朴在1辛00猎次抽行取中谁,数真码“农0”揪出现害次数军在7晓和1骆3之锐间的却概率拌.由题喷给条蓝件知苹，诸Xi独立碍，16怨只元的件的批寿命状的总记和为且E(Xi)=爆10第0,D(Xi)=旧10狮00培0依题皇意，么所求饮为P(Y>1叙92普0)设第i只元傍件的承寿命际为Xi,i=1错,2矮,值…,瓜16例1靠解答：E(Y)=蔽16件00完,D(Y)=形16打00珍00由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y>1屠92从0)杜=1判-P(Y19攻20填)=1泥-(0劝.8对)1-=1谁-0扩.7竖88竟1=或0.型21催19（1)解：设应取球n次，0出现频率为由中游心极参限定地理例2笨解答抛：欲使即查表得从中解得即至卫少应乡丰取球国34旷58监次才奴能使留“0纳”出赤现的倡频率志在之宣间的愿概率绳至少疑是0的.9偷5.（2）解：在100次抽取中,数码“0”出现次数为由中党心极稍限定脚理,即其中E(Xk)=暖0.冲1,D(Xk)=忍0.亏09即在妇10柔0次掉抽取赶中，怜数码数“0委”出乘现次扫数在抓7和翅13船之间的概智率为巧0.喇68最26吓.=0挺.6罩82务6四、炊小结中心极限定理注这一晒节我碧们介劝绍了翠中